求最值問題的幾種方法

第4頁共5頁淺談求最值問題的幾種方法摘要：最值問題綜合性強(qiáng),涉及到中學(xué)數(shù)學(xué)的許多分支,因而這類問題題型廣,知識面寬,而且在解法上靈活多樣,能較好體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.在歷年的高考試題中,既有基礎(chǔ)題,也有一些小綜合的中檔題,更有一些以難題的形式出現(xiàn).解決這類問題要掌握多方面的知識,綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)技巧,靈活選擇合理的解題方法,本文就幾類最值問題作一探求.關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；函數(shù)；最值；最大值；最小值1.常見函數(shù)的最值問題.1.1一次函數(shù)的最大值與最小值.一次函數(shù)在其定義域(全體實(shí)數(shù))內(nèi)是沒有最大值和最小值的,但是,如果對自變量的取值范圍有所限制時,一次函數(shù)就可能有最大值和最小值了.例1.設(shè)且≠1,,(0≤≤1),求的最大值與最小值.解:可化為：下面對一次項系數(shù)分兩種情況討論：（1）當(dāng)＞1時，-＞0,于是函數(shù)的函數(shù)值是隨著的增加而增加的,所以當(dāng)=0時,取最小值;當(dāng)=1時,y取最大值.（2）當(dāng)0＜＜1時,,于是函數(shù)的函數(shù)值是隨著的增加而減少的,所以當(dāng)=0時,取最大值;當(dāng)=1時,取最小值.例2.已知是非負(fù)實(shí)數(shù),且滿足條件求的最大值和最小值.分析：題設(shè)條件給出兩個方程,三個未知數(shù)，當(dāng)然，的具體數(shù)值是不能求出的.但是,我們固定其中一個，不防固定，那么都可以用來表示，于是便是的函數(shù)了（需注意的取值范圍），從而我們根據(jù)已知條件，可求出的最大值與最小值.1.2二次函數(shù)的最大值與最小值一般地，求二次函數(shù)的最大值與最小值，都是根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象來求解，即有：若>0，則當(dāng)=—時，有最小值為；若<0，則當(dāng)=—時，有最大值.這里我們給出另一種求二次函數(shù)最值的方法——判別式法.例3.已知1,2是方程(是實(shí)數(shù)）的兩個實(shí)數(shù)根，求的最大值與最小值.分析：一般地,二次函數(shù),若方程有實(shí)根,其判別式≥0.如果關(guān)于的不等式≥0,可以解出的取值范圍，便可求出函數(shù)的最值，這就是求函數(shù)最值的判別式法.解：由于二次方程有實(shí)根，所以=≥0解得≤≤則由于在上是減函數(shù),可見當(dāng)時，=有最大值18，當(dāng)時，=有最小值.1.3三角函數(shù)的最大值與最小值三角函數(shù)的最值問題題型廣，涉及的知識面寬，而且在解法上靈活多變，能較好的體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，因而一直是學(xué)習(xí)中的熱點(diǎn)和重點(diǎn).例4.已知函數(shù),設(shè)，當(dāng)為何值時，y取得最小值.當(dāng)時，即時，；當(dāng)時，即=6時，.解法3.善用導(dǎo)數(shù).導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)尤其是函數(shù)最值問題成為強(qiáng)有力的手段，要重視導(dǎo)數(shù)在解決一些復(fù)雜的函數(shù)最值上的作用，善于運(yùn)用它體念它獨(dú)特的解題魅力，能使問題得到簡潔，完美的解決.對原函數(shù)求導(dǎo)可得令得又計算端點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)為零的函數(shù)值得，，.由此可得當(dāng)=時，，當(dāng)=6時，.3.其它函數(shù)的最值問題處理一般函數(shù)的最大值與最小值，我們常常用不等式來估計上界或下界，進(jìn)而構(gòu)造例子來說明能取到這個最大值或者最小值。例7.設(shè)是正實(shí)數(shù)，求函數(shù)的最小值.解：先估計的最小值又當(dāng)時，.所以的最小值為.說明：在求最?。ù螅┲?，一定要舉例說