第2章-計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)表示方法

第二章計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中

數(shù)據(jù)的表示方法

1本章學(xué)習(xí)目標(biāo)了解計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)的表示方法掌握各種數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換方法理解計(jì)算過程中溢出和精度誤差導(dǎo)致的計(jì)算錯(cuò)誤2本章學(xué)習(xí)目標(biāo)熟悉流行的字符編碼方法了解數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)內(nèi)存、磁盤中的保存、通信方式了解誤碼和糾錯(cuò)的概念32.1概述4字節(jié)：數(shù)據(jù)基本單元=8bit=1byte存儲(chǔ)器最小可尋址單位（addressable）

例如:11010011位：最基本單元(bit)數(shù)字電路中的開或關(guān)；電壓的“高”“低”2.1概述5字：連續(xù)的若干個(gè)字節(jié)構(gòu)成一個(gè)字

一個(gè)字可以是任意位或字節(jié)，但習(xí)慣上是字節(jié)的偶整數(shù)倍2、4、8bytes4位被稱為半字節(jié)（nibble)因此，一個(gè)字節(jié)可分為高半字節(jié)+低半字節(jié)2.1概述62.2位置編碼系統(tǒng)72.2位置編碼系統(tǒng)二進(jìn)制稱為以2為基的計(jì)數(shù)系統(tǒng)10進(jìn)制是以10為基的計(jì)數(shù)系統(tǒng)，相鄰位置的大小相差10倍任何整數(shù)都可以使用任意基數(shù)精確地表示出來(lái)8基數(shù)：計(jì)數(shù)體系中的有效數(shù)字個(gè)數(shù)稱為基數(shù).

例如10進(jìn)制計(jì)數(shù)體系0，1，2，…，9，基數(shù)是10。二進(jìn)制基數(shù)是？92.2位置編碼系統(tǒng)位置編碼系統(tǒng)（權(quán)重編碼系統(tǒng)）：按照數(shù)的位置，任意數(shù)字的值都可以表示成基數(shù)的乘冪形式.

例如：234.5610=2×102+3×101+4×100+5×10-1+6×10-2102.2位置編碼系統(tǒng)110012=1

24+1

23+0

22+0

21+1

20=16+8+0+0+1=25計(jì)算機(jī)中數(shù)制2進(jìn)制編程書寫的數(shù)制10進(jìn)制16進(jìn)制8進(jìn)制2進(jìn)制2.2位置編碼系統(tǒng)11圖2.1計(jì)算機(jī)中常用數(shù)制2.2位置編碼系統(tǒng)122.3十進(jìn)制和二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換132.3十進(jìn)制和二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換計(jì)算機(jī)采用二進(jìn)制計(jì)數(shù)，是其他進(jìn)制的基礎(chǔ)，所以必須熟練掌握.掌握二進(jìn)制計(jì)數(shù)系統(tǒng)有助于理解計(jì)算機(jī)中各個(gè)部件的工作原理以及指令集體系結(jié)構(gòu)14數(shù)制之間有兩種轉(zhuǎn)換方法：減數(shù)法（subtractionmethod）：直觀但麻煩除數(shù)取余法（divisionremaindermethod）：較為簡(jiǎn)單2.3十進(jìn)制和二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換15減數(shù)法舉例19010=？32.3十進(jìn)制和二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換

結(jié)果：19010=21001316除數(shù)取余法19010=？32.3十進(jìn)制和二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換17

結(jié)果：19010=210013十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成任意x進(jìn)制數(shù)

除x取余，從下向上練習(xí)：10410

二進(jìn)制除2取余2.3十進(jìn)制和二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換18答案：110100022.3十進(jìn)制和二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換19二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制：

∑位值×位權(quán)舉例：101100112179

倍乘轉(zhuǎn)換法100100111470010011248183672146+0+0+1+0+0+1+1249183673147×2×2×2×2

×2x2x22481836721462.3十進(jìn)制和二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換20分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)換：十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成任意x進(jìn)制數(shù):

乘x取整,從上到下舉例:0.8125二進(jìn)制？

0.11012.3十進(jìn)制和二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換21

注意：整數(shù)可用任意進(jìn)制表示，而分?jǐn)?shù)有可能不被完全表示。

如(0.5)10=(0.1)2，在3進(jìn)制中就無(wú)法表示盡.2.3十進(jìn)制和二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換22練習(xí)：0.3437510?22.3十進(jìn)制和二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換23答案：0.3437510

0.0101122.3十進(jìn)制和二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換24二進(jìn)制數(shù)較長(zhǎng)，讀起來(lái)較麻煩，例如：110101000110112=1359510常用8進(jìn)制(Octal)或16進(jìn)制(hexadecimal)數(shù)表示2進(jìn)制數(shù)：8進(jìn)制0，1，2，3，4，5，6，716進(jìn)制0~9,A,B,C,D,E,F28：三位一組，直接寫出216：四位一組，直接寫出2.3十進(jìn)制和二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換25舉例：28：三位一組，直接寫出

216：四位一組，直接寫出2.3十進(jìn)制和二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換26練習(xí)：10110111.10010128：三位一組，直接寫出216：四位一組，直接寫出2.3十進(jìn)制和二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換27答案010,110,111.100,1012=267.458

1011,0111.1001,01002=B7.9416

2.3十進(jìn)制和二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換28292.4帶符號(hào)整數(shù)的表示方法帶符號(hào)整數(shù)二進(jìn)制在計(jì)算機(jī)中有兩種表示方法：符號(hào)符值表示法：符號(hào)位+數(shù)值大小補(bǔ)碼表示法（2的補(bǔ)碼表示法Two’scomplement）302.4帶符號(hào)整數(shù)的表示方法

符號(hào)幅值表示法

符號(hào)（1=負(fù)，0=正）+幅值.

例如-127=11111111+127=01111111

表數(shù)范圍=-（2N-1-1）~+（2N-1-1）312.4帶符號(hào)整數(shù)的表示方法例如：+3

00000011-3

10000011

舉例：用符號(hào)符值計(jì)算二進(jìn)制數(shù)75+46322.4帶符號(hào)整數(shù)的表示方法75符號(hào)單列46從右到左，逢2進(jìn)1

上例中需要仔細(xì)保證不發(fā)生溢出，下面是一個(gè)溢出的例子：332.4帶符號(hào)整數(shù)的表示方法10746107+46=25顯然錯(cuò)誤下面是兩個(gè)負(fù)數(shù)相加的例子，加完之后再把負(fù)號(hào)加上：342.4帶符號(hào)整數(shù)的表示方法-46-25再觀察下面的例子：01001111（79）+00100011（35）=01110010=114無(wú)溢出01001111（79）+01100011（99）=00110010（50）有溢出01100011（99）-01001111（79）=00010100（20）無(wú)溢出10101011（-43）-10011000（-24）=10010011（-19）無(wú)溢出352.4帶符號(hào)整數(shù)的表示方法通過上述例子，得到如下結(jié)論：符號(hào)符值表示法用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)過程復(fù)雜，容易出錯(cuò)。例如：（1）符號(hào)相同，幅值相加，結(jié)果可能溢出；（2）符號(hào)相反，判斷哪一個(gè)較大，較大的在前減去較小的，符號(hào)與較大的相同。（3）做減法時(shí)需要借位，計(jì)算機(jī)電路硬件實(shí)現(xiàn)起來(lái)困難；（4）做加法時(shí)需要進(jìn)位，符號(hào)位可能會(huì)被沖掉，導(dǎo)致不可估量的錯(cuò)誤。特別注意到：符號(hào)符值表示法中有兩個(gè)值都表示0，+0和-0，易出亂子怎么辦？引入補(bǔ)碼體系：diminishedradixcomplementsystem

362.4帶符號(hào)整數(shù)的表示方法補(bǔ)碼體系古代算術(shù)“計(jì)算9的個(gè)數(shù)”理論167-52==167+（999-52）（減數(shù)的十進(jìn)制反碼）+（最高位的進(jìn)位1）=167+947=1114+1=115372.4帶符號(hào)整數(shù)的表示方法最高位的進(jìn)位1北京

鐵嶺

16711510000833947111452+1推廣到二進(jìn)制數(shù)01111011（123）-01110101（117）=123+（-117）=123+（-117）反碼+1（-117的反碼=11111111-01110101）=01111011+100001010+1=00000110（+6）優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)化了計(jì)算機(jī)的計(jì)算，不再需要單獨(dú)處理符號(hào)位，而僅需要檢測(cè)符號(hào)位。382.4帶符號(hào)整數(shù)的表示方法反碼表示法（1的補(bǔ)碼表示法One’scomplement）

基數(shù)為r的數(shù)N，有d位數(shù)字，則其反碼定義為（rd-1）-N.

例如:2468=9999-2468=7531二進(jìn)制基數(shù)是r=2，8位數(shù)N有d=7位數(shù)字，所以其反碼是(27-1)-N。特別地：二進(jìn)制反碼=原碼直接逐位求反，簡(jiǎn)單易得。例如：10101100

除去符號(hào)位外，逐位取反11010011對(duì)于數(shù)字電路來(lái)說(shuō)極易實(shí)現(xiàn)！392.4帶符號(hào)整數(shù)的表示方法例：利用反碼表示法求48-19402.4帶符號(hào)整數(shù)的表示方法48-19反碼反碼表示法的不足：仍然有+0和-0表示問題-0=1000000原碼=11111111反碼+0=00000000每次計(jì)算完后還要+1別忘了最高位的進(jìn)位加回來(lái)。補(bǔ)碼表示法（2的補(bǔ)碼表示法Two’scomplement）

正數(shù)的補(bǔ)碼=原碼

負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼=反碼+1（電路也容易實(shí)現(xiàn)）例如：

+23=+（00010111）=（00010111）補(bǔ)-23=-（00010111）=11101000+1=(11101001)補(bǔ)

（注意，連同符號(hào)位一起取反再+1）對(duì)稱地：負(fù)數(shù)的原碼=補(bǔ)碼+1

412.4帶符號(hào)整數(shù)的表示方法利用補(bǔ)碼表示法計(jì)算48-19422.4帶符號(hào)整數(shù)的表示方法48-19只需要兩個(gè)數(shù)相加并拋棄最高位的進(jìn)位補(bǔ)碼表示法檢測(cè)溢出的方法很簡(jiǎn)單：進(jìn)入符號(hào)位和移出符號(hào)位的進(jìn)位相等，就沒有溢出發(fā)生，否則有溢出發(fā)生。例如107+46產(chǎn)生了溢出：432.4帶符號(hào)整數(shù)的表示方法進(jìn)入符號(hào)位移出符號(hào)位107460補(bǔ)碼計(jì)算過程：負(fù)數(shù)轉(zhuǎn)換為補(bǔ)碼形式參與運(yùn)算運(yùn)算是否有溢出發(fā)生，僅需要對(duì)進(jìn)位和符號(hào)位做“異或”檢測(cè)。442.4帶符號(hào)整數(shù)的表示方法直觀地：兩個(gè)負(fù)數(shù)相加結(jié)果為正；兩個(gè)正數(shù)相加結(jié)果為負(fù)，都有溢出產(chǎn)生。例2-21沒有溢出，例2-22有溢出

補(bǔ)碼表示法如何解決+0和-0問題？

8位二進(jìn)制數(shù)采用補(bǔ)碼表示法的取值范圍是-128~+127這是補(bǔ)碼表示法中特有的，即在補(bǔ)碼表示法中所表示的數(shù)值范圍具有非對(duì)稱性，比其他表示方法的表數(shù)范圍多出了一個(gè)-128值。

-128的補(bǔ)碼是：（-128）=(10000000)求補(bǔ)=（01111111）+1=1000,0000

這個(gè)值就是-0，與+0=00000000不同.452.4帶符號(hào)整數(shù)的表示方法

2.5浮點(diǎn)表示法46

2.5浮點(diǎn)表示法47

上述都是關(guān)于整數(shù)數(shù)據(jù)的表示方法，現(xiàn)實(shí)中不能只用整數(shù)表示數(shù)據(jù)。許多數(shù)據(jù)需要用小數(shù)表示。答案：浮點(diǎn)表示法

2.5浮點(diǎn)表示法48

早期程序員利用整數(shù)也可以編寫進(jìn)行浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算的程序，稱為浮點(diǎn)仿真程序。但現(xiàn)今大多數(shù)計(jì)算機(jī)都提供了浮點(diǎn)運(yùn)算硬件，免去了編程的麻煩。浮點(diǎn)數(shù)表示類似于科學(xué)計(jì)數(shù)法，科學(xué)計(jì)數(shù)法由三部分組成：符號(hào)、尾數(shù)和指數(shù)。49

2.5浮點(diǎn)表示法指數(shù)的底是10計(jì)算機(jī)記錄一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)也由三部分組成，排列如下：符號(hào)、指數(shù)和尾數(shù)50

2.5浮點(diǎn)表示法（mantissa）51

2.5浮點(diǎn)表示法符號(hào)位指出了數(shù)值的正負(fù)；指數(shù)部分的長(zhǎng)度決定了表數(shù)范圍的大?。晃矓?shù)部分的長(zhǎng)度決定了表數(shù)的精度例如：IEEE-754單精度浮點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)：32位IEEE-754雙精度浮點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)：64位52

2.5浮點(diǎn)表示法小數(shù)點(diǎn)始終默認(rèn)位于尾數(shù)的前面，所以尾數(shù)是一個(gè)小數(shù)。指數(shù)通常默認(rèn)是以2為底，也有以其他數(shù)為底的。53

2.5浮點(diǎn)表示法為了便于描述，我們以一個(gè)簡(jiǎn)單的14位模型為例：（mantissa）54

2.5浮點(diǎn)表示法例如：32=1.0×25

（科學(xué)計(jì)數(shù)法）=0.1×260.160正數(shù)下列表達(dá)方式代表了同一個(gè)數(shù)32：55

2.5浮點(diǎn)表示法+0.1×26+0.01×27+0.001×28+0.0001×29規(guī)律：小數(shù)點(diǎn)向左移，指數(shù)增大。一數(shù)多表的問題容易引起混亂，解決的方法是規(guī)格化，通常規(guī)定：尾數(shù)的第1位必須是1，稱為規(guī)格化。56

2.5浮點(diǎn)表示法例如：規(guī)格化后17=0.10001×2557

2.5浮點(diǎn)表示法如何表達(dá)一個(gè)負(fù)指數(shù)？

例如0.312510=0.01012=0.101×2-1方法一，在指數(shù)部分設(shè)置一個(gè)符號(hào)位（不推薦采用）58

2.5浮點(diǎn)表示法方法二，利用偏移指數(shù)的概念：為了表達(dá)負(fù)指數(shù)，取指數(shù)部分表數(shù)范圍的一個(gè)中間值作為偏移值，小于該偏移值的值是負(fù)數(shù)；大于該偏移值的是正數(shù)。有的書上稱為“移碼”。例如：5位指數(shù)最大表數(shù)范圍32，因此取中間值16作為偏移值，注意到此時(shí)指數(shù)部分最小為0.0.25=0.1×2-1

偏移指數(shù)=偏移值+實(shí)際指數(shù)=16+（-1）=15實(shí)際指數(shù)=偏移指數(shù)-偏移值=15-16=-159

2.5浮點(diǎn)表示法例如：17=0.10001×25

偏移指數(shù)=16+5=21，所以表為：實(shí)際指數(shù)=偏移指數(shù)-偏移值=21-1660

2.5浮點(diǎn)表示法61

2.5浮點(diǎn)表示法練習(xí)：32如何用浮點(diǎn)數(shù)表達(dá)？（移碼方式）62

2.5浮點(diǎn)表示法答案：32=0.1x26練習(xí)：下面表達(dá)的是什么數(shù)？63

2.5浮點(diǎn)表示法答案：32，0.0625，-26.625問題思考：如何表達(dá)0？程序員為什么要避免測(cè)試一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)是否等于0.64

2.5浮點(diǎn)表示法IEEE754單精度浮點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)：偏移值12765

2.5浮點(diǎn)表示法S（1位）E（8位）M（23位）N（32位）表示的意義00±0數(shù)值0符0非0±0.M×（E-126）非規(guī)格化正常數(shù)值號(hào)1~254非0±1.M×（E-127）規(guī)格化正常數(shù)值位255非0NaN非數(shù)值，通常為錯(cuò)誤指示2550±∞正負(fù)無(wú)窮大浮點(diǎn)加減法：1）浮點(diǎn)加法要把兩個(gè)數(shù)的階調(diào)整一致后再行相加(一般是大指數(shù)調(diào)小)最后指數(shù)再調(diào)整為10010，后兩位被精度限制舍去?。?6

2.5浮點(diǎn)表示法67

2.5浮點(diǎn)表示法練習(xí)：1210+1.2510=0.1100×24+0.101×21=0.1100×24+0.000101×24.68

2.5浮點(diǎn)表示法浮點(diǎn)乘法舉例1210=0.1100x241.2510=0.101x21乘積：0.0111100×25=0.1111×24.69

2.5浮點(diǎn)表示法無(wú)論如何計(jì)算機(jī)中保存的數(shù)位是有限的，而實(shí)數(shù)是無(wú)限的，所以用浮點(diǎn)數(shù)表述數(shù)據(jù)總會(huì)存在誤差。增加尾數(shù)的長(zhǎng)度可以減小誤差。關(guān)于浮點(diǎn)誤差上面實(shí)例的表數(shù)范圍：尾數(shù)全部填滿11111111，指數(shù)全部填滿-1111~+1111范圍是：-11111111×215最小負(fù)數(shù)~+11111111×215其中的有效位數(shù)（尾數(shù)）僅有8位，不能表示諸如128.5=10000000.1之類的數(shù)據(jù)，因?yàn)樵摂?shù)長(zhǎng)度超過了8位。

由此產(chǎn)生相對(duì)誤差=（128.5-128）/128.5≈0.39%這種現(xiàn)象稱為浮點(diǎn)誤差。浮點(diǎn)誤差在計(jì)算乘法時(shí)有傳遞放大效應(yīng)。70

2.5浮點(diǎn)表示法圖2.314位浮點(diǎn)數(shù)字中的誤差傳遞71

2.5浮點(diǎn)表示法如何克服浮點(diǎn)誤差？（1）增加有效位長(zhǎng)度（2）操作數(shù)大小相近的數(shù)一起運(yùn)算之后，再與其他數(shù)運(yùn)算。例如：128.5+0.5+0.5+0.5+0.5，可先把后四個(gè)0.5先加，再與128.5相加。（3）有待研究72

2.5浮點(diǎn)表示法浮點(diǎn)數(shù)的上溢和下溢：上溢：太大，超出了最大表數(shù)范圍下溢：太小，超出了最小數(shù)表數(shù)范圍73

2.5浮點(diǎn)表示法74

2.5浮點(diǎn)表示法IEEE-754浮點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)單精度標(biāo)準(zhǔn)：32位=1位符號(hào)位+8位指數(shù)位（127余）+23有效位雙精度標(biāo)準(zhǔn)：64位=1位符號(hào)位+11位指數(shù)位（1023余）+52有效位指數(shù)位=有效位=0表示0雙精度標(biāo)準(zhǔn)的表數(shù)范圍：21024=10308（1）負(fù)值：-1.0x10308~-1.0x10-308

（2）正值：1.0x10-308~1.0x1030875

2.5浮點(diǎn)表示法

2.6字符編碼76結(jié)果只有被人理解才有意義。計(jì)算機(jī)必須能夠保存、處理、顯示人所能理解的內(nèi)容，因此需要用到字符編碼。772.6字符編碼什么是字符編碼?把現(xiàn)實(shí)世界中常用的數(shù)字、字母、符號(hào)、文字以及各種操作用計(jì)算機(jī)可表達(dá)的形式表示出來(lái)。782.6字符編碼二進(jìn)制編碼十進(jìn)制數(shù)（BCD編碼）圖2.5二進(jìn)