第11講第一章空間向量與立體幾何章末重點題型大總結（原卷版）

第11講第一章空間向量與立體幾何章末題型大總結一、思維導圖空間向量與立體幾何空間向量與立體幾何空間向量及其運算空間向量在立體幾何中的應用空間向量的線性運算空間向量的基本定理兩個向量的數(shù)量積空間向量的直角坐標運算共線向量定理共面向量定理空間向量分解定理平行與垂直的條件直線的方向向量與直線的向量方程平面的法向量與平面的向量表示直線與平面的夾角二面角及其度量距離二、題型精講題型01空間向量的概念及運算【典例1】（2023春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）平行六面體中，已知底面四邊形為矩形，，，，則（

）A． B．2 C． D．10【典例2】（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區(qū)南陽中學校考階段練習）已知向量，向量與的夾角都是，且，試求(1)；(2)．【典例3】（2023春·山東淄博·高一山東省淄博實驗中學?？茧A段練習）已知空間向量，則使向量與的夾角為鈍角的實數(shù)的取值范圍是____________．【變式1】（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）如圖，二面角的大小為，四邊形、都是邊長為的正方形，則、兩點間的距離是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·高二課時練習）如圖，在長方體中，設，，是的中點．試確定向量在平面上的投影向量，并求．【變式3】（2023·全國·高三專題練習）已知空間向量滿足，，則與的夾角為_________．題型02四點共面問題【典例1】（多選）（2023春·高二課時練習）下列條件中，使與，，一定共面的是（

）A．B．C．D．【典例2】（2023·江蘇·高二專題練習）設是正三棱錐，是的重心，是上的一點，且，若，則為（

）A． B． C． D．【典例3】（2023春·高二課時練習）在正方體中，為的中點，為的中點，為的中點，為的中點，直線交直線于點，直線交直線于點，則（

）A． B．C． D．【變式1】（多選）（2023秋·江西吉安·高二統(tǒng)考期末）如圖，空間四邊形中，，分別是邊，上的點，且，，點是線段的中點，則以下向量表示正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】（2023春·高二課時練習）如圖，已知空間四邊形，其對角線為、，、分別是對邊、的中點，點在線段上，且，現(xiàn)用基向量，，表示向量，設，則、、的值分別是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，題型03平面法向量的求解【典例1】（2023春·高二課時練習）已知，則平面的一個單位法向量是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知空間四點，，，．求平面的一個法向量為__________；【變式1】（2023秋·云南昆明·高二昆明一中校考期末）空間直角坐標系中，已知點，則平面的一個法向量可以是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·全國·高二專題練習）平面經(jīng)過，且垂直于法向量為的一個平面，則平面的一個法向量是（

）A． B． C． D．題型04利用空間向量證明平行、垂直關系【典例1】（2023秋·北京大興·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，平面．，，分別為的中點，則直線與平面的位置關系是（

）A．平行 B．垂直 C．直線在平面內(nèi) D．相交且不垂直【典例2】（多選）（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，在正方體中，是線段上的動點，則下列結論錯誤的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【典例3】（2023春·高二課時練習）如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點．求證：平面平面.【典例4】（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在三棱錐中，平面，，，，、分別為、的中點．(1)求證：平面平面；(2)在線段上是否存在一點，使？證明你的結論．【變式1】（2023春·高二課時練習）在正方體中，，分別為，的中點，則（

）A．平面 B．異面直線與所成的角為30°C．平面平面 D．平面平面【變式2】（多選）（2023春·高二課時練習）如圖，平行六面體的體積為，，，底面邊長均為4，且分別為的中點，則下列選項中不正確的有（

）A． B．平面C． D．平面【變式3】（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側棱底面，，，，為的中點．(1)求直線與所成角的余弦值；(2)在側面內(nèi)找一點，使平面．【變式4】（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在直三棱柱中，為的中點，分別是棱上的點，且．(1)求證：直線平面；(2)若是正三角形為中點，能否在線段上找一點，使得平面？若存在，確定該點位置；若不存在，說明理由．題型05異面直線所成角【典例1】（2023春·貴州·高二貴州師大附中校聯(lián)考階段練習）如圖，圓錐的軸截面為等邊三角形，為弧的中點，為母線的中點，則異面直線和所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全國·模擬預測）如圖，已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，為下底面圓周上一點，滿足，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·江蘇·高三專題練習）如圖，已知正三棱柱的各條棱長都相等，為上一點，，，且.(1)求的值；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【變式1】（2023春·山東濟南·高一山東省實驗中學?？茧A段練習）已知四面體滿足，，，且該四面體的體積為，則異面直線與所成角的大小為（

）A． B． C．或 D．或【變式2】（2023·江蘇·高三專題練習）如圖所示，已知兩個正四棱錐與的高分別為1和2，，則異面直線與所成角的正弦值為________．【變式3】（2023春·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習）如圖所示，已知空間四邊形的各邊和對角線的長都等于，點，分別是，的中點.(1)求證：，；(2)求異面直線與所成角的余弦值.題型06利用向量法求直線與平面所成角（定值）【典例1】（2023春·浙江舟山·高一舟山中學?？茧A段練習）在四棱錐中，已知側?為正三角形，底?為直角梯形，，，，，點，分別在線段，上，且=2.(1)求證：平?；(2)若點到平?的距離為，求直線和平?所成角交的正弦值.【典例2】（2023春·江蘇淮安·高二金湖中學校聯(lián)考階段練習）如圖所示，在直四棱柱中，，，，，.(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【典例3】（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預測）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當?shù)慕亟?，即截去四面體的四個頂點處的小棱錐所得的多面體．現(xiàn)將棱長為3的正四面體沿棱的三等分點分別作平行于各底面的截面，截去四個頂點處的小棱錐，得到所有棱長均為1的截角四面體，如圖所示．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【變式1】（2023·廣東梅州·大埔縣虎山中學?？寄M預測）如圖①，在中，為直角，，,,沿將折起，使，得到如圖②的幾何體，點在線段上．(1)求證：平面平面；(2)若平面，求直線與平面所成角的正弦值．【變式2】（2023春·重慶南岸·高二重慶市第十一中學校校考期中）吳老師發(fā)現(xiàn)《九章算術》有“芻甍”這個五面體，于是她仿照該模型設計了一個學探究題，如圖：，，分別是正方形的三邊、、的中點，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形著線段折起，連接、就得到一個“芻甍”．(1)若是四邊形對角線的交點，求證：平面；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．題型07利用向量法求直線與平面所成角（最值或范圍）【典例1】（2023春·重慶·高一重慶一中?？计谥校┤鐖D，在三棱臺中側面為等腰梯形，為為等腰三角形，為的中點.(1)證明：平面平面；(2)記二面角的大小為.①當時，求直線與平面所成角的正弦值.②當時，求直線與平面所成角的正弦的最大值.【典例2】（2023·廣東茂名·茂名市第一中學校考三模）如圖1，在邊長為4的等邊中，，分別是，的中點．將沿折至（如圖2），使得．(1)證明：平面平面；(2)若點在棱上，當與平面所成角最大時，求的長．【典例3】（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在三棱柱中，側面為菱形，且.(1)證明：.(2)若，，，點在直線上，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.【變式1】（2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習）如圖所示，六面體的底面是菱形，，且平面，平面與平面的交線為.(1)證明：直線平面；(2)已知，三棱錐的體積，若與平面所成角為，求的取值范圍.【變式2】（2023春·江蘇連云港·高二?？茧A段練習）如圖，圓臺的軸截面為等腰梯形，，為底面圓周上異于，的點.(1)在平面內(nèi)，過作一條直線與平面平行，并說明理由；(2)設平面∩平面，與平面QAC所成角為，當四棱錐的體積最大時，求的取值范圍.題型08利用向量法解決直線與平面所成角的探索性問題【典例1】（2023春·江蘇南京·高二南京市雨花臺中學校聯(lián)考期中）如圖，四面體中，，，，為的中點．(1)證明：平面；(2)設，，，點在上，若與平面所成的角的正弦值為，求此時點的位置．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）如圖（1），在正三角形中，分別為中點，將沿折起，使二面角為直二面角，如圖（2），連接，過點作平面與平面平行，分別交于.(1)證明：平面；(2)點在線段上運動，當與平面所成角的正弦值為時，求的值.【變式1】（2023·廣東·高三專題練習）如圖，在四棱臺中，底面是菱形，，梯形底面，.設為的中點.(1)求證：平面；(2)上是否存在一點，使得與平面所成角余弦為，請說明理由.【變式2】（2023·湖北荊州·沙市中學?？寄M預測）如圖，正三棱柱的所有棱長均為為的中點，為上一點，(1)若，證明：平面；(2)當直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.題型09利用向量法求二面角（定值）【典例1】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·赤峰二中校聯(lián)考模擬預測）如圖1，在五邊形中，四邊形為正方形，，，如圖2，將沿折起，使得至處，且．(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值．【典例2】（2023秋·云南大理·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，平面，，四邊形滿足，，，點為的中點.(1)求證：；(2)點為邊上的點，若，求二面角的余弦值.【變式1】（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學?？寄M預測）如圖，多面體中，四邊形是菱形，，，，，，平面，.(1)求；(2)求二面角的正弦值.【變式2】（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在正四棱錐中，，正四棱錐的體積為，點為的中點，點為的中點.(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.題型10利用向量法求二面角（最值或范圍）【典例1】（2023春·安徽·高三安徽省臨泉第一中學校聯(lián)考階段練習）如圖，在四棱錐中，所有棱長都相等，，分別是棱，的中點，是棱上的動點，且.(1)若，證明：平面.(2)求平面與平面夾角余弦值的最大值.【典例2】（2023秋·重慶萬州·高二重慶市萬州第二高級中學?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，，是的中點．(1)求的長；(2)設二面角平面角的補角大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．【變式1】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？茧A段練習）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，分別是線段的中點，二面角為直二面角.(1)求證：平面；(2)若點為線段上的動點（不包括端點），求銳二面角的余弦值的取值范圍.【變式2】（2023·全國·高三專題練習）如圖①所示，長方形中，，，點是邊靠近點的三等分點，將△沿翻折到△，連接，，得到圖②的四棱錐.(1)求四棱錐的體積的最大值；(2)設的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值.題型11利用向量法解決二面角中的探索性問題【典例1】（2023·全國·高三對口高考）如圖，在四棱錐中，，，是棱上一點．(1)若，求證：平面；(2)若平面平面，平面平面，求證：平面；(3)在（2）的條件下，若二面角的余弦值為，求的值．【典例2】（2023春·安徽·高二馬鞍山二中校聯(lián)考階段練習）如圖所示，在四棱錐中，側面為邊長為2的等邊三角形，底面為等腰梯形，，，底面梯形的兩條對角線和互相垂直，垂足為，，點為棱上的任意一點.(1)求證：；(2)是否存在點使得二面角的余弦值為，若存在求出點的位置；若不存在請說明理由.【變式1】（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學?？既＃┮阎谥比庵?，其中為的中點，點是上靠近的四等分點，與底面所成角的余弦值為．(1)求證：平面平面；(2)在線段上是否存在一點，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，若存在，確定點的位置，若不存在，請說明理由．【變式2】（2023春·湖北武漢·高一武漢市第十一中學?？茧A段練習）已知如圖1直角梯形，，，，，為的中點，沿將梯形折起（如圖2），使平面平面．(1)證明：平面；(2)在線段上是否存在點，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，若存在，求出點的位置：若不存在，請說明理由．題型12利用向量法求點到直線的距離【典例1】（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）如圖，是棱長為1的正方體，若平面，且滿足，則到的距離為（）A． B． C． D．【典例2】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）在梯形中，，，，，如圖1．現(xiàn)將沿對角線折成直二面角，如圖2，點在線段上．(1)求證：；(2)若點到直線的距離為，求的值．【變式1】（2023春·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）已知空間直角坐標系中的三點，，，則點A到直線的距離為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·江蘇連云港·高二連云港高中?？茧A段練習）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，底面，．建立適當?shù)目臻g直角坐標系．(1)求平面與平面夾角的正弦值；(2)求到直線的距離．題型13利用向量法求點到平面的距離【典例1】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）如圖所示，四棱錐的底面是正方形，底面，為的中點，.(1)證明：平面；(2)求點到平面的距離.【典例2】（2023·遼寧沈陽·東北育才學校?？寄M預測）如圖，棱長為2的正方體中，為線段上動點．(1)證明：平面；(2)當直線與平面所成的角正弦值為時，求點到平面的距離．【變式1】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）在多面體中，四邊形是邊長為4的正方形，，是正三角形．(1)若為的中點，求證：直線平面；(2)若點在棱上且，求點到平面的距離．【變式2】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知多面體，四邊形是等腰梯形，，，四邊形是菱形，，，分別為，的中點，.(1)求證：平面平面；(2)求點到平面的距離.題型14利用向量法解決點到平面的距離的探索性問題【典例1】（2022秋·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考階段練習）圖1是直角梯形，，，四邊形是邊長為4的菱形，并且，以為折痕將折起，使點到達的位置，且，如圖2.(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在點，使得到平面的距離為？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值.【典例2】（2022秋·湖北孝感·高二大悟縣第一中學校聯(lián)考期中）如圖在四棱錐中，側面底面，側棱，底面為直角梯形，其中，為的中點．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的正弦值；(3)線段上是否存在，使得它到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【變式1】（2022春·江蘇常州·高二常州高級中學校考期中）已知四棱錐，底面是菱形，，平面，，點滿