直線與平面垂直

§74直線、平面垂直的判定與性質(zhì)基礎(chǔ)落實(shí)回扣基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練基礎(chǔ)題目題型突破典題深度剖析重點(diǎn)多維探究課時(shí)精練內(nèi)容索引INDE回扣基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練基礎(chǔ)題目基礎(chǔ)落實(shí)1直線與平面垂直1定義如果直線l與平面α內(nèi)的直線都垂直，則直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α，直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面知識(shí)梳理任意一條2判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條

直線都垂直，則該直線與此平面垂直

性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線_____

?l⊥α?a∥b_________________________________a，b?αa∩b＝Ol⊥al⊥ba⊥αb⊥α相交平行2直線和平面所成的角1定義平面的一條斜線和所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角若一條直線垂直于平面，它們所成的角是，若一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是的角2范圍：它在平面上的射影直角0°3平面與平面垂直1二面角的有關(guān)概念①二面角：從一條直線出發(fā)的所組成的圖形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角2平面和平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是，就說這兩個(gè)平面互相垂直兩個(gè)半平面垂直于棱直二面角3平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的

，則這兩個(gè)平面垂直

性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于

的直線與另一個(gè)平面垂直

垂線交線1若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面嗎？提示垂直若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么在平面內(nèi)可以找到兩條相交直線與該直線垂直，根據(jù)異面直線所成的角，可以得出兩平行直線中的另一條也與平面內(nèi)的那兩條直線成90°的角，即垂直于平面內(nèi)的這兩條相交直線，所以垂直于這個(gè)平面2兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面嗎？提示垂直在兩個(gè)相交平面內(nèi)分別作與第三個(gè)平面交線垂直的直線，則這兩條直線都垂直于第三個(gè)平面，那么這兩條直線互相平行由線面平行的性質(zhì)定理可知，這兩個(gè)相交平面的交線與這兩條垂線平行，所以該交線垂直于第三個(gè)平面概念方法微思考題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”1直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則l⊥α2垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行3若α⊥β，a⊥β，則a∥α4若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直基礎(chǔ)自測(cè)××√×題組二教材改編2多選下列命題中正確的有A如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β√解析對(duì)于D，若平面α⊥平面β，則平面α內(nèi)的直線可能不垂直于平面β，即與平面β的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面β內(nèi)，其他選項(xiàng)均是正確的√√－ABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O1若PA＝PB＝PC，則點(diǎn)O是△ABC的_____心；外解析如圖1，連接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以O(shè)A＝OB＝OC，即O為△ABC的外心2若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點(diǎn)O是△ABC的_____心垂解析如圖2，延長(zhǎng)AO，BO，CO分別交BC，AC，AB于點(diǎn)H，D，G∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB?平面PAB，∴PC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC?平面PGC，∴AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC，∴AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB上的高同理可證BD，AH分別為△ABC邊AC，BC上的高，即O為△ABC的垂心題組三易錯(cuò)自糾，m為兩條不同的直線，α為平面，且l⊥α，則“m∥α”是“m⊥l”的A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件√解析由l⊥α且m∥α能推出m⊥l，充分性成立；若l⊥α且m⊥l，則m∥α或者m?α，必要性不成立，因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要條件，故選A5如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)O，M，N分別是線段BD，DD1，D1C1的中點(diǎn)，則直線OM與AC，MN的位置關(guān)系是，MN均垂直 垂直，與MN不垂直不垂直，與MN垂直 ，MN均不垂直√解析因?yàn)镈D1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又因?yàn)锳C⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，因?yàn)镺M?平面BDD1B1，所以O(shè)M⊥AC設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，所以O(shè)M2＋MN2＝ON2，所以O(shè)M⊥6多選如圖所示，AB是半圓O的直徑，VA垂直于半圓O所在的平面，點(diǎn)C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，M，N分別為VA，VC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是∥平面ABC ⊥平面VBC所成的角為45° ⊥平面VAC√√解析易知MN∥AC，又AC?平面ABC，MN?平面ABC，∴MN∥平面ABC，又由題意得BC⊥AC，因?yàn)閂A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以VA⊥BC因?yàn)锳C∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC因?yàn)锽C?平面VBC，所以平面VAC⊥典題深度剖析重點(diǎn)多維探究題型突破直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例12019·全國(guó)Ⅱ如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC11證明：BE⊥平面EB1C1；題型一師生共研證明由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，故B1C1⊥BE又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1?平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C12若AE＝A1E，AB＝3，求四棱錐E－BB1C1C的體積解由1知∠BEB1＝90°由題設(shè)知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6如圖，作EF⊥BB1，垂足為F，則EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3思維升華SIWEISHENGHUA證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵1證明線面垂直的常用方法：①判定定理②垂直于平面的傳遞性③面面垂直的性質(zhì)2證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直，則需借助線面垂直的性質(zhì)跟蹤訓(xùn)練12019·貴陽(yáng)模擬如圖，在三棱錐ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)E與A，D不重合分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD求證：1EF∥平面ABC；證明在平面ABD內(nèi)，因?yàn)锳B⊥AD，EF⊥AD，則AB∥EF又因?yàn)镋F?平面ABC，AB?平面ABC，所以EF∥平面ABC2AD⊥AC證明因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC?平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD因?yàn)锳D?平面ABD，所以BC⊥AD又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC，所以AD⊥平面ABC又因?yàn)锳C?平面ABC，所以AD⊥AC例22019·棲霞模擬如圖，多面體ABCDEF中，ABCD是菱形，∠ABC＝60°，F(xiàn)A⊥平面ABCD，ED∥FA，且AB＝FA＝2ED＝21求證：平面FAC⊥平面EFC；平面與平面垂直的判定與性質(zhì)題型二師生共研證明連接BD交AC于O，設(shè)FC中點(diǎn)為P，連接OP，EP，∵O，P分別為AC，F(xiàn)C的中點(diǎn)，∴OP∥ED且OP＝ED，∴四邊形OPED為平行四邊形，∴OD∥EP，即BD∥EP，∵FA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴FA⊥BD，∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵FA∩AC＝A，F(xiàn)A，AC?平面FAC，∴BD⊥平面FAC，即EP⊥平面FAC，又EP?平面EFC，∴平面FAC⊥平面EFC2求多面體ABCDEF的體積∵FA⊥平面ABCD，F(xiàn)A?平面ADEF，∴平面ADEF⊥平面ABCD，作CG⊥AD于點(diǎn)G，又平面ADEF∩平面ABCD＝AD，∴CG⊥平面ADEF，1判定面面垂直的方法①面面垂直的定義②面面垂直的判定定理a⊥β，a?α?α⊥β2在已知平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直思維升華SIWEISHENGHUA跟蹤訓(xùn)練22018·全國(guó)Ⅰ如圖，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°以AC為折痕將△ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且AB⊥DA1證明：平面ACD⊥平面ABC；證明由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC又BA⊥AD，AD∩AC＝A，AD，AC?平面ACD，所以AB⊥平面ACD又AB?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC2Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BP＝DQ＝，求三棱錐Q－ABP的體積如圖，過點(diǎn)Q作QE⊥AC，垂足為E，由已知及1可得，DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用題型三師生共研例3如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一動(dòng)點(diǎn)1證明：△PBC是直角三角形；證明∵AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的一動(dòng)點(diǎn)∴BC⊥AC，∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△BPC是直角三角形2若PA＝AB＝2，且當(dāng)直線PC與平面ABC所成角的正切值為時(shí)，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值解如圖，過A作AH⊥