充分條件與必要條件（五大題型）

1．4充分條件與必要條件【題型歸納目錄】題型一：充分條件與必要條件的判斷題型二：根據(jù)充分條件求參數(shù)取值范圍題型三：根據(jù)必要條件求參數(shù)取值范圍題型四：根據(jù)充要條件求參數(shù)取值范圍題型五：充要條件的證明【知識點梳理】知識點一：充分條件與必要條件充要條件的概念符號與的含義“若，則”為真命題，記作：；“若，則”為假命題，記作：．充分條件、必要條件與充要條件①若，稱是的充分條件，是的必要條件．②如果既有，又有，就記作，這時是的充分必要條件，稱是的充要條件．知識點詮釋：對的理解：指當成立時，一定成立，即由通過推理可以得到．①“若，則”為真命題；②是的充分條件；③是的必要條件以上三種形式均為“”這一邏輯關系的表達．知識點二：充分條件、必要條件與充要條件的判斷從邏輯推理關系看命題“若，則”，其條件p與結論q之間的邏輯關系①若，但，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件；②若，但，則是的必要不充分條件，是的充分不必要條件；③若，且，即，則、互為充要條件；④若，且，則是的既不充分也不必要條件．從集合與集合間的關系看若p：x∈A，q：x∈B，①若AB，則是的充分條件，是的必要條件；②若A是B的真子集，則是的充分不必要條件；③若A=B，則、互為充要條件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，則是的既不充分也不必要條件．知識點詮釋：充要條件的判斷通常有四種結論：充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件．判斷方法通常按以下步驟進行：①確定哪是條件，哪是結論；②嘗試用條件推結論，③再嘗試用結論推條件，④最后判斷條件是結論的什么條件．知識點三：充要條件的證明要證明命題的條件是結論的充要條件，既要證明條件的充分性（即證原命題成立），又要證明條件的必要性（即證原命題的逆命題成立）知識點詮釋：對于命題“若，則”①如果是的充分條件，則原命題“若，則”與其逆否命題“若，則”為真命題；②如果是的必要條件，則其逆命題“若，則”與其否命題“若，則”為真命題；③如果是的充要條件，則四種命題均為真命題．【典型例題】題型一：充分條件與必要條件的判斷例1．（2023·高一課時練習）設，則使成立的一個充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設是的一個充分條件，則根據(jù)充分條件的判定得，則，故選：C.例2．（2023·高一課時練習）“四邊形的四條邊相等”是“四邊形是正方形”的（）A．充分條件B．必要條件C．既是充分條件又是必要條件D．既不是充分條件也不是必要條件【答案】B【解析】因為正方形的四條邊相等，但四條邊相等的四邊形不一定是正方形，所以“四邊形的四條邊相等”是“四邊形是正方形”的必要條件．故選：B例3．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知是r的充分不必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，現(xiàn)有下列命題：①s是q的充要條件；②是q的充分不必要條件；③r是q的必要不充分條件；④r是s的充分不必要條件.正確的命題序號是（

）A．①④ B．①② C．②③ D．③④【答案】B【解析】因為是的的充分不必要條件，所以，推不出，因為是的的充分條件，所以，因為是的必要條件，所以，因為是的必要條件，所以，因為，，所以，又，，所以是的充要條件，命題①正確，因為，，，所以，推不出，故是的充分不必要條件，②正確；因為，，所以，是的充分條件，命題③錯誤；因為，，所以，又，所以是的充要條件，命題④錯誤；故選：B.變式1．（2023·全國·高一專題練習）設為實數(shù)，則“”的一個充分非必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，則，可得，可推出，反向推不出，滿足；由，則，推不出，反向可推出，不滿足；由，則或或，推不出，反向可推出，不滿足；由，則，推不出，反向可推出，不滿足；故選：A變式2．（2023·高一課時練習）=的一個充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于選項A，因為，顯然=沒意義，根據(jù)充分條件的定義知，選項A不是充分條件；對于選項B，當時，=成立；而當=成立時，a≥0，b>0.根據(jù)充分條件的定義知，選項B是充分條件；對于選項C、D，由可知，=沒意義，所以選項C、D不是充分條件；故選：B.變式3．（2023·四川綿陽·高一綿陽中學校考階段練習）下列“若,則”形式的命題中，是的必要條件的有（

）個①若是偶數(shù),則是偶數(shù)②若，則方程有實根③若四邊形的對角線互相垂直,則這個四邊形是菱形④若，則A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】對于①，是偶數(shù)，不能保證，均是偶數(shù)，也有可能都是奇數(shù)，故①不符合題意；對于②，若方程，則需滿足，即，可推出，故②符合題意；對于③，若四邊形是菱形，則四邊形對角線互相垂直，故③符合題意；對于④，若，則，故④符合題意.故選：D.變式4．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）可以作為關于的一元二次方程有實數(shù)解的一個必要條件的是A． B． C． D．【答案】A【解析】因為關于的一元二次方程有實數(shù)解，所以，解得，而可以推出，所以可以作為關于的一元二次方程有實數(shù)解的一個必要條件，故選：A．變式5．（2023·江西·高一寧岡中學?？计谀┮阎瑒t“”的一個必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于可得，故“”是“”的必要條件，由不能得到，，，比如，故選：D變式6．（多選題）（2023·湖北武漢·高一?？计谥校┮阎猵，q都是r的充分條件，s是r的充要條件，q是s的必要條件，則（

）A．q是s的充要條件 B．p是s的充分不必要條件C．q是s的充分不必要條件 D．p是s的充要條件【答案】AB【解析】由已知得：；．是的充分條件；是的充分不必要條件；是的充要條件；是的充要條件；是的充要條件．正確的是、．故選：．【方法技巧與總結】1、判斷充分條件、必要條件的注意點（1）明確條件與結論．（2）判斷若p，則q是否成立時注意利用等價命題．（3）可以用反例說明由p推不出q，但不能用特例說明由p可以推出q．2、充分條件、必要條件的兩種判斷方法（1）定義法：①確定誰是條件，誰是結論；②嘗試從條件推結論，若條件能推出結論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件；③嘗試從結論推條件，若結論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件．（2）命題判斷法：①如果命題：“若p，則q”為真命題，那么p是q的充分條件，同時q是p的必要條件；②如果命題：“若p，則q”為假命題，那么p不是q的充分條件，同時q也不是p的必要條件．題型二：根據(jù)充分條件求參數(shù)取值范圍例4．（2023·全國·高一專題練習）“”是“”的充分不必要條件，若，則取值可以是（滿足條件即可）.【答案】0（答案不唯一，滿足且均可）.【解析】因為“”是“”的充分不必要條件，且，所以且，故可取0，故答案為：0（答案不唯一，滿足且均可）例5．（2023·貴州安順·高一?？茧A段練習）已知，，若成立的一個充分不必要條件是，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】由題意，得，但，∴，∴，即，故答案為．例6．（2023·高一單元測試）設p：實數(shù)x滿足集合A＝{x|3a＜x＜a，a＜0}，q：實數(shù)x滿足集合B＝{x|x＜－4，或x≥－2}，且p是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】∵p是q的充分不必要條件，∴是的真子集，∴或解得或，即實數(shù)a的取值范圍或.變式7．（2023·安徽安慶·高一安慶市第七中學校考期中）設集合，，.(1)，求；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求m的取值范圍.【解析】（1）由題意知當時，，故或，而，故；（2）由“”是“”的充分不必要條件，可得BA，故當時，，符合題意；當時，需滿足，且中等號不能同時取得，解得，綜合以上，m的取值范圍為或.變式8．（2023·高一單元測試）已知全集，集合，.(1)當時，求和；(2)若“”是“”成立的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.【解析】（1）當時，集合，因為，所以.所以，（2）因為“”是“”成立的充分不必要條件，所以是的真子集，而不為空集，所以，因此.【方法技巧與總結】（1）化簡p、q兩命題，（2）根據(jù)p與q的關系（充分、必要、充要條件）轉(zhuǎn)化為集合間的關系，（3）利用集合間的關系建立不等關系，（4）求解參數(shù)范圍．題型三：根據(jù)必要條件求參數(shù)取值范圍例7．（2023·高一課時練習）已知實數(shù)滿足，其中；實數(shù)x滿足,若是的必要條件，求實數(shù)的取值范圍．【解析】因為，即集合；實數(shù)x滿足,，即集合．又因為是的必要條件，所以，所以，解得.所以實數(shù)的取值范圍為：.例8．（2023·山東菏澤·高一校考期末）已知全集，集合，.(1)當時，求；(2)若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因為，當時，，因為全集，則或，或，因此，或.（2）易知集合為非空集合，因為是的必要不充分條件，則，所以，，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.例9．（2023·高一課時練習）已知，，若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】因為p是q的必要不充分條件，所以是的真子集，故有或解得.又，所以實數(shù)m的取值范圍為．變式9．（2023·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）已知集合，(1)當時，求；(2)若______，求實數(shù)的取值范圍．請從①且；②“”是“”的必要條件；這兩個條件中選擇一個填入（2）中橫線處，并完成第（2）問的解答．（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）【解析】（1）當時，，所以（2）若選擇條件①，由且得：，當時，，即；當時，，即或，即或，所以或，綜上所述：的取值范圍為：或．若選擇條件②，由“”是“”的必要條件得：，即，所以．變式10．（2023·河南洛陽·高一宜陽縣第一高級中學校考階段練習）已知.(1)是否存在實數(shù)，使是的充要條件?若存在，求出的取值范圍;若不存在，請說明理由;(2)是否存在實數(shù)，使是的必要條件?若存在，求出的取值范圍;若不存在，請說明理由.【解析】（1）要使是的充要條件，則即，此方程組無解.所以不存在實數(shù)，使是的充要條件.（2）要使是的必要條件，則，當時，，解得當時，，解得要使，則有，解得，所以綜上可得，當時，是的必要條件.變式11．（2023·全國·高一隨堂練習）已知集合或，．（1）求實數(shù)的取值范圍，使它成為的充要條件；（2）求實數(shù)的一個值，使它成為的一個充分不必要條件；（3）求實數(shù)的取值范圍，使它成為的一個必要不充分條件．【解析】（1）的充要條件是，所以實數(shù)的取值范圍是．(2)由(1)知,的充要條件是,則當時,是的一個充分但不必要條件;比如是所求的一個充分但不必要條件.(答案不唯一)(3)求實數(shù)a的取值范圍,使它成為的一個必要但不充分條件就是另求一個集合,故是它的一個真子集.如果時,未必有,但是時,必有,故是所求的一個必要但不充分條件.(答案不唯一)【方法技巧與總結】（1）化簡p、q兩命題，（2）根據(jù)p與q的關系（充分、必要、充要條件）轉(zhuǎn)化為集合間的關系，（3）利用集合間的關系建立不等關系，（4）求解參數(shù)范圍．題型四：根據(jù)充要條件求參數(shù)取值范圍例10．（2023·廣東東莞·高一校考階段練習）方程與有一個公共實數(shù)根的充要條件是（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】方程有實根，故，解得或.方程有實根，故，解得.綜上所述，，只有D選項符合.若方程與有一個公共實數(shù)根，設公共實根為，則，兩式相減得，由于，所以，所以.當時，兩個方程分別為、，方程的兩個根為；方程的兩個根為；即方程與有一個公共實數(shù)根.綜上所述，方程與有一個公共實數(shù)根的充要條件是.故選：D例11．（2023·高一單元測試）設集合，若集合，，則的充要條件是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】由題意，可得，因為，所以，解得，反之亦成立，所以的充要條件是．故選：A．例12．（2023·高一單元測試）方程至少有一個負實根的充要條件是（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】當時，方程為有一個負實根，反之，時，則，于是得；當時，，若，則，方程有兩個不等實根，，即與一正一負，反之，方程有一正一負的兩根時，則這兩根之積小于0，，于是得，若，由，即知，方程有兩個實根，必有，此時與都是負數(shù)，反之，方程兩根都為負，則，解得，于是得，綜上，當時，方程至少有一個負實根，反之，方程至少有一個負實根，必有.所以方程至少有一個負實根的充要條件是.故選：C變式12．（2023·全國·高一專題練習）已知且，，若p是q的充要條件，則實數(shù)m的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】由兩個集合相等可求得參數(shù)．由已知，，由p是q充要條件得，因此解得，故選：C.變式13．（2023·云南大理·高一統(tǒng)考期末）若“不等式成立”的充要條件為“”，則實數(shù)的值為.【答案】【解析】解不等式得，因為“不等式成立”的充要條件為“”，所以，解得，所以，.故答案為：.變式14．（2023·重慶沙坪壩·高一重慶市第七中學校校考階段練習）若“”是“”的充要條件，則實數(shù)m的取值是．【答案】3【解析】由得，故，因為“”是“”的充要條件，所以，解得，所以實數(shù)m的取值是3.故答案為：3.變式15．（2023·高一單元測試）當時，函數(shù)中的變量隨的增大而增大的充要條件是．【答案】【解析】若，則，變量隨的增大而增大；若，則必有，得．綜上，所求的充要條件是．故答案為：變式16．（2023·山東濟寧·高一校考階段練習）集合中至多有一個元素的充要條件是

.【答案】或【解析】由已知得方程至多一個根，或，解得故答案為或【方法技巧與總結】（1）化簡p、q兩命題，（2）根據(jù)p與q的關系（充分、必要、充要條件）轉(zhuǎn)化為集合間的關系，（3）利用集合間的關系建立不等關系，（4）求解參數(shù)范圍．題型五：充要條件的證明例13．（2023·高一課時練習）求證：關于x的方程有一個根是1的充要條件是.【解析】假設p：方程有一個根是1，q：.證明，即證明必要性：∵是方程的根，∴，即.再證明，即證明充分性：由，得.∵，∴，即.故.∴是方程的一個根．故方程有一個根是1的充要條件是.例14．（2023·高一課時練習）設a，b，c為的三邊，求方程與有公共根的充要條件．【解析】必要性：設方程與的公共根為，則，，兩式相加得（舍去），將代入，得，整理得.所以.充分性：當時，，于是等價于，所以，該方程有兩根，.同樣等價于，所以，該方程亦有兩根，.顯然，兩方程有公共根.故方程與有公共根的充要條件是.例15．（2023·全國·高一假期作業(yè)）求證：等式對任意實數(shù)恒成立的充要條件是.【解析】充分性：若，則等式顯然對任意實數(shù)恒成立，充分性成立；必要性：由于等式對任意實數(shù)恒成立，分別將，，代入可得，解得，必要性成立，故等式對任意實數(shù)恒成立的充要條件是.變式17．（2023·浙江溫州·高一校考階段練習）設.(1)求證：成立的充要條件是.(2)直接寫出成立的充要條件（不要求證明）.【解析】（1）證明：先證充分性：，討論：i當，繼續(xù)討論：①時，，，所以；②時，，，所以；③時，所以；當時，有成立ii當，即或①當時，②當時，，，再證必要性：，兩邊平方有：，，綜上：成立的充要條件是.（2）因為，所以成立的充要條件.變式18．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知，是實數(shù)，求證：成立的充要條件是.【解析】先證明充分性：若，則成立．所以“”是“”成立的充分條件；再證明必要性：若，則，即，，，，，即成立．所以“”是“”成立的必要條件.綜上：成立的充要條件是．變式19．（2023·上海黃浦·高一格致中學?？茧A段練習）“關于的方程有實數(shù)根”是“”的什么條件？請證明你的結論．【解析】“關于的方程有實數(shù)根”是“”必要非充分條件．證明：先證充分性不成立：取，此時方程有實數(shù)根，但此時，因此充分性不成立．再證必要性成立：當時，恒成立，所以方程有實數(shù)根，即必要性成立.所以“關于的方程有實數(shù)根”是“”必要非充分條件．【方法技巧與總結】（1）證明充分性；（2）證明必要性．【過關測試】一、單選題1．（2023·全國·高一課堂例題）下列語句中，為真命題的是（

）A．直角的補角是直角 B．同旁內(nèi)角互補C．過直線外一點作直線于點 D．兩個銳角的和是鈍角【答案】A【解析】對選項A，直角的補角是直角，所以A選項為真命題；對選項B，缺少兩直線平行條件，結論不成立.如三角形內(nèi)任意兩內(nèi)角都是同旁內(nèi)角，但兩角和必小于，所以B選項為假命題；對選項C，是祈使句，不是陳述句.所以不是命題；對選項D，與的和為銳角，所以D選項為假命題．故選：A.2．（2023·青海海東·高一統(tǒng)考階段練習）“”是“”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由，得，因為區(qū)間真包含于，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：C3．（2023·云南·高一統(tǒng)考期末）已知、，且，則“”是“”成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【答案】C【解析】取，，則，但，即“”“”；取，，則，但，即“”“”.所以，“”是“”成立的既不充分也不必要條件，C對.故選：C.4．（2023·湖北黃岡·高一校聯(lián)考期中）若集合，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，可得，解得，因為，所以是“”的充分不必要條件.故選：A．5．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）以下選項中，p是q的充要條件的是（）A．p：，q：B．p：，q：C．p：四邊形的兩條對角線互相垂直平分，q：四邊形是正方形D．p：，q：關于x的方程有唯一解【答案】D【解析】對于A，，，所以p推不出q，q推不出p，所以p是q既不充分也不必要條件；對于B，；當時，滿足，但q推不出p，故p是q的充分不必要條件；對于C，若“兩條對角線互相垂直平分”成立推不出“四邊形是正方形”；反之，若“四邊形是正方形”成立推出“兩條對角線互相垂直平分”成立，故p是q的必要不充分條件；對于D，若，則關于x的方程有唯一解；若關于x的方程有唯一解，則，所以，故p是q的充分必要條件.故選：D.6．（2023·高一課時練習）關于x的方程，以下命題正確的個數(shù)為（

）（1）方程有二正根的充要條件是；（2）方程有二異號實根的充要條件是；（3）方程兩根均大于1的充要條件是.A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【解析】對于（1），令滿足，但，方程無實數(shù)解，（1）錯；對于（2），必要性：方程，有一正根和一負根，.充分性：由可得，所以及,方程有一正根和一負根，（2）對；對于（3），令，兩根為，滿足，但不符合方程兩根均大于1，（3）錯.故選：B7．（2023·上海浦東新·高一上海市進才中學?？茧A段練習）已知是的充分不必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件，現(xiàn)有下列命題：①是的充要條件；②是的充分不必要條件；③是的必要不充分條件；④是的充分不必要條件；正確的命題序號是（

）A．①④ B．①② C．②③ D．③④【答案】B【解析】因為是的充分不必要條件，所以，，因為是的充分條件，所以，因為是的必要條件，所以，因為是的必要條件，所以，因為，，所以，又，所以是的充要條件；命題①正確，因為，，，所以，若，則，，，故，與矛盾，所以，所以是的充分不必要條件，命題②正確；因為，，所以，是的充分條件，命題③錯誤；因為，，所以，又，所以是的充要條件，命題④錯誤；故選：B.8．（2023·遼寧沈陽·高一沈陽市回民中學校考期末）使得不等式“”成立的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得，所以，解得，即成立的充要條件為：，對于A，由，得，是“”成立的充分不必要條件；對于B，由，得，是“”成立的充要條件；對于C，是“”成立的必要不充分條件；對于D，，得或，是“”成立的既不充分也不必要條件.故選：C.二、多選題9．（2023·全國·高一隨堂練習）若非空集合A，B，C滿足，且B不是A的子集，則下列結論不正確的是（）A．“”是“”的充分條件但不是必要條件B．“”是“”的必要條件但不是充分條件C．“”是“”的充要條件D．“”既不是“”的充分條件，也不是“”的必要條件【答案】ACD【解析】∵非空集合A，B，C滿足，且B不是A的子集，∴由，即：“”是“”的必要條件.由，或.∵B不是A的子集，∴不一定有，即，所以“”不是“”的充分條件.即僅有B正確．故選：ACD.10．（2023·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）已知命題：關于x的不等式，命題：，若是的必要非充分條件，則實數(shù)的取值可以為（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】由可得：，解得：，設，，若p是q的必要非充分條件，所以真包含于A，所以或或均滿足.故選：BCD.11．（2023·河北滄州·高一任丘市第一中學?？茧A段練習）已知集合或，則的必要不充分條件可能是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】因為集合或，當時，，解得，此時，當時，，解得，若，則，解得，又，則，則的充要條件為，所以的必要不充分條件可能是，，故選：AB．12．（2023·江蘇蘇州·高一校聯(lián)考期中）在整數(shù)集Z中，被6除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即，，1，2，3，4，5，則（

）A．B．C．“整數(shù)a，b屬于同一“類”的充要條件是“”D．“整數(shù)a，b滿足”是“”的必要不充分條件.【答案】BC【解析】對A，因為，由可得，所以，A錯；對B，，B對；對C，充分性：若整數(shù)a，b屬于同一“類”，則整數(shù)a，b被6除所得余數(shù)相同，從而被6除所得余數(shù)為0，即；必要性：若，則被6除所得余數(shù)為0，則整數(shù)a，b被6除所得余數(shù)相同，所以“整數(shù)a、b屬于同一‘類’”的充要條件是“”，C對；對D，若整數(shù)a，b滿足，則，所以，故；若，則可能有，故整數(shù)a，b滿足”是“”的充分不必要條件，D錯故選：BC三、填空題13．（2023·高一課時練習）一次函數(shù)的圖象不過第三象限的一個充分條件是（答案不唯一）【答案】【解析】要使不過第三象限，則且這是一個等價條件，而要寫出一個充分條件，故可取.故答案為：.14．（2023·高一課時練習）下列“若p，則q”形式的命題中，是的必要條件的命題有（1）若是無理數(shù)，則是無理數(shù)．（2）若兩個三角形全等，則這兩個三角形面積相等．（3）若，則.（4）若和都是偶數(shù)，則是偶數(shù)．【答案】（1）（2）（4）【解析】（1）若是無理數(shù)，則是無限不循環(huán)小數(shù)，所以是無限不循環(huán)小數(shù)，所以是無理數(shù)，所以，所以是的必要條件．（2）全等三角形面積相等，所以，所以是的必要條件．（3）若，則或；所以，所以是的不必要條件．（4）兩個偶數(shù)的乘積仍是偶數(shù)．所以，所以是的必要條件．故答案為：（1）（2）（4）.15．（2023·高一單元測試）設A，B是有限集，定義，其中表示有限集A中的元素個數(shù)．則“”是“”的條件．【答案】充分必要【解析】若，則，則，故成立，若，則，所以，所以“”是“”的充要條件，故答案為：充分必要16．（2023·湖北宜昌·高一校聯(lián)考期中）已知集合，若“”是“”的必要條件，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】或【解析】，，即，解得或或“”是“”的必要條件，，且恒成立則或，解得或．故答案為：或四、解答題17．（2023·高一課時練習）指出下列各組命題中，p是q的什么條件（充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分又不必要條件）．(1)數(shù)a能被6整除，數(shù)a能被3整除；(2)，；(3)有兩個角相等，是正三角形；(4)，，.【解析】（1）因為“數(shù)a能被6整除”能推出“數(shù)a能被3整除”，所以，但“數(shù)a能被3整除”推不出“數(shù)a能被6整除”，如，所以，所以p是q的充分不必要條件.（2）因為能推出，即；但當時，如，推不出，即，所以P是q的充分不必要條件.（3）因為“有兩個角相等”推不出“是正三角形”，因此，但“是正三角形