2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第三講函數(shù)的奇偶性與周期性 課件（47張）

第三講函數(shù)的奇偶性與周期性課標(biāo)要求考情分析1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的概念和幾何意義.2.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會(huì)判斷和應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性1.本講以理解函數(shù)的奇偶性、會(huì)用函數(shù)的奇偶性為主，常與函數(shù)的單調(diào)性、周期性交匯命題，加強(qiáng)函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用意識(shí).2.題型以選擇、填空題為主，中等難度奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱1.函數(shù)的奇偶性

【名師點(diǎn)睛】

(1)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件. (2)若f(x)≠0，則奇(偶)函數(shù)定義的等價(jià)形式如下：①f(－x)＝2.函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期. (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.，則T＝2a(a>0).【名師點(diǎn)睛】函數(shù)周期性常用結(jié)論對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝

1f(x)(3)若f(x＋a)＝－

1f(x)，則T＝2a(a>0).Ｋ3.函數(shù)圖象的對(duì)稱性(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.(2)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對(duì)稱.

(3)若對(duì)于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.考點(diǎn)一判斷函數(shù)的奇偶性)[例1](1)已知函數(shù)f(x)＝x·|x|－2x，則下列結(jié)論正確的是(A.f(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(－∞，0)B.f(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(－∞，1)C.f(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(－1，1)D.f(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(0，＋∞)解析：將函數(shù)f(x)＝x·|x|－2x去掉絕對(duì)值得畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖2-3-1，觀察圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在圖2-3-1(－1，1)上單調(diào)遞減.故選C.答案：CA.f(x－1)－1C.f(x＋1)－1B.f(x－1)＋1D.f(x＋1)＋1答案：B【題后反思】(1)判斷函數(shù)奇偶性的兩個(gè)必備條件①定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域.②判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系.在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以將問題轉(zhuǎn)化為f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù))是否成立.(2)一些重要類型的奇偶函數(shù)①函數(shù)f(x)＝ax＋a－x為偶函數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax－a－x為奇函數(shù).【變式訓(xùn)練】(2022年云浮市期末)已知

f(x)為

R上的奇函數(shù)，g(x)為R上的)偶函數(shù)，且g(x)≠0，則下列說法正確的是( A.f(x)＋g(x)為R上的奇函數(shù)

B.f(x)－g(x)為R上的奇函數(shù)

f(x)C.

g(x)為R上的偶函數(shù)D.|f(x)g(x)|為R上的偶函數(shù)解析：因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù)，g(x)為R上的偶函數(shù)，且g(x)≠0，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，所以f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－[f(x)＋g(x)]，故f(x)＋g(x)為非奇非偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；同理，f(x)－g(x)為非奇非偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；為奇函數(shù)，C錯(cuò)誤； 設(shè)函數(shù)H(x)＝|f(x)g(x)|，

H(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝H(x)，所以H(x)為R上的偶函數(shù)，D正確.故選D.

答案：D考點(diǎn)二根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值或范圍答案：4答案：C【題后反思】(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.

(2)利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在另一對(duì)稱區(qū)間上的圖象，確定函數(shù)在另一區(qū)間上的解析式，解決某些求值或參數(shù)問題. (3)由函數(shù)奇偶性延伸可得到一些對(duì)稱性結(jié)論，如函數(shù)f(x＋a)為偶函數(shù)(奇函數(shù))，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱[關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱].【變式訓(xùn)練】答案：±12.設(shè)函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，f(3)＝0，且g(x)＝f(x＋1)為偶函數(shù)，則不等式g(2－2x)<0的解集為________.

解析：由已知可得g(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，g(2)＝0，又因?yàn)間(x)為偶函數(shù)，所以g(2－2x)<0可化為g(2－2x)<g(2)，所以|2－2x|<2，所以－2<2x－2<2，解得0<x<2.答案：(0，2)考點(diǎn)三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用考向1單調(diào)性與奇偶性的綜合問題

通性通法：(1)利用偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反、奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，實(shí)現(xiàn)不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化.(2)注意偶函數(shù)的性質(zhì)f(x)＝f(|x|)的應(yīng)用.[例3]已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為(

)A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

解析：易知g(x)＝xf(x)在R上為偶函數(shù)，∵奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，則f(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，∴g(3)>g(－log25.1)>g(20.8)，即c>a>b.

答案：C考向2周期性與奇偶性的綜合問題

通性通法：此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.解析：∵f(x＋1)為奇函數(shù)，∴f(1)＝0，且f(x＋1)＝－f(－x＋1)，∵f(x＋2)為偶函數(shù)，∴f(x＋2)＝f(－x＋2)，∴f[(x＋1)＋1]＝－f[－(x＋1)＋1]＝－f(－x)，即f(x＋2)＝－f(－x)，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)＝－f(－x).令t＝－x，則f(t＋2)＝－f(t)，∴f(t＋4)＝－f(t＋2)＝f(t)，∴f(x＋4)＝f(x).當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f(x)＝ax2＋b.f(0)＝f(－1＋1)＝－f(2)＝－(4a＋b)，f(3)＝f(1＋2)＝f(－1＋2)＝f(1)＝a＋b，又f(0)＋f(3)＝6，∴－3a＝6，解得a＝－2，又∵f(1)＝a＋b＝0，∴b＝－a＝2，∴當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f(x)＝－2x2＋2，故選D.答案：D考向3單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合問題

通性通法：對(duì)于與函數(shù)性質(zhì)結(jié)合的題目，函數(shù)的周期性有時(shí)需要通過函數(shù)的奇偶性得到.函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對(duì)稱關(guān)系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律.因此在解題時(shí)，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定函數(shù)另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題.

[例5]已知定義在R上的偶函數(shù)滿足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，y＝f(x)單調(diào)遞減，給出以下四個(gè)命題： ①f(2)＝0；②直線x＝－4為函數(shù)y＝f(x)圖象的一條對(duì)稱軸；③函數(shù)y＝f(x)在[8，10]上單調(diào)遞增；④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的兩根為x1，x2，則x1＋x2＝－8.以上命題中所有正確命題的序號(hào)為________.

解析：據(jù)已知抽象函數(shù)關(guān)系式f(x＋4)＝f(x)＋f(2)可得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，又函數(shù)為偶函數(shù)，故有f(2)＝f(－2)＋f(2)＝2f(2)?f(2)＝0，①正確；因此f(x)＝f(x＋4)，即函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，又函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象必關(guān)于y軸即直線x＝0對(duì)稱，又其周期為4，故x＝－4也為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，②正確；又已知函數(shù)在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，故將其圖象沿x軸向右平移2個(gè)周期的單位長(zhǎng)度(8個(gè)單位長(zhǎng)度)，其單調(diào)性不變，即在區(qū)間[8，10]上也單調(diào)遞減，故③錯(cuò)誤；如圖2-3-2所示，若方程f(x)＝m在區(qū)間[－6，－2]上有兩根，則此兩根必關(guān)于直線x＝－4對(duì)稱，即x1＋x2＝－8，故④正確.綜上所述，命題①②④正確.圖2-3-2答案：①②④

【考法全練】

1.(考向1)(2020年全國(guó)Ⅰ)若定義在R上的奇函數(shù)

f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是(

)A.[－1，1]∪[3，＋∞)B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞)D.[－1，0]∪[1，3]

解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖D2(1)所示，則函數(shù)f(x－1)的大致圖象如圖D2(2)所示.當(dāng)x≤0時(shí)，要滿足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≤0，得－1≤x≤0；當(dāng)x＞0時(shí)，要滿足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是[－1，0]∪[1，3].故選D.(1)(2)圖D2答案：D2.(考向3)(多選題)(2021年日照市聯(lián)考)已知定義在

R上的函)數(shù)f(x)滿足條件f(x＋2)＝－f(x)，且函數(shù)f(x－1)為奇函數(shù)，則( A.函數(shù)f(x)是周期函數(shù)

B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1，0)對(duì)稱

C.函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)

D.函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)

解析：因?yàn)閒(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期函數(shù)，A正確；因?yàn)楹瘮?shù)f(x－1)為奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1，0)對(duì)稱，B正確；因?yàn)楹瘮?shù)f(x－1)為奇函數(shù)，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)＝f(－x－1)，即

f(－x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，C正確；因?yàn)楹瘮?shù)

f(x－1)為奇函數(shù)，所以f(－1)＝0，又函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，所以f(1)＝0，所以函數(shù)f(x)不單調(diào)，D錯(cuò)誤.答案：ABC3.(考向2)已知

f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x)，當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，f(x)＝2x，則f(－9)＝________.

解析：根據(jù)題意，f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，又因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－9)＝－f(9)＝－f(1)＝－2.答案：－2⊙函數(shù)奇偶性、周期性的應(yīng)用

函數(shù)的奇偶性是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，特別是與函數(shù)其他性質(zhì)的綜合應(yīng)用更加突出.這類問題從通性通法的角度來處理，顯得較為煩瑣，若能靈活利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，常能達(dá)到化難為易、事半功倍的效果.以下歸納出函數(shù)奇偶性的拓展及應(yīng)用.(1)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且g(x)＝f(x)＋c，則必有g(shù)(－x)＋g(x)＝2c.

(2)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù)，則對(duì)任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特別地，若奇函數(shù)f(x)在D上有最值，則fmax(x)＋fmin(x)＝0，且若0∈D，則f(0)＝0.(3)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)g(x)＝f(x－a)＋h的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，h)對(duì)稱.(4)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(x)＝f(|x|).答案：A答案：2【高分訓(xùn)練】1.設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝x3－8(x≥0)，則{x|f(x－2)>0}＝()A.{x|x<－2或x>4}C.{x|x<0或x>6}