12-1-非參數(shù)統(tǒng)計秩和檢驗

參數(shù)的假設(shè)檢驗 總體分布類型，對假設(shè)干個未知參數(shù)〔如均值，方差〕作統(tǒng)計假設(shè)檢驗。非參數(shù)的假設(shè)檢驗〔NonparametricTests〕 不依賴總體分布類型，對總體分布的某種假設(shè)〔例如對分布的形狀、分位數(shù)大小、對稱性等假設(shè)〕進(jìn)行作統(tǒng)計檢驗。

上節(jié)介紹的擬合優(yōu)度檢驗就是一種非參數(shù)檢驗方法，這節(jié)主要介紹符號檢驗法(計數(shù)統(tǒng)計量)、秩和檢驗法〔秩統(tǒng)計量〕、符號秩和檢驗法〔符號秩統(tǒng)計量〕。非參數(shù)檢驗計數(shù)統(tǒng)計量

設(shè)X是隨機(jī)變量，對給定的實數(shù)θ0，記 稱為X按θ0分段的計數(shù)統(tǒng)計量

設(shè)X1,…Xn是來自連續(xù)分布總體的簡單隨機(jī)樣本，對于檢驗問題：

H0:F(0)=1/2H1:F(0)≠1/2符號檢驗法〔SignTests〕 拒絕域：擴(kuò)展：

H0:F(θ0)=p0H1:F(θ0)≠p0符號檢驗法〔SignTests〕 拒絕域：某工廠為提高某種產(chǎn)品的質(zhì)量，對生產(chǎn)工藝進(jìn)行了改變.隨機(jī)地取一新產(chǎn)品和一舊產(chǎn)品作為一對進(jìn)行比較，共比較了20對.記錄如下〔＋表示新產(chǎn)品好，－表示舊產(chǎn)品好〕:＋，－，－，＋，＋，＋，＋，＋，－，＋，＋，＋，＋，－，＋，＋，＋，＋，＋，＋那么新工藝下的產(chǎn)品是否比原工藝下的產(chǎn)品質(zhì)量確有改進(jìn)?例8.2假設(shè)H0成立,新產(chǎn)品Y、舊產(chǎn)品X獨(dú)立同分布,那么T=Y-X的分布關(guān)于0對稱，即F(0)=1/2.

H0:F(0)=1/2H1:F(0)>1/2 拒絕域： 查表附表8得C＝15

B＝16拒絕原假設(shè) 結(jié)論：新產(chǎn)品比舊產(chǎn)品好例8.2秩和檢驗法符號檢驗法的缺點:沒有充分利用數(shù)據(jù)本身提供的信息，而且兩樣本的時候必須在數(shù)據(jù)成對時使用。 如果兩樣本數(shù)據(jù)不成對，那么可用秩和檢驗法。設(shè)Z1,…Zn是來自連續(xù)分布F(Z)的樣本，其次序統(tǒng)計量記為Z〔1〕≤…≤Z〔n〕.令Ri=min{k:1≤k≤N,Zi=Z(k)}(i=1,…,N) 稱Ri為Zi的秩. 如果樣本中幾個觀察值相同，占有了相鄰的幾個秩次，它們的秩可以有多種不同的約定〔同取最小的秩次，同取平均秩次，或同取最大秩次〕上式相當(dāng)于約定為同取最小秩次。什么叫秩設(shè)Z1,…Zn是來自連續(xù)分布F(Z)的樣本，Ri為Zi的秩.，那么隨機(jī)向量R=(R1,…RN)在集合A={γ:γ是1,…N的一個排列}上等概率分布.有A=P(R=γ)=1/N!定理8.2(P165)用兩種材料A和B制造同一件產(chǎn)品，今分別隨機(jī)抽取假設(shè)干個進(jìn)行比較，按產(chǎn)品性能從劣到優(yōu)排列如下：

B,B,A,B,B,A,A,B,A,A,A,A

問：兩種材料對產(chǎn)品的性能有無影響？

H0:A和B兩種材料效果一樣

<vs>

H1:A和B兩種材料效果不同例8.4(P167)編秩BBABBAABAAAA123456789101112R1R2Q1R3R4Q2Q3R5Q4Q5Q6Q7來自A的樣本容量為7〔m〕來自B的樣本容量為5〔n〕秩和在原假設(shè)成立的條件下應(yīng)該服從怎么樣的分布

分析假設(shè)原假設(shè)H0:A和B兩種材料效果一樣成立，那么這兩種質(zhì)地的產(chǎn)品可以看作是一個樣本，那么由定理8.2，它們的秩在A={γ:γ是1,…12的一個排列}上等概率分布.

{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}

從1－12中任意抽取5個數(shù)出來，其和等于w的概率的概率 拒絕域：W的取值發(fā)生情形概率151，2，3，4，52，1，3，4，5…n!/（n+m)!181，2，3，4，82，3，4，5,7…>n!/（n+m)!………

m=7,n=5,取α＝0.10查表得到W1=22,W2=43,而實際的W為20，樣本落入否認(rèn)域.拒絕原假設(shè)，認(rèn)為A,B兩種材料對產(chǎn)品質(zhì)量有顯著差異.

例8.4(P167)符號秩和檢驗法假設(shè)X1,…Xn是來自連續(xù)分布F(X)的樣本，Ri+為|X1|,…|Xn|在〔|X1|,…|Xn|〕中的秩，那么

為符號秩符號秩和檢驗法原理

定理8.4設(shè)是關(guān)于0對稱的連續(xù)分布的樣本，它們的絕對秩，那么服從p=1/2的伯努力分布(i=1,…,n),在A={:為1，2,…,n的排列}上均勻分布。

以n=2為例

(12)(1-2)(-12)(-1-2)(21)(-21)(2-1)(-2-1)

以n=2為例

(12)(10)(02)(00)(21)(01)(20)(00)

設(shè)X1,…Xn是來自連續(xù)分布總體F(X)的簡單隨機(jī)樣本，F(xiàn)(X)連續(xù)有對稱點0.

H0:θ=

0H1:θ≠0 拒絕域：符號秩和檢驗法W+的取值發(fā)生情形概率0(-1-2)(-2-1)1/41(1-2)(-21)1/42(-12)(2-1)1/43(12)(21)1/4

以n=2為例

設(shè)X1,…Xn是來自連續(xù)分布總體F(X)的簡單隨機(jī)樣本，F(xiàn)(X)連續(xù)有對稱點θ.