自動(dòng)控制理論作者浙江大學(xué)鄒伯敏教授第二章

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型浙江大學(xué)鄒伯敏教授自動(dòng)控制理論普通高等教育“九五〞部級(jí)重點(diǎn)教材9/27/20231描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型的方法自動(dòng)控制理論狀態(tài)變量描述狀態(tài)方程是這種描述的最根本形式建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法實(shí)驗(yàn)法：人為施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄根本輸出響應(yīng)。解析法：根據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的根本物理定律，列寫處每一個(gè)元件的輸入-輸出關(guān)系式。輸入－輸出描述微分方程是這種描述的最根本形式。傳遞函數(shù)、方框圖等其它模型均由它而導(dǎo)出數(shù)學(xué)模型：是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及于內(nèi)部其它變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式9/27/20232第一節(jié)列寫系統(tǒng)微分方程的一般方法用解析法建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟自動(dòng)控制理論根據(jù)根本的物理定律，列寫出系統(tǒng)中一個(gè)元件的輸入與輸出的微分方程式確定系統(tǒng)的輸入量與輸出量，消去其余的中間變量，求得系統(tǒng)輸出與輸入的微分方程式圖2-1Ｒ-L-C電路例2-1求Uc與Ur的微分方程式解：由基爾霍夫定律得消去中間變量，則有:舉例一、電氣網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)9/27/20233自動(dòng)控制理論圖2-2R-C濾波網(wǎng)絡(luò)例2-2.試寫出圖2-2電路的微分方程解由基爾霍夫定律列出以下方程組消去中間變量i1、i2得或?qū)懽?/27/20234自動(dòng)控制理論例2-3.求外力F(t)與質(zhì)量塊m位移ｙ(t)之間的微分方程解由牛頓第二定律列出方程圖2-3彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)即式中，ｆ——為阻尼第數(shù)；ｋ——為彈簧的彈性系數(shù)。ky(t)——彈性拉力——阻尼器阻力二、機(jī)械位移系統(tǒng)9/27/20235自動(dòng)控制理論例2-4.試寫出圖2-4所示直流調(diào)速系統(tǒng)的微分方程式圖2-4G-M直流調(diào)速系統(tǒng)原理圖三、直流調(diào)速系統(tǒng)9/27/20236圖2-5G-M直流調(diào)速系統(tǒng)的框圖列寫元件和系統(tǒng)方程式前,首先要明確誰是輸入量和輸出量，把與輸出量有關(guān)的項(xiàng)寫在方程式等號(hào)的左方，與輸入量有，關(guān)系的項(xiàng)寫在等號(hào)的右方，列寫系統(tǒng)中各元件輸入－輸出微分方程式，消去中間變量，求得系統(tǒng)的輸出與輸入的微分方程式寫微分方程式的一般步驟：9/27/20237自動(dòng)控制理論

放大器圖2-6直流他勵(lì)發(fā)電機(jī)電路圖(2-4)

假設(shè)驅(qū)動(dòng)發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)速n0恒定不變，發(fā)電機(jī)沒有磁滯回線和剩磁，發(fā)電機(jī)的磁化曲線為一直線，即Φ/iB=L。

直流他勵(lì)發(fā)電機(jī)9/27/20238自動(dòng)控制理論由電機(jī)學(xué)原理得：圖2-7直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī)電路圖把式〔2-6〕代入〔2-5〕，那么得〔2-5〕〔2-6〕〔2-7〕式中9/27/20239自動(dòng)控制理論

直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī)被控制量是電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速n?？刂屏浚喊l(fā)電機(jī)的電動(dòng)勢(shì)EG和負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL由基爾霍夫定律和牛頓第二定律得9/27/202310上式中消去中間變量后得到輸入量是電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速n，輸出量是測(cè)速發(fā)電機(jī)的電壓Ufn，假設(shè)測(cè)速發(fā)電機(jī)的磁場(chǎng)恒定不變，那么Ufn與n成線性關(guān)系即有

測(cè)速發(fā)電機(jī)

9/27/202311自動(dòng)控制理論9/27/202312自動(dòng)控制理論第二節(jié)非線性數(shù)學(xué)模型的線性化非線性數(shù)學(xué)模型線性化的假設(shè)變量對(duì)于平衡工作點(diǎn)的偏離較小非線性函數(shù)不僅連續(xù)，而且其多階導(dǎo)數(shù)均存在微偏法在給定工作點(diǎn)鄰域?qū)⒋朔蔷€性函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)，并略去二階及二階以上的各項(xiàng)，用所得的線性化方程代替原有的非線性方程。設(shè)一非線性元件的輸入為x、輸出為y，它們間的關(guān)系如圖2-9所示，相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為圖2-9非線性特性的線性化y=f(x)（2-13）9/27/202313自動(dòng)控制理論在給定工作點(diǎn)A〔x0,y0〕附近，將上式展開為泰勒級(jí)數(shù)9/27/202314自動(dòng)控制理論舉例上節(jié)在推導(dǎo)直流他勵(lì)發(fā)電動(dòng)機(jī)的微分方程式時(shí)，曾假設(shè)其磁化曲線為直線，實(shí)際上發(fā)電機(jī)的磁化曲線如圖2-10所示。設(shè)發(fā)電機(jī)原工作于磁化曲線的A點(diǎn)，假設(shè)發(fā)電機(jī)的勵(lì)磁電壓增加△U1，求其增量電動(dòng)勢(shì)△EG的變化規(guī)律。圖2-10發(fā)電機(jī)的磁化曲線若勵(lì)磁電壓增量，則有如果發(fā)電機(jī)在小信號(hào)勵(lì)磁電壓的作用下，工作點(diǎn)A的偏離就較小，這樣就可通過點(diǎn)A作一切線CD，且以此切線CD近似代替原有的曲線EAF。在平衡點(diǎn)A處，直流電機(jī)的方程為9/27/202315自動(dòng)控制理論由式〔2-17〕減式〔2-15〕，式〔2-17〕減式〔2-15〕后得式〔2-19〕、〔2-20〕均為增量方程，它們描述了發(fā)電機(jī)在平衡點(diǎn)A處受到△u1作用后的運(yùn)動(dòng)過程。對(duì)增量方程式而言，磁化曲線的坐標(biāo)原點(diǎn)不是在O點(diǎn)，而是移到A點(diǎn)。因而發(fā)電機(jī)的初始條件仍為零。式中N為勵(lì)磁繞組的匝數(shù)。9/27/202316自動(dòng)控制理論9/27/202317自動(dòng)控制理論在實(shí)際應(yīng)用中，常把增量符號(hào)“△〞省去，這樣上述兩式顯然和〔2-5〕〔2-6〕完全相同小結(jié)隨著發(fā)電機(jī)平衡工作點(diǎn)的不同，其時(shí)間常數(shù)和放大倍數(shù)是不同的。由線性化引起的誤差大小與非線性的程度有關(guān)9/27/202318自動(dòng)控制理論第三節(jié)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的定義：在零初始條件下，系統(tǒng)〔或元件〕輸出量的拉氏變換與其輸入量的拉氏變換之比，即為系統(tǒng)〔或元件〕的傳遞函數(shù)。設(shè)線性定系統(tǒng)的微分方程式為9/27/202319自動(dòng)控制理論在零初始條件下，對(duì)上式進(jìn)行拉式變換得9/27/202320〔1〕傳遞函數(shù)是由系統(tǒng)的微分方程經(jīng)拉氏變換后求得，而拉氏變換是一種線性變換，因而這必然同微分方程一樣能象征系統(tǒng)的固有特性，即成為描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的又一形式的數(shù)學(xué)模型?！?〕由于傳遞函數(shù)包含了微分方程式的所有系數(shù)，因而根據(jù)微分方程就能直接寫出對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)，即把微分算子用復(fù)變量s表示，把c(t)和r(t)換為相應(yīng)的象函數(shù)C(s)和R(s)，那么就把微分方程轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的傳遞函數(shù)。反之亦然。根據(jù)式(2-30)單位脈沖響應(yīng)及應(yīng)用自動(dòng)控制理論小結(jié)：9/27/202321如果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)g(t),那么利用卷積積分求解系統(tǒng)在任何輸入r(t)作用下的輸出響應(yīng),即下面以一個(gè)R-C電路(圖2-11)為例,說明卷積積分的應(yīng)用該電路的微分方程為自動(dòng)控制理論圖2-11R-C電路9/27/202322自動(dòng)控制理論1、由于2、3、式中9/27/202323傳遞函數(shù)的性質(zhì)自動(dòng)控制理論

傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外施信號(hào)的大小和形式無關(guān)傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)為復(fù)變量s的有理分式，它的分母多項(xiàng)式S的最高階次n總是大于或等于其分子多項(xiàng)式s的最高階次m，即n≥m

傳遞函數(shù)不能反映非零初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程一個(gè)傳遞函數(shù)是由相應(yīng)的零、極點(diǎn)組成一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入與一個(gè)輸出的關(guān)系，它不能反映系統(tǒng)內(nèi)部的特性對(duì)于多輸入—多輸出的系統(tǒng)，要用傳遞函數(shù)關(guān)系陣去描述它們間的關(guān)系，例如圖2-12所示的系統(tǒng)9/27/202324自動(dòng)控制理論圖2-12多輸入多輸出系統(tǒng)

由圖2-12得9/27/202325自動(dòng)控制理論典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)特點(diǎn)：輸出不失真、不延遲、成比例地復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)的變化比例環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)特點(diǎn)：輸出量延緩地反映輸入量的變化規(guī)律微分方程9/27/202326自動(dòng)控制理論積分環(huán)節(jié)特點(diǎn)：環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量對(duì)時(shí)間的積分成正比，即有圖2-13積分環(huán)節(jié)模擬電路圖例如圖2-13所示的積分器，其傳遞函數(shù)為9/27/202327微分環(huán)節(jié)理想的微分環(huán)節(jié)的輸出與輸入信號(hào)對(duì)時(shí)間的微分成正比，即圖2-14微分環(huán)節(jié)模擬電路圖1〕實(shí)際的微分環(huán)節(jié)，如圖2-14所示，它的傳遞函數(shù)為：自動(dòng)控制理論2〕直流測(cè)速發(fā)電機(jī)。如圖2-15所示，圖2-15直流測(cè)速發(fā)電機(jī)9/27/202328振蕩環(huán)節(jié)特點(diǎn)：如輸入為一階躍信號(hào)，那么環(huán)節(jié)的輸出卻是周期振蕩形式微分方程自動(dòng)控制理論具有式〔2-33〕形式的傳遞函數(shù)在控制工程中經(jīng)常會(huì)碰到，例如9/27/202329自動(dòng)控制理論1〕R-L-C電路的傳遞函數(shù)2〕彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)的傳遞函數(shù)3〕直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī)在變化時(shí)的傳遞函數(shù)上述三個(gè)傳遞函數(shù)在化成式〔2-33〕所示的形式時(shí)，雖然它們的阻尼比ξ和1/T所含的具體內(nèi)容各不相同，但只要滿足0＜ξ＜1，那么它們都是振蕩環(huán)節(jié)。9/27/202330自動(dòng)控制理論純滯后環(huán)節(jié)圖2-16純滯后環(huán)節(jié)模擬電路圖那么如果9/27/202331自動(dòng)控制理論第四節(jié)系統(tǒng)框圖及其等效變換繪制系統(tǒng)方框圖的一般步驟1、寫出系統(tǒng)中每一個(gè)部件的運(yùn)動(dòng)方程式2、根據(jù)部件的運(yùn)動(dòng)方程式寫出相應(yīng)的傳遞函數(shù)，一個(gè)部件用一個(gè)方框表示在框中填入相應(yīng)的傳遞函數(shù)3、根據(jù)信號(hào)的流向，將各方框單元依次連接起來，并把系統(tǒng)的輸入量置于系統(tǒng)方框圖的最左端，輸出量置于最右端例2-3繪制圖2-18所示電路的方框圖1〕列方程圖2-18R-C網(wǎng)絡(luò)9/27/202332自動(dòng)控制理論2〕畫出上述兩式對(duì)應(yīng)的方框圖3〕將兩方框圖按信號(hào)的流向依次連接，求得2-19C的系統(tǒng)方框圖例2-4繪制圖2-2所示R-C網(wǎng)絡(luò)方框圖1〕列方程圖2-192-18所示電路系統(tǒng)框圖9/27/202333自動(dòng)控制理論2〕畫出上述四式對(duì)應(yīng)的方框圖，如圖2-20a所示3〕根據(jù)信號(hào)的流向，將各方框單元依次連接起來，就得到圖2-20b所示的方框圖圖2-209/27/202334自動(dòng)控制理論方框圖的等效變換1、串聯(lián)連接圖2-23通式：2、并聯(lián)連接圖-2-249/27/202335自動(dòng)控制理論由圖2-24得通式：3、反響連接圖2-259/27/202336自動(dòng)控制理論1〕負(fù)反響連接2〕正反響連接例如4、引出點(diǎn)移動(dòng)1〕引出點(diǎn)后移圖2-269/27/2023372〕引出點(diǎn)前移5、綜合點(diǎn)移動(dòng)1〕綜合點(diǎn)后移自動(dòng)控制理論2〕綜合點(diǎn)前移9/27/202338自動(dòng)控制理論例2-27，求圖2-27所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)解將圖中引出點(diǎn)A后移,然后從內(nèi)回路到外回路逐步化簡(jiǎn),其過程為圖2-28所示圖2-279/27/202339自動(dòng)控制理論圖2-289/27/202340設(shè)系統(tǒng)如圖2-30所示,圖中R(s)—參數(shù)輸入,D(s)—擾動(dòng)1、開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)反響量B(s)與誤差信號(hào)E(s)的比值稱為開環(huán)傳遞函數(shù)。即自動(dòng)控制理論圖2-302、參改輸入作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令D(s)=0，那么圖2-30變?yōu)閳D2-31第五節(jié)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)9/27/202341根據(jù)式〔2-39〕求得自動(dòng)控制理論圖2-31系統(tǒng)的輸出為如果H(s)=1，那么圖2-31所示的系統(tǒng)為單位反響系統(tǒng)，它的閉環(huán)傳遞函數(shù)為9/27/202342自動(dòng)控制理論3、擾動(dòng)D(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令r(t)=0，把圖2-30改畫為圖2-32，由該圖求得9/27/202343圖2-33自動(dòng)控制理論9/27/202344當(dāng)系統(tǒng)同時(shí)受到R(s)和D(s)作用時(shí)，由疊加原理得系統(tǒng)總的輸出為自動(dòng)控制理論系統(tǒng)總的誤差為9/27/202345第五節(jié)信號(hào)流圖和梅遜公式的應(yīng)用信號(hào)流圖也是一種圖示法，將它應(yīng)用于線性系統(tǒng)時(shí)必須先將系統(tǒng)的微分方程組變成以S為變量的代數(shù)方程組，且把每個(gè)方程改寫為以下的因果形式信號(hào)流圖的根本組成單元有兩個(gè)：節(jié)點(diǎn)和支路節(jié)點(diǎn)在圖中用“O〞表示，它表示系統(tǒng)中的變量；兩變量間的因果關(guān)系用一被稱為支路的有向線段來表示。箭頭表示信號(hào)的傳輸方向，兩變量間的因果關(guān)系叫做增益，標(biāo)明在相應(yīng)的支路旁例一個(gè)線性方程為自動(dòng)控制理論9/27/202346舉例說明信號(hào)流圖繪制的步驟。設(shè)一系統(tǒng)的線性方程組為繪制的步驟如圖2-35所示。自動(dòng)控制理論圖2-35方程組的信號(hào)流程9/27/202347信號(hào)流圖的術(shù)語和性質(zhì)1、術(shù)語1〕節(jié)點(diǎn)—代表系統(tǒng)中的變量,并等于所有流入該節(jié)點(diǎn)的信號(hào)之和。2〕支路—信號(hào)在支路上按箭頭的指向由一個(gè)節(jié)點(diǎn)流向另一個(gè)節(jié)點(diǎn)3〕輸入節(jié)點(diǎn)或源點(diǎn)—相當(dāng)于自變量，它只有輸出支路。4〕輸出節(jié)點(diǎn)或阱點(diǎn)—它是只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于因變量。5〕通路—沿著支路的箭頭方向穿過各相連支路的途徑，稱為通路開通路—通路與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次閉通路—通路的終點(diǎn)也是通路的起點(diǎn)，并且與任何其它節(jié)點(diǎn)相交不多于一次6〕前向通路—從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的通路上，通過任何節(jié)點(diǎn)不多于一次，此通路自然保護(hù)區(qū)為前向通路7〕回路—就是閉環(huán)通路8〕不接觸回路—批一些回路間沒有任何公共節(jié)點(diǎn)9〕前向通路增益—在前向通路中多支路增益的乘積。10〕回路增益—回路中多支路增益的乘積。自動(dòng)控制理論9/27/2023482、性質(zhì)1〕信號(hào)流圖只適用于線性系統(tǒng)2〕支路表示一個(gè)信號(hào)對(duì)另一個(gè)信號(hào)的函數(shù)關(guān)系；信號(hào)只能沿著支路上的箭頭指向傳遞3〕要節(jié)點(diǎn)上可以把所有輸入支路的信號(hào)疊加，并反相加后的信號(hào)傳送到甩有的輸出