高等數(shù)學(下)課后習題答案

./高等數(shù)學〔下習題七1.在空間直角坐標系中,定出下列各點的位置：A<1,2,3>;B<-2,3,4>;C<2,-3,-4>;D<3,4,0>;E<0,4,3>;F<3,0,0>.解：點A在第Ⅰ卦限；點B在第Ⅱ卦限；點C在第Ⅷ卦限；點D在xOy面上；點E在yOz面上；點F在x軸上.2.xOy坐標面上的點的坐標有什么特點？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答:在xOy面上的點,z=0;在yOz面上的點,x=0;在zOx面上的點,y=0.3.x軸上的點的坐標有什么特點？y軸上的點呢？z軸上的點呢？答：x軸上的點,y=z=0;y軸上的點,x=z=0;z軸上的點,x=y=0.4.求下列各對點之間的距離：〔1〔0,0,0,〔2,3,4；〔2〔0,0,0,〔2,-3,-4；〔3〔-2,3,-4,〔1,0,3；〔4〔4,-2,3,〔-2,1,3.解：〔1<2><3><4>.5.求點〔4,-3,5到坐標原點和各坐標軸間的距離.解：點<4,-3,5>到x軸,y軸,z軸的垂足分別為〔4,0,0,〔0,-3,0,〔0,0,5.故.6.在z軸上,求與兩點A〔-4,1,7和B〔3,5,-2等距離的點.解：設此點為M〔0,0,z,則解得即所求點為M〔0,0,.7.試證：以三點A〔4,1,9,B〔10,-1,6,C〔2,4,3為頂點的三角形是等腰直角三角形.證明：因為|AB|=|AC|=7.且有|AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2.故△ABC為等腰直角三角形.8.驗證：.證明：利用三角形法則得證.見圖7-1圖7-19.設試用a,b,c表示解：10.把△ABC的BC邊分成五等份,設分點依次為D1,D2,D3,D4,再把各分點與A連接,試以,表示向量,,和.解：11.設向量的模是4,它與投影軸的夾角是60°,求這向量在該軸上的投影.解：設M的投影為,則12.一向量的終點為點B〔2,-1,7,它在三坐標軸上的投影依次是4,-4和7,求這向量的起點A的坐標.解：設此向量的起點A的坐標A<x,y,z>,則解得x=-2,y=3,z=0故A的坐標為A<-2,3,0>.13.一向量的起點是P1〔4,0,5,終點是P2〔7,1,3,試求：〔1在各坐標軸上的投影；〔2的模；〔3的方向余弦；〔4方向的單位向量.解：〔1<2><3>.<4>.14.三個力F1=<1,2,3>,F2=<-2,3,-4>,F3=<3,-4,5>同時作用于一點.求合力R的大小和方向余弦.解：R=〔1-2+3,2+3-4,3-4+5=〔2,1,415.求出向量a=i+j+k,b=2i-3j+5k和c=-2i-j+2k的模,并分別用單位向量來表達向量a,b,c.解：16.設m=3i+5j+8k,n=2i-4j-7k,p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x軸上的投影及在y軸上的分向量.解：a=4<3i+5j+8k>+3<2i-4j-7k>-<5i+j-4k>=13i+7j+15k在x軸上的投影ax=13,在y軸上分向量為7j.17.向量r與三坐標軸交成相等的銳角,求這向量的單位向量er.解：因,故,〔舍去則.18.已知兩點M1〔2,5,-3,M2〔3,-2,5,點M在線段M1M2上,且,求向徑的坐標.解：設向徑={x,y,z}因為,所以,故={}.19.已知點P到點A〔0,0,12的距離是7,的方向余弦是,求點P的坐標.解：設P的坐標為〔x,y,z,得又故點P的坐標為P〔2,3,6或P〔.20.已知a,b的夾角,且,計算：<1>a·b;<2><3a-2b>·<a+2b>.解：〔1a·b=<2>21.已知a=<4,-2,4>,b=<6,-3,2>,計算：〔1a·b;<2><2a-3b>·<a+b>；〔3解：〔1<2><3>22.已知四點A〔1,-2,3,B〔4,-4,-3,C〔2,4,3,D〔8,6,6,求向量在向量上的投影.解：={3,-2,-6},={6,2,3}23.設重量為100kg的物體從點M1<3,1,8>沿直線移動到點M2〔1,4,2,計算重力所作的功〔長度單位為m.解：取重力方向為z軸負方向,依題意有f={0,0,-100×9.8}s=={-2,3,-6}故W=f·s={0,0,-980}·{-2,3,-6}=5880<J>24.若向量a+3b垂直于向量7a-5b,向量a-4b垂直于向量7a-2b,求a和b的夾角.解:<a+3b>·<7a-5b>=①<a-4b>·<7a-2b>=②由①及②可得：又,所以,故.25.一動點與M0<1,1,1>連成的向量與向量n=<2,3,-4>垂直,求動點的軌跡方程.解：設動點為M<x,y,z>因,故.即2<x-1>+3<y-1>-4<z-1>=0整理得：2x+3y-4z-1=0即為動點M的軌跡方程.26.設a=<-2,7,6>,b=<4,-3,-8>,證明：以a與b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線互相垂直.證明：以a,b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線分別為a+b,a－b,且a+b={2,4,-2}a-b={-6,10,14}又<a+b>·<a-b>=2×<-6>+4×10+<-2>×14=0故<a+b><a-b>.27.已知a=3i+2j-k,b=i-j+2k,求：<1>a×b;<2>2a×7b;<3>7b×2a;<4>a×a.解：〔1<2><3><4>.28.已知向量a和b互相垂直,且.計算：<1>|<a＋b>×<a－b>|；<2>|<3a＋b>×<a－2b>|.〔1<2>29.求垂直于向量3i-4j-k和2i-j+k的單位向量,并求上述兩向量夾角的正弦.解：與平行的單位向量.30.一平行四邊形以向量a=<2,1,－1>和b=<1,－2,1>為鄰邊,求其對角線夾角的正弦.解：兩對角線向量為,因為,所以.即為所求對角線間夾角的正弦.31.已知三點A<2,-1,5>,B<0,3,-2>,C<-2,3,1>,點M,N,P分別是AB,BC,CA的中點,證明：.證明：中點M,N,P的坐標分別為故.32.求同時垂直于向量a=<2,3,4>和橫軸的單位向量.解：設橫軸向量為b=<x,0,0>則同時垂直于a,b的向量為=4xj－3xk故同時垂直于a,b的單位向量為.33.四面體的頂點在<1,1,1>,<1,2,3>,<1,1,2>和<3,-1,2>求四面體的表面積.解：設四頂點依次取為A,B,C,D.則由A,B,D三點所確定三角形的面積為.同理可求其他三個三角形的面積依次為.故四面體的表面積.34.已知三點A<2,4,1>,B<3,7,5>,C<4,10,9>,證：此三點共線.證明：,顯然則故A,B,C三點共線.35.求過點<4,1,-2>且與平面3x-2y+6z=11平行的平面方程.解：所求平面與平面3x-2y+6z=11平行故n={3,-2,6},又過點<4,1,-2>故所求平面方程為：3<x-4>-2<y-1>+6<z+2>=0即3x-2y+6z+2=0.36.求過點M0<1,7,-3>,且與連接坐標原點到點M0的線段OM0垂直的平面方程.解：所求平面的法向量可取為故平面方程為：x-1+7<y-7>-3<z+3>=0即x+7y-3z-59=037.設平面過點<1,2,-1>,而在x軸和z軸上的截距都等于在y軸上的截距的兩倍,求此平面方程.解：設平面在y軸上的截距為b則平面方程可定為又<1,2,-1>在平面上,則有得b=2.故所求平面方程為38.求過<1,1,-1>,<-2,-2,2>和〔1,-1,2三點的平面方程.解：由平面的三點式方程知代入三已知點,有化簡得x-3y-2z=0即為所求平面方程.39.指出下列各平面的特殊位置,并畫出其圖形：<1>y=0;<2>3x-1=0;<3>2x-3y-6=0;<4>x–y=0;<5>2x-3y+4z=0.解：<1>y=0表示xOz坐標面〔如圖7-2<2>3x-1=0表示垂直于x軸的平面.<如圖7-3>圖7-2圖7-3<3>2x-3y-6=0表示平行于z軸且在x軸及y軸上的截距分別為x=3和y=-2的平面.<如圖7-4><4>x–y=0表示過z軸的平面〔如圖7-5<5>2x-3y+4z=0表示過原點的平面〔如圖7-6.圖7-4圖7-5圖7-640.通過兩點〔1,1,1,和〔2,2,2作垂直于平面x+y-z=0的平面.解：設平面方程為Ax+By+Cz+D=0則其法向量為n={A,B,C}已知平面法向量為n1={1,1,-1}過已知兩點的向量l={1,1,1}由題知n·n1=0,n·l=0即所求平面方程變?yōu)锳x-Ay+D=0又點〔1,1,1在平面上,所以有D=0故平面方程為x-y=0.41.決定參數(shù)k的值,使平面x+ky-2z=9適合下列條件：〔1經(jīng)過點〔5,-4,6；〔2與平面2x-3y+z=0成的角.解：〔1因平面過點〔5,-4,6故有5-4k-2×6=9得k=-4.〔2兩平面的法向量分別為n1={1,k,-2}n2={2,-3,1}且解得42.確定下列方程中的l和m:<1>平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行;<2>平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.解：〔1n1={2,l,3},n2={m,-6,-1}<2>n1={3,-5,l},n2={1,3,2}43.通過點〔1,-1,1作垂直于兩平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面.解：設所求平面方程為Ax+By+Cz+D=0其法向量n={A,B,C}n1={1,-1,1},n2={2,1,1}又〔1,－1,1在所求平面上,故A－B+C+D=0,得D=0故所求平面方程為即2x-y-3z=044.求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k的單位向量.解：n1={3,-1,7},n2={1,-1,2}.故則45.求通過下列兩已知點的直線方程：〔1〔1,-2,1,〔3,1,-1；〔2〔3,-1,0,〔1,0,-3.解：〔1兩點所確立的一個向量為s={3-1,1+2,-1-1}={2,3,-2}故直線的標準方程為：或〔2直線方向向量可取為s={1-3,0+1,-3-0}={-2,1,-3}故直線的標準方程為：或46.求直線的標準式方程和參數(shù)方程.解：所給直線的方向向量為另取x0=0代入直線一般方程可解得y0=7,z0=17于是直線過點〔0,7,17,因此直線的標準方程為:且直線的參數(shù)方程為：47.求下列直線與平面的交點：<1>,2x+3y+z-1=0;<2>,x+2y-2z+6=0.解：〔1直線參數(shù)方程為代入平面方程得t=1故交點為〔2,-3,6.〔2直線參數(shù)方程為代入平面方程解得t=0.故交點為〔-2,1,3.48.求下列直線的夾角：〔1和；〔2和解：〔1兩直線的方向向量分別為：s1={5,-3,3}×{3,-2,1}=={3,4,-1}s2={2,2,-1}×{3,8,1}=={10,-5,10}由s1·s2=3×10+4×<-5>+<-1>×10=0知s1⊥s2從而兩直線垂直,夾角為.<2>直線的方向向量為s1={4,-12,3},直線的方程可變?yōu)?可求得其方向向量s2={0,2,-1}×{1,0,0}={0,-1,-2},于是49.求滿足下列各組條件的直線方程：〔1經(jīng)過點〔2,-3,4,且與平面3x-y+2z-4=0垂直；〔2過點〔0,2,4,且與兩平面x+2z=1和y-3z=2平行；〔3過點〔-1,2,1,且與直線平行.解：〔1可取直線的方向向量為s={3,-1,2}故過點〔2,-3,4的直線方程為〔2所求直線平行兩已知平面,且兩平面的法向量n1與n2不平行,故所求直線平行于兩平面的交線,于是直線方向向量故過點〔0,2,4的直線方程為〔3所求直線與已知直線平行,故其方向向量可取為s={2,-1,3}故過點〔-1,2,1的直線方程為.50.試定出下列各題中直線與平面間的位置關系：〔1和4x-2y-2z=3;〔2和3x-2y+7z=8;〔3和x+y+z=3.解：平行而不包含.因為直線的方向向量為s={-2,-7,3}平面的法向量n={4,-2,-2},所以于是直線與平面平行.又因為直線上的點M0〔-3,-4,0代入平面方程有.故直線不在平面上.<2>因直線方向向量s等于平面的法向量,故直線垂直于平面.<3>直線在平面上,因為,而直線上的點〔2,-2,3在平面上.51.求過點〔1,-2,1,且垂直于直線的平面方程.解：直線的方向向量為,取平面法向量為{1,2,3},故所求平面方程為即x+2y+3z=0.52.求過點〔1,-2,3和兩平面2x-3y+z=3,x+3y+2z+1=0的交線的平面方程.解：設過兩平面的交線的平面束方程為其中λ為待定常數(shù),又因為所求平面過點〔1,-2,3故解得λ=-4.故所求平面方程為2x+15y+7z+7=053.求點〔-1,2,0在平面x+2y-z+1=0上的投影.解：過點〔-1,2,0作垂直于已知平面的直線,則該直線的方向向量即為已知平面的法向量,即s=n={1,2,-1}所以垂線的參數(shù)方程為將其代入平面方程可得<-1+t>+2<2+2t>-<-t>+1=0得于是所求點〔-1,2,0到平面的投影就是此平面與垂線的交點54.求點〔1,2,1到平面x+2y+2z-10=0距離.解：過點〔1,2,1作垂直于已知平面的直線,直線的方向向量為s=n={1,2,2}所以垂線的參數(shù)方程為將其代入平面方程得.故垂足為,且與點〔1,2,1的距離為即為點到平面的距離.55.求點〔3,-1,2到直線的距離.解：過點〔3,-1,2作垂直于已知直線的平面,平面的法向量可取為直線的方向向量即故過已知點的平面方程為y+z=1.聯(lián)立方程組解得即為平面與直線的垂足于是點到直線的距離為56.建立以點〔1,3,-2為中心,且通過坐標原點的球面方程.解：球的半徑為設<x,y,z>為球面上任一點,則<x-1>2+<y-3>2+<z+2>2=14即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0為所求球面方程.57.一動點離點〔2,0,-3的距離與離點〔4,-6,6的距離之比為3,求此動點的軌跡方程.解：設該動點為M<x,y,z>,由題意知化簡得：8x2+8y2+8z2-68x+108y-114z+779=0即為動點的軌跡方程.58.指出下列方程所表示的是什么曲面,并畫出其圖形：〔1;〔2;〔3;〔4;〔5;〔6.解：〔1母線平行于z軸的拋物柱面,如圖7-7.〔2母線平行于z軸的雙曲柱面,如圖7-8.圖7-7圖7-8〔3母線平行于y軸的橢圓柱面,如圖7-9.〔4母線平行于x軸的拋物柱面,如圖7-10.圖7-9圖7-10〔5母線平行于z軸的兩平面,如圖7-11.〔6z軸,如圖7-12.圖7-11圖7-1259.指出下列方程表示怎樣的曲面,并作出圖形：〔1;〔2;〔3;〔4;〔5;〔6.解：〔1半軸分別為1,2,3的橢球面,如圖7-13.<2>頂點在〔0,0,-9的橢圓拋物面,如圖7-14.圖7-13圖7-14<3>以x軸為中心軸的雙葉雙曲面,如圖7-15.<4>單葉雙曲面,如圖7-16.圖7-15圖7-16<5>頂點在坐標原點的橢圓錐面,其中心軸是y軸,如圖7-17.<6>頂點在坐標原點的圓錐面,其中心軸是z軸,如圖7-18.圖7-17圖7-1860.作出下列曲面所圍成的立體的圖形：<1>x2+y2+z2=a2與z=0,z=<a>0>;<2>x+y+z=4,x=0,x=1,y=0,y=2及z=0;<3>z=4-x2,x=0,y=0,z=0及2x+y=4;<4>z=6-<x2+y2>,x=0,y=0,z=0及x+y=1.解：〔1〔2〔3〔4分別如圖7-19,7-20,7-21,7-22所示.圖7-19圖7-20圖7-21圖7-2261.求下列曲面和直線的交點：<1>與;<2>與.解：〔1直線的參數(shù)方程為代入曲面方程解得t=0,t=1.得交點坐標為〔3,4,-2,〔6,-2,2.<2>直線的參數(shù)方程為代入曲面方程可解得t=1,得交點坐標為〔4,-3,2.62.設有一圓,它的中心在z軸上,半徑為3,且位于距離xOy平面5個單位的平面上,試建立這個圓的方程.解：設〔x,y,z為圓上任一點,依題意有即為所求圓的方程.63.建立曲線x2+y2=z,z=x+1在xOy平面上的投影方程.解：以曲線為準線,母線平行于z軸的柱面方程為x2+y2=x+1即.故曲線在xOy平面上的投影方程為64.求曲線x2+y2+z2=a2,x2+y2=z2在xOy面上的投影曲線.解：以曲線為準線,母線平行于z軸的柱面方程為故曲線在xOy面上的投影曲線方程為65.試考察曲面在下列各平面上的截痕的形狀,并寫出其方程.<1>平面x=2;<2>平面y=0;<3>平面y=5;<4>平面z=2.解：〔1截線方程為其形狀為x=2平面上的雙曲線.〔2截線方程為為xOz面上的一個橢圓.<3>截線方程為為平面y=5上的一個橢圓.<4>截線方程為為平面z=2上的兩條直線.66.求單葉雙曲面與平面x-2z+3=0的交線在xOy平面,yOz平面及xOz平面上的投影曲線.解：以代入曲面方程得x2+20y2-24x-116=0.故交線在xOy平面上的投影為以x=2z-3代入曲面方程,得20y2+4z2-60z-35=0.故交線在yOz平面上的投影為交線在xOz平面上的投影為習題八1.判斷下列平面點集哪些是開集、閉集、區(qū)域、有界集、無界集？并分別指出它們的聚點集和邊界：<1>{<x,y>|x≠0};<2>{<x,y>|1≤x2+y2<4};<3>{<x,y>|y<x2};<4>{<x,y>|<x-1>2+y2≤1}∪{<x,y>|<x+1>2+y2≤1}.解：<1>開集、無界集,聚點集：R2,邊界：{<x,y>|x=0}.<2>既非開集又非閉集,有界集,聚點集：{<x,y>|1≤x2+y2≤4},邊界：{<x,y>|x2+y2=1}∪{<x,y>|x2+y2=4}.<3>開集、區(qū)域、無界集,聚點集：{<x,y>|y≤x2},邊界：{<x,y>|y=x2}.<4>閉集、有界集,聚點集即是其本身,邊界：{<x,y>|<x-1>2+y2=1}∪{<x,y>|<x+1>2+y2=1}.2.已知f<x,y>=x2+y2-xytan,試求.解：3.已知,試求解：f<x+y,x-y,xy>=<x+y>xy+<xy>x+y+x-y=<x+y>xy+<xy>2x.4.求下列各函數(shù)的定義域：解：5.求下列各極限：解：<1>原式=<2>原式=+∞.<3>原式=<4>原式=<5>原式=<6>原式=6.判斷下列函數(shù)在原點O<0,0>處是否連續(xù)：<3>解：<1>由于又,且,故.故函數(shù)在O<0,0>處連續(xù).<2>故O<0,0>是z的間斷點.<3>若P<x,y>沿直線y=x趨于<0,0>點,則,若點P<x,y>沿直線y=-x趨于<0,0>點,則故不存在.故函數(shù)z在O<0,0>處不連續(xù).7.指出下列函數(shù)在向外間斷：<1>f<x,y>=; <2>f<x,y>=;<3>f<x,y>=ln<1－x2－y2>; <4>f<x,y>=解：<1>因為當y=-x時,函數(shù)無定義,所以函數(shù)在直線y=-x上的所有點處間斷,而在其余點處均連續(xù).<2>因為當y2=2x時,函數(shù)無定義,所以函數(shù)在拋物線y2=2x上的所有點處間斷.而在其余各點處均連續(xù).<3>因為當x2+y2=1時,函數(shù)無定義,所以函數(shù)在圓周x2+y2=1上所有點處間斷.而在其余各點處均連續(xù).<4>因為點P<x,y>沿直線y=x趨于O<0,0>時..故<0,0>是函數(shù)的間斷點,而在其余各點處均連續(xù).8.求下列函數(shù)的偏導數(shù)：<1>z=x2y+; <2>s=;<3>z=xln; <4>z=lntan;<5>z=<1+xy>y; <6>u=zxy;<7>u=arctan<x-y>z; <8>.解：<1><2><3><4><5>兩邊取對數(shù)得故<6><7><8>9.已知,求證：.證明：.由對稱性知.于是.10.設,求證：.證明：,由z關于x,y的對稱性得故11.設f<x,y>=x+<y-1>arcsin,求fx<x,1>.解：則.12.求曲線在點〔2,4,5處的切線與正向x軸所成的傾角.解：設切線與正向x軸的傾角為α,則tanα=1.故α=.13.求下列函數(shù)的二階偏導數(shù)：<1>z=x4+y4-4x2y2; <2>z=arctan;<3>z=yx; <4>z=.解：<1>由x,y的對稱性知<2>,<3><4>14.設f<x,y,z>=xy2+yz2+zx2,求解：.15.設z=xln<xy>,求及.解：16.求下列函數(shù)的全微分：<1>; <2>;<3>; <4>.解：<1>∵∴<2>∵∴<3>∵∴<4>∵∴17.求下列函數(shù)在給定點和自變量增量的條件下的全增量和全微分：<1><2>解：<1><2>18.利用全微分代替全增量,近似計算：<1><1.02>3·<0.97>2; <2>;<3><1.97>1.05.解：<1>設f<x,y>=x3·y2,則故df<x,y>=3x2y2dx+2x3ydy=xy<3xydx+2x2dy>取x=1,y=1,dx=0.02,dy=-0.03,則<1.02>3·<0.97>2=f<1.02,0.97>≈f<1,1>+df<1,1>=13×12+1×1[3×1×1×0.02+2×12×<-0.03>]=1.<2>設f<x,y>=,則故取,則<3>設f<x,y>=xy,則df<x,y>=yxy-1dx+xylnxdy,取x=2,y=1,dx=-0.03,dy=0.05,則19.矩型一邊長a=10cm,另一邊長b=24cm,當a邊增加4mm,而b邊縮小1mm時,求對角線長的變化.解：設矩形對角線長為l,則當x=10,y=24,dx=0.4,dy=-0.1時,<cm>故矩形的對角線長約增加0.062cm.20.1mol理想氣體在溫度0℃和1個大氣壓的標準狀態(tài)下,體積是22.4L,從這標準狀態(tài)下將溫度升高3℃,壓強升高0.015個大氣壓,問體積大約改變多少？解：由PV=RT得V=,且在標準狀態(tài)下,R=8.20568×10-2,ΔV≈dv=-=故體積改變量大約為0.09.21.測得一物體的體積V=4.45cm3,其絕對誤差限是0.01cm3,質(zhì)量m=30.80g,其絕對誤差限是0.01g,求由公式算出密度的絕對誤差與相對誤差.解：當V=4.45,m=30.80,dv=0.01,dm=0.01時,當v=4.45,m=30.80時.22.求下列復合函數(shù)的偏導數(shù)或全導數(shù)：<1>求,；〔2z＝,x＝u＋v,y＝u－v,求,；〔3,y＝x3,求;〔4u＝x2＋y2＋z2,x＝,y＝,z＝,求.解：〔1<2><3><4>.23.設f具有一階連續(xù)偏導數(shù),試求下列函數(shù)的一階偏導數(shù)：<1> <2><3>解：<1><2><3>24.設為可導函數(shù),證明：證明:故25.設,其中f<u>為可導函數(shù),驗證：.證明：∵,,∴26.,其中f具有二階導數(shù),求解：由對稱性知,27.設f是c2類函數(shù),求下列函數(shù)的二階偏導數(shù)：<1> <2><3>解：<1>,<2><3>28.試證：利用變量替換,可將方程化簡為.證明：設故29.求下列隱函數(shù)的導數(shù)或偏導數(shù)：<1>,求;<2>,求；<3>,求;<4>,求.解：<1>[解法1]用隱函數(shù)求導公式,設F<x,y>=siny+ex-xy2,則故.[解法2]方程兩邊對x求導,得故<2>設∵∴<3>方程兩邊求全微分,得則故<4>設,則30.設F<x,y,z>=0可以確定函數(shù)x=x<y,z>,y=y<x,z>,z=z<x,y>,證明：.證明：∵∴31.設確定了函數(shù)z=z<x,y>,其中F可微,求.解：32.求由下列方程組所確定的函數(shù)的導數(shù)或偏導數(shù)：<1>求：<2>求：<3>其中f,g是類函數(shù),求<4>求解：<1>原方程組變?yōu)榉匠虄蛇厡求導,得當<2>設故<3>設則故<4>是已知函數(shù)的反函數(shù),方程組兩邊對x求導,得整理得解得方程組兩邊對y求導得整理得解得33.設,試求解：由方程組可確定反函數(shù),方程組兩邊對x求導,得解得所以方程組兩邊對y求導,得解得所以.34.求函數(shù)在<2,-1>點的泰勒公式.解：故35.將函數(shù)在<1,1>點展到泰勒公式的二次項.解：習題九1.求函數(shù)u=xy2+z3-xyz在點〔1,1,2處沿方向角為的方向?qū)?shù)。解：2.求函數(shù)u=xyz在點〔5,1,2處沿從點A〔5,1,2到B〔9,4,14的方向?qū)?shù)。解：的方向余弦為故3.求函數(shù)在點處沿曲線在這點的法線方向的方向?qū)?shù)。解：設x軸正向到橢圓法線方向l的轉(zhuǎn)角為φ,它是第三象限的角,因為所以在點處切線斜率為法線斜率為.于是∵∴4.研究下列函數(shù)的極值：<1>z=x3+y3－3<x2+y2>; <2>z=e2x<x+y2+2y>;<3>z=<6x－x2><4y－y2>; <4>z=<x2+y2>;<5>z=xy<a－x－y>,a≠0.解：〔1解方程組得駐點為〔0,0,<0,2>,<2,0>,<2,2>.zxx=6x－6,zxy=0,zyy=6y－6在點〔0,0處,A=－6,B=0,C=-6,B2－AC=－36<0,且A<0,所以函數(shù)有極大值z<0,0>=0.在點〔0,2處,A=－6,B=0,C=6,B2－AC=36>0,所以<0,2>點不是極值點.在點〔2,0處,A=6,B=0,C=－6,B2－AC=36>0,所以<2,0>點不是極值點.在點〔2,2處,A=6,B=0,C=6,B2－AC=－36<0,且A>0,所以函數(shù)有極小值z<2,2>=-8.<2>解方程組得駐點為.在點處,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函數(shù)有極小值.<3>解方程組得駐點為〔3,2,<0,0>,<0,4>,<6,0>,<6,4>.Zxx=－2<4y-y2>,Zxy=4<3－x><2－y>Zyy=－2<6x－x2>在點〔3,2處,A=－8,B=0,C=－18,B2－AC=－8×18<0,且A<0,所以函數(shù)有極大值z<3,2>=36.在點〔0,0處,A=0,B=24,C=0,B2－AC>0,所以<0,0>點不是極值點.在點〔0,4處,A=0,B=-24,C=0,B2－AC>0,所以<0,4>不是極值點.在點〔6,0處,A=0,B=-24,C=0,B2－AC>0,所以<6,0>不是極值點.在點〔6,4處,A=0,B=24,C=0,B2－AC>0,所以<6,4>不是極值點.<4>解方程組得駐點P0<0,0>,及P<x0,y0>,其中x02+y02=1,在點P0處有z=0,而當〔x,y≠<0,0>時,恒有z>0,故函數(shù)z在點P0處取得極小值z=0.再討論函數(shù)z=ue-u由,令得u=1,當u>1時,；當u<1時,,由此可知,在滿足x02+y02=1的點〔x0,y0的鄰域,不論是x2+y2>1或x2+y2<1,均有.故函數(shù)z在點〔x0,y0取得極大值z=e-1<5>解方程組得駐點為zxx=-2y,zxy=a-2x-2y,zyy=-2x.故z的黑塞矩陣為于是易知H〔P1不定,故P1不是z的極值點,H〔P2當a<0時正定,故此時P2是z的極小值點,且,H〔P2當a>0時負定,故此時P2是z的極大值點,且.5.設2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0,確定函數(shù)z=z<x,y>,研究其極值。解：由已知方程分別對x,y求導,解得令解得,將它們代入原方程,解得.從而得駐點.在點〔-2,0處,B2-AC<0,因此函數(shù)有極小值z=1.在點處,B2-AC<0,函數(shù)有極大值.6.在平面xOy上求一點,使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直線距離的平方之和為最小。解：設所求點為P<x,y>,P點到x=0的距離為|x|,到y(tǒng)=0的距離為|y|,到直線x+2y-16=0的距離為距離的平方和為由得唯一駐點,因?qū)嶋H問題存在最小值,故點即為所求。7.求旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2與平面x+y-z=1之間的最短距離。解：設P〔x,y,z為拋物面上任一點.則點P到平面的距離的平方為,即求其在條件z=x2+y2下的最值。設F〔x,y,z=解方程組得故所求最短距離為8.拋物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一橢圓,求原點到這橢圓的最長與最短距離。解：設橢圓上的點為P〔x,y,z,則|OP|2=x2+y2+z2.因P點在拋物面及平面上,所以約束條件為z=x2+y2,x+y+z=1設F〔x,y,z=x2+y2+z2+λ1<z-x2-y2>+λ2<x+y+z-1>解方程組得由題意知,距離|OP|有最大值和最小值,且.所以原點到橢圓的最長距離是,最短距離是.9.在第I卦限作橢球面的切平面,使切平面與三坐標面所圍成的四面體體積最小,求切點坐標。解：令∵∴橢球面上任一點的切平面方程為即切平面在三個坐標軸上的截距分別為,因此切平面與三個坐標面所圍的四面體的體積為即求在約束條件下的最小值,也即求xyz的最大值問題。設,解方程組得.故切點為,此時最小體積為*10.設空間有n個點,坐標為,試在xOy面上找一點,使此點與這n個點的距離的平方和最小。解：設所求點為P〔x,y,0,則此點與n個點的距離的平方和為解方程組得駐點又在點處Sxx=2n=A,Sxy=0=B,Syy=2n=CB2-AC=-4n2<0,且A>0取得最小值.故在點處,S取得最小值.即所求點為.11.已知平面上分別帶有質(zhì)量m1,m2,m3的三個質(zhì)點,問點的位置如何才能使該質(zhì)點系對于p點的轉(zhuǎn)動慣量為最小。解：該質(zhì)點系對于p點的轉(zhuǎn)動慣量為解上式得駐點因駐點唯一,故轉(zhuǎn)動慣量在點處取得最小值.*12.已知過去幾年產(chǎn)量和利潤的數(shù)據(jù)如下：產(chǎn)量x<千件>4047557090100利潤y<千元>323443547285試求產(chǎn)量和利潤的函數(shù)關系,并預測當產(chǎn)量達到120千件時工廠的利潤。解：在直角坐標系下描點,從圖可以看出,這些點大致接近一條直線,因此可設f<x>=ax+b,求的最小值,即求解方程組把<xi,yi>代入方程組,得解得a=0.884,b=-5.894即y=0.884x-5.894,當x=120時,y=100.186<千元>.13.求下曲線在給定點的切線和法平面方程：<1>x=asin2t,y=bsintcost,z=ccos2t,點;<2>x2+y2+z2=6,x+y+z=0,點M0<1,-2,1>;<3>y2=2mx,z2=m-x,點M0<x0,y0,z0>.解：曲線在點的切向量為當時,切線方程為.法平面方程為即.〔2聯(lián)立方程組它確定了函數(shù)y=y<x>,z=z<x>,方程組兩邊對x求導,得解得在點M0〔1,-2,1處,所以切向量為{1,0,-1}.故切線方程為法平面方程為1<x-1>+0<y+2>-1<z-1>=0即x-z=0.<3>將方程y2=2mx,z2=m-x兩邊分別對x求導,得于是曲線在點〔x0,y0,z0處的切向量為,故切線方程為法平面方程為.14.t<0<t<2π>為何值時,曲線L：x=t-sint,y=1-cost,z=4sin在相應點的切線垂直于平面,并求相應的切線和法平面方程。解：,在t處切向量為,已知平面的法向量為.且∥,故解得,相應點的坐標為.且故切線方程為法平面方程為即.15.求下列曲面在給定點的切平面和法線方程：<1>z=x2+y2,點M0<1,2,5>;<2>z=arctan,點M0<1,1,>;解：〔1故曲面在點M0<1,2,5>的切平面方程為z-5=2<x-1>+4<y-2>.即2x+4y-z=5.法線方程為〔2故曲面在點M0<1,1,>的切平面方程為z-=-<x-1>+<y-1>.法線方程為.16.指出曲面z=xy上何處的法線垂直于平面x-2y+z=6,并求出該點的法線方程與切平面方程。解：zx=y,zy=x.曲面法向量為.已知平面法向量為.且∥,故有解得x=2,y=-1,此時,z=-2.即〔2,-1,-2處曲面的法線垂直于平面,且在該點處的法線方程為.切平面方程為-1<x-2>+2<y+1>-<z+2>=0即x-2y+z-2=0.17.證明：螺旋線x=acost,y=asint,z=bt的切線與z軸形成定角。證明：螺旋線的切向量為.與z軸同向的單位向量為兩向量的夾角余弦為為一定值。故螺旋線的切線與z軸形成定角。18.證明：曲面xyz=a3上任一點的切平面與坐標面圍成的四面體體積一定。證明：設F<x,y,z>=xyz-a3.因為Fx=yz,Fy=xz,Fz=xy,所以曲面在任一點M0<x0,y0,z0>處的切平面方程為y0z0<x-x0>+x0z0<y-y0>+x0y0<z-z0>=0.切平面在x軸,y軸,z軸上的截距分別為3x0,3y0,3z0.因各坐標軸相互垂直,所以切平面與坐標面圍成的四面體的體積為它為一定值。習題十1.根據(jù)二重積分性質(zhì),比較與的大小,其中：〔1D表示以〔0,1,〔1,0,〔1,1為頂點的三角形；〔2D表示矩形區(qū)域.解：〔1區(qū)域D如圖10-1所示,由于區(qū)域D夾在直線x+y=1與x+y=2之間,顯然有圖10-1從而故有所以〔2區(qū)域D如圖10-2所示.顯然,當時,有.圖10-2從而ln<x+y>>1故有所以2.根據(jù)二重積分性質(zhì),估計下列積分的值：〔1;〔2;〔3.解：〔1因為當時,有,因而.從而故即而〔σ為區(qū)域D的面積,由σ=4得.<2>因為,從而故即而所以〔3因為當時,所以故即而所以3.根據(jù)二重積分的幾何意義,確定下列積分的值：〔1〔2解：〔1在幾何上表示以D為底,以z軸為軸,以〔0,0,a為頂點的圓錐的體積,所以〔2在幾何上表示以原點〔0,0,0為圓心,以a為半徑的上半球的體積,故4.設f<x,y>為連續(xù)函數(shù),求.解：因為f<x,y>為連續(xù)函數(shù),由二重積分的中值定理得,使得又由于D是以〔x0,y0為圓心,r為半徑的圓盤,所以當時,于是：5.畫出積分區(qū)域,把化為累次積分：〔1;<2><3>解：〔1區(qū)域D如圖10-3所示,D亦可表示為.所以<2>區(qū)域D如圖10-4所示,直線y=x-2與拋物線x=y2的交點為〔1,-1,〔4,2,區(qū)域D可表示為.圖10-3圖10-4所以〔3區(qū)域D如圖10-5所示,直線y=2x與曲線的交點<1,2>,與x=2的交點為<2,4>,曲線與x=2的交點為〔2,1,區(qū)域D可表示為圖10-5所以.6.畫出積分區(qū)域,改變累次積分的積分次序：〔1;<2>;<3>;<4>;<5>.解：〔1相應二重保健的積分區(qū)域為D：如圖10-6所示.圖10-6D亦可表示為：所以<2>相應二重積分的積分區(qū)域D：如圖10-7所示.圖10-7D亦可表示為：所以<3>相應二重積分的積分區(qū)域D為：如圖10-8所示.圖10-8D亦可看成D1與D2的和,其中D1：D2：所以.<4>相應二重積分的積分區(qū)域D為：如圖10-9所示.圖10-9D亦可看成由D1與D2兩部分之和,其中D1：D2：所以<5>相應二重積分的積分區(qū)域D由D1與D2兩部分組成,其中D1：D2：如圖10-10所示.圖10-10D亦可表示為：所以7.求下列立體體積：〔1旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2,平面z=0與柱面x2+y2=ax所圍；〔2旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2,柱面y=x2及平面y=1和z=0所圍.解：〔1由二重積分的幾何意義知,所圍立體的體積V=其中D：由被積函數(shù)及積分區(qū)域的對稱性知,V=2,其中D1為D在第一象限的部分.利用極坐標計算上述二重積分得.<2>由二重積分的幾何意義知,所圍立體的體積其中積分區(qū)域D為xOy面上由曲線y=x2及直線y=1所圍成的區(qū)域,如圖10-11所示.圖10-11D可表示為：所以8.計算下列二重積分：〔1<2>D由拋物線y2=x,直線x=0與y=1所圍；〔3D是以O<0,0>,A<1,-1>,B<1,1>為頂點的三角形;<4>.解：〔1<2>積分區(qū)域D如圖10-12所示.圖10-12D可表示為：所示<3>積分區(qū)域D如圖10-13所示.圖10-13D可表示為：所以9.計算下列二次積分：解：〔1因為求不出來,故應改變積分次序。積分區(qū)域D：0≤y≤1,y≤x≤,如圖10-14所示。圖10-14D也可表示為：0≤x≤1,x2≤y≤x.所以<2>因為求不出來,故應改變積分次序。積分區(qū)域D分為兩部分,其中如圖10-15所示：圖10-15積分區(qū)域D亦可表示為：于是：10.在極坐標系下計算二重積分：<1><2>D為圓=1所圍成的區(qū)域；<3>D是由=4,=1,及直線y=0,y=x所圍成的在第一象限的閉區(qū)域；<4>D是由曲線=x+y所包圍的閉區(qū)域。解：<1>積分區(qū)域D如圖10-16所示：圖10-16D亦可采用極坐標表示為：π≤r≤2π,0≤θ≤2π所以<2>積分區(qū)域D可用極坐標表示為：0≤r≤1,0≤θ≤2π.所以：<3>積分區(qū)域D如圖10-17所示.圖10-17D可用極坐標表示為：0≤θ≤,1≤r≤2.所以：<4>積分區(qū)域D如圖10-18所示,圖10-18D可用極坐標表示為：所以：11.將下列積分化為極坐標形式,并計算積分值：解：〔1積分區(qū)域D如圖10-19所示.圖10-19D亦可用極坐標表示為：所以：<2>積分區(qū)域D如圖10-20所示.圖10-20D可用極坐標表示為：于是：<3>積分區(qū)域D如圖10-21所示.圖10-21D也可用極坐標表示為：.于是：<4>積分區(qū)域D如圖10-22所示.圖10-22D可用極坐標表示為：于是:*12.作適當坐標變換,計算下列二重積分：<1>,其中D是由xy=2,xy=4,x=y,y=3x在第一象限所圍平面區(qū)域；<2><3>令x=v,x+y=u;<4><5><6>解：<1>積分區(qū)域D如圖10-23所示：圖10-23令xy=u,,則于是：<2>積分區(qū)域D如圖10-24所示。圖10-24令x+y=u,x-y=v,則且-1≤u≤1,-1≤v≤1.于是：〔3積分區(qū)域Dxy:0≤x≤1,1-x≤y≤2-x令x=v,x+y=u,則y=u-v積分區(qū)域Dxy變?yōu)镈uv:0≤v≤1,1≤u≤2.且于是<4>令x=arcosθ,y=brsinθ則積分區(qū)域D變?yōu)镈rθ：0≤θ≤2π,0≤r≤1,于是：<5>令x=rcosθ,y=rsinθ.即作極坐標變換,則D變?yōu)椋?≤r≤3,0≤θ≤2π.于是：〔6積分區(qū)域D如圖10-25所示：D可分為D1,D2∪D3,D4四個部分.它們可分為用極坐標表示為。圖10-25D1:0≤θ≤π,0≤r≤2sinθ,D2∪D3:0≤θ≤π,2sinθ≤r≤2,D4:π≤θ≤2π,0≤r≤2于是：13.求由下列曲線所圍成的閉區(qū)域的面積：<1>曲線所圍〔a>0,b>0;<2>曲線xy=a2,xy=2a2,y=x,y=2x所圍〔x>0,y>0.解：〔1曲線所圍的圖形D如圖10-26所示：圖10-26D可以表示為：所求面積為：<2>曲線xy=a2,xy=2a2,y=x,y=2x<x>0,y>0>所圍圖形D如圖10-27所示：圖10-27所求面積為令xy=u,,則于是14.證明：<1><2>,D為|x|+|y|≤1;<3>,其中D為x2+y2≤1且a2+b2≠0.解：〔1題中所給累次積分的積分區(qū)域D為a≤y≤b,a≤x≤y.如圖10-28所示：圖10-28D也可表示為a≤x≤b,x≤y≤b,于是：<2>令x+y=u,x-y=v,則,且-1≤u≤1,-1≤v≤1,于是<3>令,則當x2+y2≤1時,于是15.求球面x2+y2+z2=y2含在圓柱面x2+y2=ax部的那部分面積。解：如圖10-29所示：圖10-29上半球面的方程為,由得由對稱性知16.求錐面z=被柱面z2=2x所割下部分的曲面面積。解：由z2=x2+y2,z2=2x兩式消去z得x2+y2=2x,則所求曲面在xOy面上的投影區(qū)域D為：x2+y2≤2x,而故所求曲面的面積為.17.求底面半徑相等的兩個直交圓柱面x2+y2=R2及x2+z2=R2所圍立體的表面積。解：由對稱性知,所圍立體的表面積等于第一卦限中位于圓柱面x2+y2=R2的部分面積的16倍,如圖10-30所示。圖10-30這部分曲面的方程為,于是所求面積為.18.設薄片所占的閉區(qū)域D如下,求均勻薄片的重心。<1>D由所圍成；<2>D是半橢圓形閉區(qū)域：;<3>D是介于兩個圓r=acosθ,r=bcosθ<0<a<b>之間的閉區(qū)域。解：<1>閉區(qū)域D如圖10-31所示。圖10-31閉區(qū)域D的面積A為所求重心為.<2>因為閉區(qū)域D對稱于y軸,所以=0,又閉區(qū)域D的面積。.所以：所求重心為.<3>閉區(qū)域D如圖10-32所示：圖10-32由于閉區(qū)域D關于x軸對稱,所以,又故所求重心為19.設平面薄片所占的閉區(qū)域D由拋物線y=x2及直線y=x所圍成,它在點〔x,y處的面密度ρ<x,y>=x2y,求該薄片的重心。解：閉區(qū)域D如圖10-33所示：圖10-33薄片的質(zhì)量為從而所求重心為.20.設有一等腰直角三角形薄片,腰長為a,各點處的面密度等于該點到直角頂點的距離的平方,求這薄片的重心.解：建立直角坐標系如圖10-34所示。圖10-34由已知ρ<x,y>=x2+y2,且從而即所求重心為.21.設均勻薄片〔面密度為常數(shù)1所占閉區(qū)域D如下,求指定的轉(zhuǎn)動慣量：<1>D:,求Iy;<2>D由拋物線與直線x=2所圍成,求Ix和Iy；<3>D為矩形閉區(qū)域：0≤x≤a,0≤y≤b,求Ix和Iy.解：〔1令x=arcosθ,y=brsinθ,則在此變換下D：變化為：r≤1,即0≤r≤1,0≤θ≤2π,且,所以<2>閉區(qū)域D如圖10-35所示圖10-35<3>22.已知均勻矩形板〔面密度為常量ρ的長和寬分別為b和h,計算此矩形板對于通過其形心且分別與一邊平行的兩軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：取形心為原點,取兩旋轉(zhuǎn)軸為坐標軸,建立坐標系如圖10-36所示.圖10-3623.求直線與坐標軸圍成的三角區(qū)域〔a>0,b>0對x軸及坐標原點的轉(zhuǎn)動慣量〔面ρ為常數(shù).解：所圍三角區(qū)域D如圖10-37所示：圖10-3724.求面密度為常量ρ的勻質(zhì)半圓環(huán)形薄片：對位于z軸上點M0<0,0,a><a>0>處單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力F.解：由對稱性知Fy=0,而故所求引力為：25.化三重積分為三次積分,其中積分區(qū)域Ω分別是：<1>由雙曲拋物面xy=z及平面x+y-1=0,z=0所圍成的閉區(qū)域；<2>由曲面z=x2+y2及平面z=1所圍成的閉區(qū)域；<3>由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所圍成的閉區(qū)域;<4>由曲面cz=xy<c>0>,所圍成的第I卦限的閉區(qū)域。解：<1>積分區(qū)域Ω如圖10-38所示,圖10-38Ω可表示為：故<2>積分區(qū)域Ω如圖10-39所示。圖10-39Ω可表示為：故<3>由消去z得即,所以Ω在xOy面的投影區(qū)域為x2+y2≤1,如圖10-40所示。圖10-40Ω可表示為：-1≤x≤1,,x2+2y2≤z≤2-x2故<4>積分區(qū)域如圖10-41所示。Ω可表示為：圖10-41故26.在直角坐標系下計算三重積分：<1>,其中Ω是由曲面z=xy與平面y=x,x=1和z=0所圍成的閉區(qū)域；<2>,其中Ω為平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所圍成的四面體；<3>,Ω是兩個球：x2+y2+z2≤R2和x2+y2+z2≤2Rz<R>0>的公共部分；<4>,其中Ω是由x=a<a>0>,y=x,z=y,z=0所圍成；<5>,其中Ω是由x2+z2-y2=1,y=0,y=2所圍成；<6>,其中Ω是由所圍成。解：<1>積分區(qū)域Ω如圖10-42所示。圖10-42Ω可表示為：<2>積分區(qū)域Ω如圖10-43所示,Ω可表示為：圖10-43故<3>積分區(qū)域Ω如圖10-44所示。圖10-44由方程x2+y2+z2=R及x2+y2+z2=2Rz得兩球的交線為：,且平面把積分區(qū)域Ω分為兩部分,且積分區(qū)域Ω在z軸上的投影區(qū)間為[0,R],記過上任意一點z的平行于xOy面的平面與Ω相交的平面區(qū)域為D1<z>,過上任意一點z的平行于xOy面的平面與Ω的相交的平面區(qū)域為D2<z>,則<4>積分區(qū)域Ω如圖10-45所示。圖10-45Ω可表示為：故<5>積分區(qū)域Ω如圖10-46所示。圖10-46Ω在y軸上的投影區(qū)間為[0,2],故<6>積分區(qū)域Ω如圖10-47所示。圖10-47Ω可表示為：故27.如果三重積分的被積函數(shù)f<x,y,z>是三個函數(shù)f1<x>,f2<y>,f3<z>的乘積,即f<x,y,z>=f1<x>·f2<y>·f3<z>,積分區(qū)域為a≤x≤b,c≤y≤d,l≤z≤m,證明,這個三重積分等于三個單積分的乘積,即證：28.利用柱面坐標計算下列三重積分：<1>,其中Ω是由曲面及所圍成的閉區(qū)域；<2>,其中Ω是由曲面及平面z=2所圍成的閉區(qū)域.圖10-48解：<1>由及消去得,因而區(qū)域Ω在xOy面上的投影區(qū)域為,如圖10-48所示,在柱面坐標系下：Ω可表示為：圖10-48故<2>積分區(qū)域如圖10-49所示,在柱面坐標系下,Ω可表示為圖10-49圖10-49故29.利用球面坐標計算下列三重積分：<1>,其中Ω是由球面所圍成的閉區(qū)域；<2>,其中Ω由不等式,所確定.解：〔1<2>積分區(qū)域Ω如圖10-50所示,在球面坐標系下,Ω可表示為圖10-50故圖10-5030.選用適當?shù)淖鴺擞嬎阆铝腥胤e分：<1>,其中Ω為柱面及平面z=1,z=0,x=0,y=0所圍成的第I卦限的閉區(qū)域；<2>,其中Ω是由球面所圍成的閉區(qū)域;<3>,其中Ω是由曲面及平面z=5所圍成的閉區(qū)域；<4>,其中Ω由不等式所確定。解：〔1積分區(qū)閉Ω如圖10-51所示.利用柱面坐標計算,Ω在柱面坐標系下表示為：圖10-51,0≤r≤1,0≤z≤1,故本題也可采用直角坐標計算,在直角坐標系下,Ω可表示為：故<2>積分區(qū)域Ω如圖10-52所示。用球面坐標計算,在球面坐標系下Ω可表示為：圖10-52故<3>積分區(qū)域Ω如圖10-53所示。利用柱面坐標計算,在柱面坐標系下,Ω可表示為：圖10-53故<4>積分區(qū)域如圖10-54所示。利用球面坐標計算,在球面坐標系下,Ω可表示為：圖10-54故31.利用三重積分計算由下列曲面所圍成的立體的體積：<1>z=6-x2-y2及；<2>x2+y2+z2=2az<a>0>及x2+y2=z2〔含有z軸的部分；<3>及z=x2+y2;<4>z=及x2+y2=4z.解：〔1曲面圍成的立體Ω如圖10-55所示。在柱面坐標系下,Ω可表示為：圖10-55用柱面坐標可求得Ω的體積〔2曲面圍成的立體Ω如圖10-56所示。在球面坐標系下Ω可表示為：圖10-56利用球面坐標可求得Ω的體積：〔3曲面圍成的立體Ω如圖10-57所示。在柱面坐標系下,Ω可表示為：圖10-57利用柱面坐標可求得Ω的體積：<4>曲面圍成的立體Ω如圖10-58所示。在柱面坐標系下,Ω可表示為：圖10-58利用柱面坐標可求得Ω的體積：*32.選擇坐標變換計算下列各題：〔1〔2解：〔1令則積分區(qū)域Ω變?yōu)棣?：且故<2>坐標變換同〔1。33.球心在原點,半徑為R的球體,在其上任意一點的密度的大小與這點到球的距離成正比,求這球體的質(zhì)量。解：利用球面坐標計算：Ω：則34.利用三重積分計算下列由曲面所圍立體的重心〔設密度ρ=1;<1>z2=x2+y2,z=1;<2><3>z=x2+y2,x+y=a,x=0,y=0,z=0.解：〔1兩曲面所圍立體Ω為一高和底面半徑均為1的圓錐體〔如圖10-59所示,其體積v=.在柱面坐標系下,Ω可表示為：r≤z≤1,0≤r≤1,0≤θ≤2π.圖10-59又由對稱性可知,重心在z軸上,故,所以,所圍立體的重心為.<2>所圍立體Ω如圖10-60所示。其體積.圖10-60在球面坐標系下,Ω可表示為：,又由對稱性知,重點在z軸上,故,故所圍立體的重心為<3>所圍立體Ω如圖10-61所示,在直角坐標系下,Ω可以表示為圖10-610≤x≤a,0≤y≤a-x,0≤z≤x2+y2.先求Ω的體積V.故由Ω關于平面y=x的對稱性可知。.又故所圍立體的重心為.35.球體x2+y2+z2≤2Rz,各點處的密度的大小等于該點到坐標原點的距離的平方,試求這球體的重心。解：用球面坐標計算,在球面坐標系下球體可以表示為：0≤r≤2Rcosφ,0≤φ≤,0≤θ≤2π,球體密度ρ=r2,由對稱性可知重心在z軸上,故,又球體的質(zhì)量從而故球體的重心為.36.一均勻物體〔密度為常量占有的閉區(qū)域Ω由曲面z=x2+y2和平面z=0,|x|=a,|y|=a所圍成?！?求物體的體積；〔2求物體的重心；〔3求物體關于z軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：〔1Ω如圖10-62所示。由對稱性可知。圖10-62<2>由對稱性知,而故物體重心為.37.求半徑為a,高為h的均勻圓柱體對于過中心,而平行于母線的軸的轉(zhuǎn)動慣量〔設密度=1.解：建立坐標系如圖10-63所示,用柱面坐標計算。圖10-6338.求均勻柱體：對于位于點M0〔0,0,a<a>h>處的單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力。解：由柱體的對稱性可知,沿x軸與y軸方向的分力互相抵消,故Fx=Fy=0,而39.在均勻的半徑為R的半圓形薄片的直徑上,要接上一個一邊與直徑等長的同樣材料的均勻矩形薄片,為了使整個均勻薄片的重心恰好落在圓心上,問接上去的均勻矩形薄片另一邊的長度應是多少？解：如圖10-64所示,因為閉區(qū)域D對稱于y軸,所以重心必位于y軸上,即,要使重心恰好落在圓心上,必須使,于是必須,而圖10-64由得.即均勻矩形薄片另一邊長度應是.40.求由拋物線y=x2及直線y=1所圍成的均勻薄片〔面密度為常數(shù)c對于直線y=-1的轉(zhuǎn)動慣量。圖10-65解：*41.試討論下列無界區(qū)域上二重積分的收斂性：<1><2>,D為全平面；<3>當時當時解：〔1當時當時故當m>1時,原積分收斂,當m≤1時發(fā)散?！?由于被積函數(shù)是正的,并且關于x軸和y軸都對稱,故由于,故積分當p>1時收斂,p<1時發(fā)散,p=1時顯然也發(fā)散,因此.同理有：.由此可知僅當p>1且q>1時收斂,其他情形均發(fā)散。<3>由0<m<|φ<x,y>|≤M,可知積分與積分同時收斂同時發(fā)散。由于被積函數(shù)是正的,故由于,當0≤y≤1時,有<若p≥0>,<若p<0>,故<若p≥0>,若p<0,則有相反的不等式。由于,故積分當時收斂,時發(fā)散,而時,由知積分也發(fā)散。由此可知：積分,從而積分當時收斂,當時發(fā)散。*42.計算積分解：由于而收斂,故收斂,從而,采用極坐標有：*43.試討論下列無界函數(shù)的二重積分的收斂性：<1>;<2>解：<1>故當m<1時,原積分收斂,當m≥1時,原積分發(fā)散。〔2由于x2+xy+y2=<當<x,y>≠<0,0>時>故<當<x,y>≠<0,0>時>再注意到廣義重積分收斂必絕對收斂,即知積分與同斂散。由于<當<x,y>≠<0,0>時>,采用極坐標即得而為常義積分,其值為有限數(shù),而由此可知：原積分當p<1時收斂,當p≥1時發(fā)散。44.設A〔0,0,a為球體x2+y2+z2≤R2一質(zhì)量為1的質(zhì)點〔0<a<R,球體密度為常數(shù)ρ,求球?qū)的吸引力。解:45.計算下列對弧長的曲線積分：〔1,其中L為圓周x=acost,y=asint<0≤t≤2π>;<2>,其中L為連接〔1,0及〔0,1兩點的直線段；<3>,其中L為由直線y=x及拋物線y=x2所圍成的區(qū)域的整個邊界；<4>,其中L為圓周x2+y2=a2,直線y=x及x軸在第一象限所圍成的扇形的整個邊界；〔5,其中為曲線x=etcost,y=etsint,z=et上相應于t從0變到2的這段?。弧?,其中為折線ABCD,這里A,B,C,D依次為點〔0,0,0,<0,0,2>,<1,0,2>,<1,3,2>；<7>,其中L為擺線的一拱x=a<t-sint>,y=a<1-cost><0≤t≤2π>；〔8,其中L為曲線x=a<cost+tsint>,y=a<sint-tcot>,<0≤t≤2π>；〔9,其中為螺旋線,x=acost,y=asint,z=at<0≤t≤π>.解：〔1.<2>L的方程為y=1-x〔0≤x≤1.<3>L由曲線L1：y=x2<0≤x≤1>,及L2：y=x<0≤x≤1>組成〔如圖10-66所示。圖10-66故〔4如圖10-67所示,L=L1+L2+L3圖10-67其中L1：y=0<0≤x≤a>,從而L2:x=acost,y=asint,0≤t≤故L3:y=x<0≤x≤a>.故所以<5><6>故<7><8><9>46.求半徑為a,中心角為2φ的均勻圓弧〔線密度=1的重心。解：建立坐標系如圖10-68所示：圖10-68由對稱性可知,又故重心坐標為.即在扇形對稱軸上.且與圓心距離處。47.設螺旋形彈簧一圈的方程為x=acost,y=asint,z=kt,其中0≤t≤2π,它的線密度,求：〔1它關于z軸的轉(zhuǎn)動慣量Iz；〔2它的重心。解：<1><2>故重心坐標為48.計算曲面積分,其中為拋物面z=2-<x2+y2>在xOy面上方的部分,f<x,y,z>分別如下：<1>f<x,y,z>=1;<2>f<x,y,z>=x2+y2;<3>f<x,y,z>=3z.解：拋物面z=2-<x2+y2>與xOy面的交線是xOy面上的圓x2+y2=2,因而曲面在xOy面上的投影區(qū)域Dxy:x2+y2≤2,且ds=故〔1<2><3>49.計算,其中是：〔1錐面z=及平面z=1所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面；〔2錐面z2=3<x2+y2>被平面z=0和z=3所截得的部分。解：〔1,其中:故.因此<2>所截得錐面為故.50.計算下列對面積的曲面積分：〔1,其中為平面在第I卦限中的部分；〔2,其中為平面2x+2y+z=6在第I卦限中的部分；<3>,其中為球面x2+y2+z2=a2上z≥h<0<h<a>的部分；<4>,其中為錐面被柱面x2+y2=2ax所截得的有限部分；<5>,其中為上半球面.解：〔1<如圖10-69所示>圖10-69故<2>:z=6-2x-2y<如圖10-70所示>。圖10-70故<3>且其在xOy面上的投影為Dxy:x2+y2≤a2-h2且故.<4>故<5>Dxy:x2+y2≤R2故51.求拋物面殼的質(zhì)量,此殼的面密度大小為.52.求面密度為的均勻半球殼x2+y2+z2=a2<z≥0>對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：習題十一1．設L為xOy面直線x=a上的一段,證明：其中P<x,y>在L上連續(xù)．證：設L是直線x=a上由<a,b1>到<a,b2>這一段,則L：,始點參數(shù)為t=b1,終點參數(shù)為t=b2故2．設L為xOy面x軸上從點<a,0>到點<b,0>的一段直線,證明：,其中P<x,y>在L上連續(xù)．證：L：,起點參數(shù)為x=a,終點參數(shù)為x=b．故3．計算下列對坐標的曲線積分：<1>,其中L是拋物線y=x2上從點<0,0>到點<2,4>的一段??；<2>其中L為圓周<x-a>2+y2=a2<a>0>及x軸所圍成的在第一象限的區(qū)域的整個邊界<按逆時針方向繞行>；<3>,其中L為圓周x=Rcost,y=Rsint上對應t從0到的一段??；<4>,其中L為圓周x2+y2=a2<按逆時針方向繞行>；<5>,其中Γ為曲線x=kθ,y=acosθ,z=asinθ上對應θ從0到π的一段?。?lt;6>,其中Γ是從點<3,2,1>到點<0,0,0>的一段直線；<7>,其中Γ為有向閉拆線ABCA,這里A,B,C依次為點〔1,0,0,<0,1,0>,<0,0,1>；<8>,其中L是拋物線y=x2上從點<-1,1>到點<1,1>的段?。猓?lt;1>L：y=x2,x從0變到2,<2>如圖11-1所示,L=L1+L2．其中L1的參數(shù)方程為圖11-1L2的方程為y=0<0≤x≤2a>故<3><4>圓周的參數(shù)方程為：x=acost,y=asint,t:0→2π．故<5><6>直線Γ的參數(shù)方程是t從1→0．故<7><如圖11-2所示>圖11-2,x從0→1．,z從0→1,x從0→1．故<8>4．計算,其中L是<1>拋物線y2=x上從點<1,1>到點<4,2>的一段??；<2>從點<1,1>到點<4,2>的直線段；<3>先沿直線從<1,1>到點<1,2>,然后再沿直線到點<4,2>的折線；<4>曲線x=2t2+t+1,y=t2+1上從點<1,1>到點<4,2>的一段?。猓?lt;1>L：,y：1→2,故<2>從<1,1>到<4,2>的直線段方程為x=3y-2,y：1→2故<3>設從點<1,1>到點<1,2>的線段為L1,從點<1,2>到<4,2>的線段為L2,則L=L1+L2．且L1：,y：1→2；L2：,x：1→4；故從而<4>易得起點<1,1>對應的參數(shù)t1=0,終點<4,2>對應的參數(shù)t2=1,故5．設質(zhì)點受力作用,力的反方向指向原點,大小與質(zhì)點離原點的距離成正比,若質(zhì)點由<a,0>沿橢圓移動到B<0,b>,求力所做的功．解：依題意知F=kxi+kyj,且L：,t：0→<其中k為比例系數(shù)>6．計算對坐標的曲線積分：<1>,Γ為x2+y2+z2=1與y=z相交的圓,方向按曲線依次經(jīng)過第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ封限；<2>,Γ為x2+y2+z2=1在第Ⅰ封限部分的邊界曲線,方向按曲線依次經(jīng)過xOy平面部分,yOz平面部分和zOx平面部分．解:<1>Γ：即其參數(shù)方程為：t：0→2π故：<2>如圖11-3所示．圖11-3Γ=Γ1+Γ2+Γ3．Γ1：t：0→,故又根據(jù)輪換對稱性知7．應用格林公式計算下列積分：<1>,其中L為三頂點分別為<0,0>,<3,0>和<3,2>的三角形正向邊界；<2>,其中L為正向星形線；<3>,其中L為拋物線2x=πy2上由點<0,0>到<,1>的一段?。?lt;4>,L是圓周上由點<0,0>到<1,1>的一段??；<5>,其中m為常數(shù),L為由點<a,0>到<0,0>經(jīng)過圓x2+y2=ax上半部分的路線〔a為正數(shù)．圖11-4解：<1>L所圍區(qū)域D如圖11-4所示,P=2x-y+4,Q=3x+5y-6,,,由格林公式得<2>P=x2ycosx+2xysinx-y2ex,Q=x2sinx-2yex,則,．從而,由格林公式得．<3>如圖11-5所示,記,,圍成的區(qū)域為D．〔其中=-L圖11-5P=2xy3-y2cosx,Q=1-2ysinx+3x2y2,由格林公式有：故<4>L、AB、BO及D如圖11-6所示．圖11-6由格林公式有而P=x2-y,Q=-<x+sin2y>．,,即,于是從而<5>L,OA如圖11-7所示．圖11-7P=exsiny-my,Q=excosy-m,,由格林公式得：于是：8．利用曲線積分,求下列曲線所圍成的圖形的面積：<1>星形線x=acos3t,y=asin3t；<2>雙紐線r2=a2cos2θ；<3>圓x2+y2=2ax．解：<1><2>利用極坐標與直角坐標的關系x=rcosθ,y=rsinθ得,從而xdy-ydx=a2cos2θdθ．于是面積為：<3>圓x2+y2=2ax的參數(shù)方程為故9．證明下列曲線積分與路徑無關,并計算積分值：<1>；<2>；<3>沿在右半平面的路徑；<4>沿不通過原點的路徑；證：<1>P=x-y,Q=y-x．顯然P