第5章 圖像的幾何變換

第5章圖像的幾何變換12幾何變換是一種簡單的圖像變換方法。幾何變換仍然在空間域。幾何變換的許多算法與圖形學(xué)相似。圖像的幾何變換包括了圖像的形狀變換和圖像的位置變換。圖像的位置變換是指圖像的平移、鏡像與旋轉(zhuǎn)。圖像的形狀變換是指圖像的放大、縮小與錯(cuò)切。圖像的仿射變換是指圖像幾何變換的描述。圖像的幾何變換通常不改變像素的值，只改變像素的位置。幾何變換基于矩陣運(yùn)算。235.1矩陣復(fù)習(xí)矩陣及其運(yùn)算：矩陣：由m×n個(gè)數(shù)按一定位置排列的一個(gè)整體，簡稱m×n階矩陣。

Am×n=其中，aij稱為矩陣A的第i行第j列元素。3矩陣及其運(yùn)算：矩陣加法設(shè)A，B為兩個(gè)具有相同行和列元素的矩陣：

A+B=對(duì)應(yīng)位置的元素相加；只有在兩個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)都相同時(shí)才能相加。45矩陣及其運(yùn)算：矩陣的乘法只有當(dāng)前一矩陣的列數(shù)等于后一矩陣的行數(shù)時(shí)兩個(gè)矩陣才能相乘。C=Cm×p=Am×n·Bn×pcij=∑aik*bkj例：設(shè)A為2×3的矩陣，B為3×2的矩陣，則兩者的乘積為：k=1,…,n56矩陣及其運(yùn)算：方陣：n×n階矩陣稱為（n階）方陣。單位矩陣在一矩陣中，其主對(duì)角線各元素aii=1,其余皆為0的矩陣稱為單位矩陣。n階單位矩陣通常記作In，并有：

Am×n=Am×n·InAm×n=Im·Am×n67矩陣及其運(yùn)算：矩陣的轉(zhuǎn)置交換一個(gè)矩陣Amxn的所有的行列元素，那么所得到的n×m的矩陣被稱為原有矩陣的轉(zhuǎn)置，記為AT：(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(aA)T=aAT(A·B)T=BT·AT當(dāng)A為n階矩陣，且A=AT，則A是對(duì)稱矩陣。78矩陣及其運(yùn)算：矩陣的逆對(duì)于一個(gè)n×n的方陣A，如果存在一個(gè)n×n的方陣B，使得A·B=B·A=In，則稱B是A的逆，記為：

B=A-1，A則被稱為非奇異矩陣。矩陣的逆是相互的，A同樣也可記為A

=B-1

，B也是一個(gè)非奇異矩陣。任何非奇異矩陣有且只有一個(gè)逆矩陣。89矩陣及其運(yùn)算：矩陣運(yùn)算的基本性質(zhì)：交換律與結(jié)合律：

A+B=B+A;A+(B+C)=(A+B)+C數(shù)乘的分配律及結(jié)合律：

a(A+B)=aA+aB;a(A·B)=(aA)·B=A·(aB)(a+b)A=aA+bAa(bA)=(ab)A矩陣乘法的結(jié)合律及分配律：

A(B·C)=(A·B)C(A+B)·C=A·C+B·CC·(A+B)=C·A+C·B矩陣的乘法不適合交換律。95.2圖像的位置變換所謂圖像的位置變換是指圖像的大小和形狀不發(fā)生變化，只是將圖像進(jìn)行平移、鏡像和旋轉(zhuǎn)。圖像的位置變換主要是用于目標(biāo)識(shí)別中的目標(biāo)配準(zhǔn)。105.2.1圖像的平移圖像的平移非常簡單，所用到的是中學(xué)學(xué)過的直角坐標(biāo)系的平移變換公式：

即：g(x,y)=f(x’,y’)注意：x方向與y方向是矩陣的行列。11圖像的平移

——示例注意：平移后的景物與原圖像相同，但“畫布”一定是擴(kuò)大了。否則就會(huì)丟失信息。下移1行，右移2列x=[1,2,3];y=[1,2,3]x’=[2,3,4];y’=[3,4,5]123123123451234125.2.2圖像的鏡像所謂的鏡像，通俗地講，是指在鏡子中所成的像。其特點(diǎn)是左右顛倒或者是上下顛倒。鏡像分為水平鏡像和垂直鏡像。13圖像的水平鏡像水平鏡像計(jì)算公式如下（圖像大小為M*N）因?yàn)楸硎緢D像的矩陣坐標(biāo)不能為負(fù)，因此需要在進(jìn)行鏡像計(jì)算之后，再進(jìn)行坐標(biāo)的平移。（坐標(biāo)平移）0-1-2-312314圖像的水平鏡像示例：123123123-1-2-332112315水平鏡像示例16圖像的垂直鏡像垂直鏡像計(jì)算公式如下（圖像大小為M*N）

因?yàn)楸硎緢D像的矩陣坐標(biāo)不能為負(fù)，因此需要在進(jìn)行鏡像計(jì)算之后，再進(jìn)行坐標(biāo)的平移。（坐標(biāo)平移）17圖像的垂直鏡像示例：123123123-1-2-312332118垂直鏡像示例195.2.3圖像的旋轉(zhuǎn)圖像的旋轉(zhuǎn)計(jì)算公式如下：這個(gè)計(jì)算公式計(jì)算出的值為小數(shù)，而坐標(biāo)值為正整數(shù)。這個(gè)計(jì)算公式計(jì)算的結(jié)果值所在范圍與原來的值所在的范圍不同。因此需要前期處理：擴(kuò)大畫布，取整處理，平移處理。2021旋轉(zhuǎn)(Rotation)：旋轉(zhuǎn)前的圖

旋轉(zhuǎn)后的圖轉(zhuǎn)出的部分被裁掉

旋轉(zhuǎn)后保持原圖大小

2122圖像旋轉(zhuǎn)的前期處理

——畫布的擴(kuò)大圖像旋轉(zhuǎn)之前，為了避免信息的丟失，畫布的擴(kuò)大是最重要的。畫布擴(kuò)大的原則是：以最小的面積承載全部的畫面信息。23圖像旋轉(zhuǎn)的前期處理

——畫布的擴(kuò)大畫布擴(kuò)大的簡單方法是：根據(jù)公式計(jì)算出x’和y’的最大、最小值，即x’min、x’max和y’min，y’max。畫布大小為：x’max–x’min、y’max–y’min。24圖像旋轉(zhuǎn)的前期處理

——畫布的擴(kuò)大旋轉(zhuǎn)后圖像的畫布大小為：例平移量為△x’=2;△y’=025

——按照確定畫布時(shí)的平移量取整結(jié)論：按照圖像旋轉(zhuǎn)計(jì)算公式獲得的結(jié)果與想象中的差異很大。對(duì)原圖的(1,1)像素，x=1,y=1取整后，該點(diǎn)在新圖的(2,1)上。對(duì)原圖的(1,2)像素，x=1,y=2取整后，該點(diǎn)在新圖的(2,2)上。必須進(jìn)行后處理操作。26圖像旋轉(zhuǎn)后處理

——旋轉(zhuǎn)后的隱含問題分析圖像旋轉(zhuǎn)之后，出現(xiàn)了兩個(gè)問題：1）像素的排列不是完全按照原有的相鄰關(guān)系。這是因?yàn)橄噜徬袼刂g只能有8個(gè)方向（相鄰為45度），如下圖所示。2）會(huì)出現(xiàn)許多的空洞點(diǎn)。27圖像旋轉(zhuǎn)后處理

——解決問題的思路出現(xiàn)問題的核心是像素之間的連接是不連續(xù)的。相鄰像素的角度是無法改變的，所以只能通過增加分辨率的方法來從整體上解決這個(gè)問題。采用某種填補(bǔ)方法來填充空洞。28圖像旋轉(zhuǎn)的后處理

——插值最簡單的方法是最鄰近插值法－－行插值（列插值）方法。1）找出當(dāng)前行的最小和最大的非背景點(diǎn)的坐標(biāo)，記作：(i,k1)、(i,k2)。如右圖有：(1,3)、(1,3);(2,1)、(2,4);(3,2)、(3,4)；(4,2)、(4,3)。29圖像旋轉(zhuǎn)的后處理

——插值2）在(k1,k2)范圍內(nèi)進(jìn)行插值，插值的方法是：空點(diǎn)的像素值等于前一點(diǎn)（或后一點(diǎn)）的像素值。3）同樣的操作重復(fù)到所有行。3031旋轉(zhuǎn)插值31圖像旋轉(zhuǎn)的后處理

——插值均值插值法－－取周圍像素值的均值。f12f13f11f23f21f22f33f31f32g2332圖像旋轉(zhuǎn)——極坐標(biāo)變換法極坐標(biāo)法－－把原圖像坐標(biāo)變換到極坐標(biāo)系中，進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換。

正變換逆變換335.3圖像的形狀變換圖像的形狀變換主要是指圖像的縮小、放大與錯(cuò)切。圖像的形狀變換通常在目標(biāo)物識(shí)別中使用。34圖像的形狀變換應(yīng)用

——目標(biāo)物識(shí)別如圖所示,要判別圖中的某個(gè)果子是蘋果還是李子,要將該圖像進(jìn)行放大或者是縮小,才能夠進(jìn)行正確的比較與識(shí)別。355.3.1圖像的縮小分為按比例縮小和不按比例縮小兩種。圖像縮小之后，因?yàn)槌休d的信息量小了，所以畫布可相應(yīng)縮小。(a)按比例縮小(b)不按比例縮小36圖像縮小

——實(shí)現(xiàn)思路圖像縮小實(shí)際上就是對(duì)原有的多個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行挑選或處理，獲得期望縮小尺寸的數(shù)據(jù)，并且盡量保持原有的特征不丟失。37圖像按比例縮?。鹤詈唵蔚氖菧p小一半，這樣只需取原圖的偶（奇）數(shù)行和偶（奇）數(shù)列構(gòu)成新的圖像。如果圖像按任意比例縮小，則需要計(jì)算選擇的行列。38圖像縮小

——實(shí)現(xiàn)方法設(shè)原圖像大小為M*N，縮小為k1M*k2N，（k1<1，k2<1）。算法步驟如下：1）設(shè)原圖為F(i,j)，i=1,2,…,M,j=1,2,…,N.壓縮后圖像是G(x,y),x=1,2,…,k1M,y=1,2,…,k2N.其中，c1=1/k1c2=1/k2為采樣間隔2）G(x,y)=F(c1*x,c2*y)

39圖像縮小

——例題k1=0.6,k2=0.7579101112131516171825272829303133343536i=[1,6],j=[1,6].x=[1,6*0.6]=[1,4],y=[1,6*0.75]=[1,5].x=[1/0.6,2/0.6,3/0.6,4/0.6]=[1.67,3.33,5,6.67]=[i2,i3,i5,i6],y=[1/0.75,2/0.75,3/0.75,4/0.75,5/0.75]=[j1,j3,j4,j5,j6].123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536405.3.2圖像放大圖像放大從字面上看，是圖像縮小的逆操作，但是，從信息處理的角度來看，則難易程度完全不一樣。圖像縮小是從多個(gè)信息中選出所需要的信息，而圖像放大則是需要對(duì)多出的空位填入適當(dāng)?shù)闹担切畔⒌墓烙?jì)。41圖像放大一般分為按比例放大和不按比例放大兩種：按比例放大：如果需要將原圖像放大k倍，則將一個(gè)像素值添在新圖像的k×k的子塊中。任意不成比例放大：這種操作由于x方向和y方向的放大倍數(shù)不同，一定帶來圖像的幾何畸變。圖像放大倍數(shù)太大，會(huì)出現(xiàn)馬賽克效應(yīng)。42圖像放大

——實(shí)現(xiàn)思路最簡單的思想是，如果需要將原圖像放大為k倍，則將原圖像中的每個(gè)像素值，填在新圖像中對(duì)應(yīng)的k×k大小的子塊中。放大5倍顯然，當(dāng)k為整數(shù)時(shí)，可以采用這種簡單的方法。43圖像放大

——實(shí)現(xiàn)方法設(shè)原圖像大小為M*N,放大為k1M*k2N，（k1>1，k2>1）。算法步驟如下：1)設(shè)舊圖像是F(i,j)，i=1,2,…,M,j=1,2,…,N.新圖像是G(x,y),x=1,2,…,k1M,y=1,2,…,k2N.2)G(x,y)=F(c1*i,c2*j)

c1=1/k1c2=1/k244K1=1.5,

k2=1.2123312334566i=[1,2],j=[1,3].x=[1,2*1.5]=[1,3],y=[1,3*1.2]=[1,4].x=[1/1.5,2/1.5,3/1.5]=[i1,i1,i2],y=[1/1.2,2/1.2,3/1.2,4/1.2]=[j1,j2,j3,j3].123456圖像放大

——實(shí)現(xiàn)方法45圖像的成倍放大效果示例46

思考一個(gè)問題：如果放大倍數(shù)太大，按照前面的方法處理會(huì)出現(xiàn)馬賽克效應(yīng)。如果這個(gè)問題交給你，有沒有辦法解決？或者想辦法至少使之有所改善？圖像放大

——思考問題47圖像大比例放大時(shí)的馬賽克效應(yīng)放大10倍48灰度級(jí)插值灰度級(jí)插值最鄰近插值法雙線性插值（一階插值）高階插值49雙線性插值基本算法思想假設(shè)輸出圖像的寬度為W，高度為H，輸入圖像的寬度為w高度為h，要將輸入圖像的尺度拉伸或壓縮變換至輸出圖像的尺度。按照線形插值的方法，將輸入圖像的寬度方向分為W等份，高度方向分為H等份，那么輸出圖像中任意一點(diǎn)（x，y）的灰度值就應(yīng)該由輸入圖像中四點(diǎn)（u，v）、（u+1，v）、（u，v+1）和（u+1，v+1）的灰度值來確定。50設(shè)α為x方向的放大系數(shù)，β為y方向的放大系數(shù)。計(jì)算E點(diǎn)灰度：f(u,v0)=f(u,v)+β[