2022-2023學(xué)年江蘇省南京市建鄴區(qū)九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試題及答案

2022-2023學(xué)年江蘇省南京市建鄴區(qū)九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試題及答案一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確選項(xiàng)前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.將方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正確的是（）A.x2﹣2x+5＝0 B.x2﹣2x﹣5＝0 C.x2+2x﹣5＝0 D.x2+2x+5＝0【答案】B【解析】【分析】先去括號，再移項(xiàng)，最后合并同類項(xiàng)即可．【詳解】解：（x-1）2=6，

x2-2x+1-6=0，

x2-2x-5=0，

即將方程（x-1）2=6化成一般形式為x2-2x-5=0，

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，能熟記一元二次方程的一般形式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）．2.某校把學(xué)生數(shù)學(xué)的期中、期末兩次成績分別按40%、60%的比例計(jì)入學(xué)期總成績，小明數(shù)學(xué)期中成績是85分，期末成績是90分，那么他的數(shù)學(xué)學(xué)期總成績?yōu)椋ǎ〢.86分 B.87分 C.88分 D.89分【答案】C【解析】【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式解答即可．【詳解】解：他的數(shù)學(xué)學(xué)期總成績?yōu)榉郑蔬x：C．【點(diǎn)睛】此題考查了加權(quán)平均數(shù)，掌握加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式是本題的關(guān)鍵，是一道基礎(chǔ)題．3.如圖，為⊙O的直徑，弦，垂足為，，，則⊙O半徑為（）A.3 B.4 C.5 D.無法確定【答案】C【解析】【分析】連接，由垂徑定理得，設(shè)，再根據(jù)勾股定理列出方程，求解即可．【詳解】解：連接，∵為⊙O的直徑，弦，∴，設(shè)，則，∴，解得，∴⊙O半徑為5．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂徑定理和勾股定理，解題關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．4.如圖，是的外接圓，，則的度數(shù)等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)圓周角定理解答即可．【詳解】解：連接，∵，∴，∴，由圓周角定理得：，

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5.三邊長分別為6、8、10的三角形的內(nèi)切圓的半徑長為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)面積關(guān)系：，其中、是兩直角邊，是斜邊，是直角三角形內(nèi)切圓的半徑，由此關(guān)系即可求得內(nèi)切圓的半徑．【詳解】設(shè)三角形內(nèi)切圓的半徑為，由于，所以此三角形是直角三角形，則有：解得：；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了求三角形的內(nèi)切圓半徑，勾股定理的逆定理，利用面積關(guān)系是關(guān)鍵．6.關(guān)于x的一元二次方程一個實(shí)數(shù)根為2022，則方程一定有實(shí)數(shù)根（）A.2022 B. C.?2022 D.?【答案】D【解析】【分析】將2022代入方程得，兩邊同時(shí)除以得：，即，所以一定有實(shí)數(shù)根．【詳解】解：∵2022是一元二次方程一個實(shí)數(shù)根，∴，兩邊同時(shí)除以得：，即：，∴一定有實(shí)數(shù)根．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根，解題的關(guān)鍵是理解一元二次方程根的定義，得到．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置）7.方程的解為___________________．【答案】【解析】【分析】由方程，移項(xiàng)得，對方程左邊因式分解得，可得或，分別解出即可．【詳解】解：移項(xiàng)得：，即，∴或，∴或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，用合理的方法解一元二次方程是解此題的關(guān)鍵．8.下表中24位營銷人員某月銷量的中位數(shù)是______件．每人銷售量/件600500400350300200人數(shù)144672【答案】350【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)的概念求解即可．【詳解】解：由題可知，表中的數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，處于中間位置的是350和350，因而中位數(shù)是，故答案為：350．【點(diǎn)睛】此題考查了中位數(shù)，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．9.2022年國慶長假期間七天的氣溫如圖所示，這七天最高氣溫的方差為，最低氣溫的方差為，則______（填“＞”、“＜”或“＝”）．【答案】>【解析】【分析】根據(jù)氣溫統(tǒng)計(jì)圖可知：這七天最低氣溫比最高氣溫波動要小，由方差的意義可知，波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，即方差越小．【詳解】觀察氣溫統(tǒng)計(jì)圖可知：這七天最低氣溫比最高氣溫比較穩(wěn)定，波動越小，故最低氣溫的方差小，∴,故答案為：>．【點(diǎn)睛】本題考查方差的意義，方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)不穩(wěn)定，反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．10.一元二次方程的兩根為，若，則____________，____________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解題：．【詳解】解：一元二次方程的兩根為，則解得，故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．11.若一個圓錐的底面圓的半徑為2，其側(cè)面展開圖是半圓，則此圓錐的側(cè)面積是__________．【答案】【解析】【分析】利用圓錐側(cè)面展開圖弧長=底面周長，可求得圓錐的底面周長以及圓錐母線長，那么圓錐的側(cè)面積=底面周長×母線長÷2．【詳解】解：底面半徑為2，則底面周長=4π，側(cè)面展開圖是半圓，則母線長=4π×2÷2π=4，∴圓錐的側(cè)面積=×4π×4=8π．故答案為：8π．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積，牢記圓錐與扇形各個元素之間的關(guān)系是解決此類題目的關(guān)鍵．12.如圖，半圓O的直徑cm，B、C是半圓上的兩點(diǎn)，且，則的長度為______cm．【答案】##【解析】【分析】連接，由，得，根據(jù)，所以，根據(jù)弧長公式計(jì)算即可得出答案．【詳解】解∶如圖，連接，，，，，，的長度為，故答案為∶．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理和弧長公式，熟記弧長公式和正確求出是關(guān)鍵．13.如圖，正九邊形的對角線AF、CH相交于點(diǎn)P，則∠CPF＝______°．【答案】100【解析】【分析】先求出正九邊形的單個內(nèi)角度數(shù)、五邊形的內(nèi)角和度數(shù)，再通過四邊形的內(nèi)角和計(jì)算即可；【詳解】解：正九邊形的單個內(nèi)角度數(shù)為：；五邊形的內(nèi)角和度數(shù)為：；∴，同理可得，，∴，故答案為：100．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊關(guān)系的內(nèi)角和應(yīng)用，掌握多邊形內(nèi)角和計(jì)算公式并正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．14.已知a，b，c是的三邊長，若一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，則是______三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）．【答案】銳角【解析】【分析】根據(jù)題意得到，然后求解即可．【詳解】解：∵一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根∴∴∴解得，∴是銳角三角形．故答案為：銳角．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根判別式和三角形的分類，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的判別式．15.某農(nóng)場的糧食產(chǎn)量在兩年內(nèi)從增加到，且第一年的增長率是第二年的兩倍．如果設(shè)第二年的增長率為x，則可列方程為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)第二年的增長率為x，則第一年的增長率為，根據(jù)“糧食產(chǎn)量在兩年內(nèi)從增加到，”列出方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)第二年的增長率為x，則第一年的增長率為，根據(jù)題意得：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．16.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作PQ⊥PC，交射線CA于點(diǎn)Q，則線段CQ長度的最小值為______．【答案】3【解析】【分析】取的中點(diǎn)O，連接，由直角三角形的性質(zhì)得，則當(dāng)時(shí)，最小，從而最??；利用相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果．【詳解】取的中點(diǎn)O，連接，如圖．∵，∴，則當(dāng)時(shí)，最小，從而最小；∵，，∴，∴；∵，，∴，解得：，則；即最小值為3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，勾股定理等知識，構(gòu)造直角三角形斜邊上中線并由線段最短轉(zhuǎn)化為中線最短是本題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共11小題，共88分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.解下列方程：（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)配方法解一元二次方程即可；（2）先化簡方程，再根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可；【小問1詳解】解：，∴．【小問2詳解】解：或∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查配方法、因式分解法解一元二次方程，掌握相關(guān)求解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．18.體育教師要從甲、乙兩名跳遠(yuǎn)運(yùn)動員中挑選一人參加校運(yùn)動會比賽，在最近的五次選拔賽中，他們的成績?nèi)缦拢▎挝唬篶m）：甲585596609610595乙580603613585624（1）已知甲運(yùn)動員的平均成績是599cm，求乙運(yùn)動員的平均成績；（2）從兩個不同的角度評價(jià)這兩名運(yùn)動員的跳遠(yuǎn)成績．【答案】（1）乙運(yùn)動員的平均成績是601cm；（2）從中位數(shù)方面來看，乙運(yùn)動員的成績較好，從平均數(shù)方面分析，也是乙運(yùn)動員的成績較好．【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式進(jìn)行解答即可；（2）從中位數(shù)和平均數(shù)兩方面分析，即可得出乙運(yùn)動員的跳遠(yuǎn)成績好．【小問1詳解】乙運(yùn)動員的平均成績：答：乙運(yùn)動員的平均成績是601cm；【小問2詳解】把甲運(yùn)動員的成績按從小到大的順序重新排列：585，595，596，609，610，∴甲運(yùn)動員的成績的中位數(shù)為596，把乙運(yùn)動員的成績按從小到大的順序重新排列：580，585，603，613，624，∴乙運(yùn)動員的成績的中位數(shù)為603，∴從中位數(shù)方面來看，乙運(yùn)動員的成績較好，從平均數(shù)方面分析，也是乙運(yùn)動員的成績較好．【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)、中位數(shù)的意義，平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的平均程度，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序重新排列，最中間的那個數(shù)（或者最中間的兩個數(shù)的平均數(shù)）是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．19.把一根長的繩子剪成兩段，并把每段繩子圍成一個正方形．要使這兩個正方形的面積和等于．應(yīng)該怎樣剪？【答案】一段長，一段長為【解析】【分析】設(shè)剪成的兩段一段長為，則另一段為，由題意可得每個正方形的邊長，則由面積關(guān)系建立方程，解方程即可．【詳解】設(shè)剪成的兩段一段長為，圍成的正方形的邊長為，則另一段為，圍成的正方形的邊長為，由題意得：，解方程得：，，即剪成一段長，一段長為的兩段即可．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找到等量關(guān)系并表示出兩個正方形的邊長是關(guān)鍵．20.如圖，在以點(diǎn)O為圓心的兩個同心圓中，大圓弦、分別與小圓分別相切于點(diǎn)D、E．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】連接、、，根據(jù)切線及垂徑定理性質(zhì)得出，再由勾股定理得出，最后利用等邊對等角即可證明．【詳解】證明：連接、，，如圖，∵大圓弦、分別與小圓分別相切于點(diǎn)D、E，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】題目主要考查切線及垂徑定理的性質(zhì)，勾股定理解三角形，等邊對等角等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．21.某劇院舉辦文藝演出.經(jīng)調(diào)研，如果票價(jià)定為每張30元，那么1200張門票可以全部售出；如果票價(jià)每增加1元，那么售出的門票就減少30張.要使門票收入達(dá)到36750元，則票價(jià)應(yīng)定為多少元？【答案】票價(jià)應(yīng)定為35元.【解析】【分析】可設(shè)票價(jià)應(yīng)定為x元，根據(jù)票價(jià)×銷售的票數(shù)=獲得門票收入，即可列出一元二次方程解題．【詳解】設(shè)票價(jià)應(yīng)定為元，依題意得：解之得x1=x2=35答：票價(jià)應(yīng)定為35元．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用.根據(jù)題意正確列出方程式解題的關(guān)鍵.22.求證：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．已知：如圖，四邊形內(nèi)接于．求證：證明：作直徑．連接．所以．因?yàn)椋á伲┧裕恚?）證明過程中依據(jù)①是；（2）請給出另一種證明方法．【答案】（1）同圓中，同弧所對的圓周角相等（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)同圓中，同弧所對的圓周角相等，即可求解；（2）連接，根據(jù)圓周角定理可得，再由，可得，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于，可得，即可．【小問1詳解】解：證明過程中依據(jù)①是同圓中，同弧所對的圓周角相等；故答案為：同圓中，同弧所對的圓周角相等【小問2詳解】證明：如圖，連接，∵，且，∴，∵∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握直徑所對的圓周角為直角、四邊形內(nèi)角和等于是解題的關(guān)鍵．23.如圖，是⊙O的直徑，點(diǎn)在⊙O上，，垂足為，且，分別交、于點(diǎn)、．（1）求證：；（2）求證：是的中點(diǎn)．【答案】（1）答案見詳解（2）答案見詳解【解析】【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理及垂直的定義得到，，進(jìn)而求證；（2）由，，所以，，再根據(jù)，得出，所以，即可得出．【小問1詳解】解：∵是⊙O的直徑，∴，∴，∵，∴，∴；【小問2詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓周角定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系，注意直徑所對的圓周角是直角．24.已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：無論m取何值，方程總有兩個實(shí)數(shù)根；（2）若方程的一個實(shí)數(shù)根是另一個實(shí)數(shù)根的兩倍，求m的值．【答案】（1）見詳解（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)即可證明；（2）根據(jù)公式法即可得，再根據(jù)方程的一個實(shí)數(shù)根是另一個實(shí)數(shù)根的兩倍即可求解；【小問1詳解】解：根據(jù)題意，，∴無論m取何值，方程總有兩個實(shí)數(shù)根.【小問2詳解】由題意，根據(jù)公式法得，，∴，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．25.如圖，已知點(diǎn)在邊上，且，以為直徑的與相切，與相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）當(dāng)，時(shí)，求的長．【答案】（1）答案見詳解（2）答案見詳解【解析】【分析】（1）連接，如圖，根據(jù)圓周角定理得到，則利用等腰三角形的性質(zhì)得到平分，所以，再根據(jù)切線的性質(zhì)得到，則利用等角的余角相等得到，從而得到；（2）連接，如圖，先利用勾股定理計(jì)算出，再利用面積法計(jì)算出，接著利用勾股定理計(jì)算出，所以，然后在中利用勾股定理可計(jì)算出．【小問1詳解】證明：連接，如圖，為直徑，，，，平分，即，以為直徑的與相切，，，，，，．【小問2詳解】連接，如圖，，，，，，為直徑，，，，，，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理和勾股定理．26.用圓形紙片可以折出各種不同的圖形．如圖，點(diǎn)P為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，利用直尺和圓規(guī)分別作出一條符合要求的折痕（保留痕跡，給出必要的文字說明）．（1）折疊后圓弧經(jīng)過點(diǎn)O、P；（2）折疊后圓弧與過點(diǎn)P的直徑相切，切點(diǎn)為P．【答案】（1）見詳解（2）見詳解【解析】【分析】（1）連接OP，作線段OP垂直平分線交于點(diǎn)T，Q，連接OT，作線段OT的線段垂直平分線交于點(diǎn)E，F(xiàn)，以T為圓心作即可；（2）連接PO，延長PO交⊙O于點(diǎn)K，作OF⊥PK交⊙O于點(diǎn)F，以O(shè)P，PF為鄰邊作矩形POO′F，以O(shè)′為圓心，OF為半徑作弧交⊙O于M，N．作直線MN即可．【小問1詳解】如圖①所示，折痕TQ，即為所求．【小問2詳解】如圖②所示，折痕RJ，即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作圖——復(fù)雜作圖，垂徑定理，切線的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識．27.【新知】19世紀(jì)英國著名文學(xué)家和歷史學(xué)家卡萊爾給出了一元二次方程的幾何解法：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1）、B（?b，c），以AB為直徑作⊙P．若⊙P交x軸于點(diǎn)M（m，0）、N（n，0），則m、n為方程兩個實(shí)數(shù)根．【探究】（1）由勾股定理得，AM2＝12+m2，BM2＝c2+（?b?m）2，AB2＝（1?c）2+b2，在Rt△ABM中，AM2+BM2＝AB2，所以1