隨機過程的基本概念和基本類型

隨機過程的基本概念和基本類型教學(xué)目的：（1）掌握隨機過程的定義；（2）了解有限維分布族和Kolmogorov定理；（3）掌握獨立增量過程和獨立平穩(wěn)增量過程概念。教學(xué)重點：（1）有限維分布和Kolmogorov定理；（2）隨機過程的基本類型。教學(xué)難點：（1）有限維分布和Kolmogorov定理。2.1基本概念教學(xué)目的：掌握隨機過程的定義；了解隨機過程的按狀態(tài)集和參數(shù)的分類。教學(xué)重點：隨機過程的定義。在概率論中，我們研究了隨機變量，維隨機向量。在極限定理中，我們研究了無窮多個隨機變量，但局限在它們相互獨立的情形。將上述情形加以推廣，即研究一族無窮多個、相互有關(guān)的隨機變量，這就是隨機過程。定義2.1：設(shè)是一概率空間，對每一個參數(shù),是一定義在概率空間上的隨機變量，則稱隨機變量族,為該概率空間上的一隨機過程。稱為參數(shù)集。隨機過程的兩種描述方法：用映射表示，，即是一定義在上的二元單值函數(shù)，固定是一定義在樣本空間上的函數(shù)，即為一隨機變量；對于固定的，是一個關(guān)于參數(shù)的函數(shù)，通常稱為樣本函數(shù)，或稱隨機過程的一次實現(xiàn)。記號有時記為或簡記為參數(shù)一般表示時間或空間。參數(shù)常用的一般有：(1)(2)(3)當(dāng)參數(shù)取可列集時，一般稱隨機過程為隨機序列。隨機過程可能取值的全體所構(gòu)成的集合稱為此隨機過程的狀態(tài)空間，記作S.S中的元素稱為狀態(tài)。狀態(tài)空間可以由復(fù)數(shù)、實數(shù)或更一般的抽象空間構(gòu)成。隨機過程分為以下四類：離散參數(shù)離散型隨機過程；(2)連續(xù)參數(shù)離散型隨機過程；(3)連續(xù)參數(shù)連續(xù)型隨機過程；(4)離散參數(shù)連續(xù)型隨機過程。以隨機過程的統(tǒng)計特征或概率特征的分類，一般有：獨立增量過程；二階矩過程；平穩(wěn)過程；Poission過程；更新過程；Markov過程；鞅；維納過程。隨機過程舉例例2.1例2.2拋擲一枚硬幣，樣本空間為定義：隨機過程。例2.32.2有限維分布與Kolmogvrov定理教學(xué)目的：掌握隨機過程有限維分布函數(shù)的定義和性質(zhì)；會求隨機過程的均值函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)、方差函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)；了解Kolmogvrov定理。教學(xué)重點：隨機過程的有限維分布函數(shù)；隨機過程的數(shù)字特征（均值函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)、方差函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)）。教學(xué)難點：隨機過程有限維分布；Kolmogvrov定理。一、隨機過程的分布函數(shù)1.一維分布函數(shù)2.二維分布函數(shù)，3.n維分布函數(shù)4.有限維分布族稱為有限維分布族5.有限維分布族的性質(zhì)(1)對稱性（2）相容性注1：隨機過程的統(tǒng)計特性完全由它的有限維分布族決定。注2：有限維分布族與有限維特征函數(shù)族相互唯一確定。問題：一個隨機過程的有限維分布族，是否描述了該過程的全部概率特性？定理：（Kolmogorov存在性定理）設(shè)分布函數(shù)族滿足以上提到的對稱性和相容性，則必有一隨機過程恰好是的有限維分布族，即：定理說明：的有限維分布族包含了的所有概率信息。例2.4例2.5二、隨機過程的數(shù)字特征1.均值函數(shù)隨機過程的均值函數(shù)定義為：（假設(shè)是存在的）2.方差函數(shù)隨機過程的方差函數(shù)定義為：3.(自)協(xié)方差函數(shù)---------------4.(自)相關(guān)函數(shù)---------------5.(互)協(xié)方差函數(shù)-------------------6.互相關(guān)函數(shù)----------------------7.互不相關(guān),8.特征函數(shù)記：為隨機過程的有限維特征函數(shù)族。例2.6例2.7作業(yè)12.3隨機過程的基本類型教學(xué)目的：了解嚴(yán)平穩(wěn)過程的定義；掌握寬平穩(wěn)過程的定義，會判斷一個隨機過程是否是寬平穩(wěn)過程；掌握均值遍歷性定理；了解協(xié)方差函數(shù)遍歷性定理；掌握獨立增量過程和平穩(wěn)增量過程的定義。教學(xué)重點：寬平穩(wěn)過程的判定；均值遍歷性定理；獨立增量過程和平穩(wěn)增量過程的定義。教學(xué)難點：寬平穩(wěn)過程的判定；均值遍歷性定理；協(xié)方差函數(shù)遍歷性定理；一、嚴(yán)平穩(wěn)過程定義1：二、嚴(yán)平穩(wěn)過程的特點則三、寬平穩(wěn)過程(簡稱平穩(wěn)過程)定義2：注1：注2：例2.8，例.9四、平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：性質(zhì)2：結(jié)論：性質(zhì)3：是偶函數(shù)，性質(zhì)4：注：性質(zhì)8：性質(zhì)9：例2.10：五、獨立增量過程定義1例2.11：定義2六、遍歷性定理，，定義1:定義2:例2.12:例2.13:，定