2024屆湖南省鳳凰皇倉中學數學九年級第一學期期末考試試題含解析

2024屆湖南省鳳凰皇倉中學數學九年級第一學期期末考試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，則cosA＝（）A． B． C． D．2．拋物線的對稱軸是直線（）A．x=-2 B．x=-1 C．x=2 D．x=13．關于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的兩個實數根互為相反數，則a的值為（）A．2 B．0 C．1 D．2或04．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，點P是△ABC內部的一個動點，且滿足∠PBC＝∠PCA，則線段AP長的最小值為（）A．0.5 B．﹣1 C．2﹣ D．5．為執(zhí)行“均衡教育”政策，某區(qū)2018年投入教育經費7000萬元，預計到2020年投入2.317億元，若每年投入教育經費的年平均增長百分率為x，則下列方程正確的是（）A．7000（1+x2）＝23170 B．7000+7000（1+x）+7000（1+x）2＝23170C．7000（1+x）2＝23170 D．7000+7000（1+x）+7000（1+x）2＝23176．如圖所示的幾何體，它的俯視圖是（）A． B．C． D．7．如圖，點O為△ABC的外心，點I為△ABC的內心，若∠BOC=140°，則∠BIC的度數為()A．110° B．125° C．130° D．140°8．在一個不透明的袋中裝有個紅、黃、藍三種顏色的球，除顏色外其他都相同，佳佳和琪琪通過多次摸球試驗后發(fā)現，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在左右，則袋中紅球大約有（）A．個 B．個 C．個 D．個9．關于的一元一次方程的解為，則的值為（）A．5 B．4 C．3 D．210．關于的分式方程的解為非負整數，且一次函數的圖象不經過第三象限，則滿足條件的所有整數的和為（）A． B． C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．已知是方程的兩個實數根，則的值是____．12．如圖，反比例函數的圖象經過點，過作軸垂線，垂足是是軸上任意一點，則的面積是_________．13．如圖，平行四邊形中，，如果，則___________．14．在中，，，，圓在內自由移動.若的半徑為1，則圓心在內所能到達的區(qū)域的面積為______.15．如圖，直線y=-x+b與雙曲線分別相交于點A，B，C，D，已知點A的坐標為（-1，4），且AB：CD=5：2，則m=_________．16．如圖，分別以等邊三角形的每個頂點為圓心、以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形稱為勒洛三角形．若等邊三角形的邊長為a，則勒洛三角形的周長為_____．17．如圖，正方形ABCD內接于⊙O，⊙O的半徑為6，則的長為__________．18．若能分解成兩個一次因式的積，則整數k=_________.三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，四邊形ABCD內接于圓，AD、BC的延長線交于點E，F是BD延長線上一點，DE平分∠CDF．求證：AB=AC．20．（6分）如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，CD上一點E，連接AE，將△ADE繞點A旋轉90°得△AFG，連接EG、DF．（1）畫出圖形；（2）若EG、DF交于BC邊上同一點H，且△GFH是等腰三角形，試計算CE長．21．（6分）2019年11月20日，“美麗玉環(huán)，文旦飄香”號冠名列車正式發(fā)車，為廣大旅客帶去“中國文旦之鄉(xiāng)”的獨特味道．根據市場調查，在文旦上市銷售的30天中，其銷售價格（元公斤）與第天之間滿足函數（其中為正整數）；銷售量（公斤）與第天之間的函數關系如圖所示，如果文旦上市期間每天的其他費用為100元．（1）求銷售量與第天之間的函數關系式；（2）求在文旦上市銷售的30天中，每天的銷售利潤與第天之間的函數關系式；（日銷售利潤=日銷售額－日維護費）（3）求日銷售利潤的最大值及相應的的值．22．（8分）綜合與實踐問題情境數學課上，李老師提出了這樣一個問題：如圖1，點是正方形內一點，，，.你能求出的度數嗎？(1)小敏與同桌小聰通過觀察、思考、討論后，得出了如下思路：思路一：將繞點逆時針旋轉，得到，連接，求出的度數.思路二：將繞點順時針旋轉，得到，連接，求出的度數.請參考以上思路，任選一種寫出完整的解答過程.類比探究(2)如圖2，若點是正方形外一點，，，，求的度數.拓展應用(3)如圖3，在邊長為的等邊三角形內有一點，，，則的面積是______.23．（8分）如圖，已知一次函數y1＝ax+b的圖象與x軸、y軸分別交于點D、C，與反比例函數y2＝的圖象交于A、B兩點，且點A的坐標是（1，3）、點B的坐標是（3，m）．（1）求一次函數與反比例函數的解析式；（2）求C、D兩點的坐標，并求△AOB的面積；（3）根據圖象直接寫出：當x在什么取值范圍時，y1＞y2？24．（8分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，OD⊥AC，垂足為D點，直線OD與⊙O相交于E，F兩點，P是⊙O外一點，P在直線OD上，連接PA，PB，PC，且滿足∠PCA＝∠ABC（1）求證：PA＝PC；（2）求證：PA是⊙O的切線；（3）若BC＝8，，求DE的長．25．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作AC的垂線交AC于點E，交AB的延長線于點F．（1）求證：DE與⊙O相切；（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的長．26．（10分）已知二次函數y=x2+4x+k-1.（1）若拋物線與x軸有兩個不同的交點，求k的取值范圍；（2）若拋物線的頂點在x軸上，求k的值.

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【分析】根據勾股定理求出AC，根據余弦的定義計算得到答案．【題目詳解】由勾股定理得，AC＝＝＝，則cosA＝＝＝，故選：D．【題目點撥】本題考查的是銳角三角函數的定義，掌握銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦是解題的關鍵．2、B【解題分析】令解得x=-1,故選B.3、B【解題分析】設方程的兩根為x1，x2，

根據題意得x1+x2=1，

所以a2-2a=1，解得a=1或a=2，

當a=2時，方程化為x2+1=1，△=-4＜1，故a=2舍去，

所以a的值為1．

故選B．4、C【分析】先計算出∠PBC+∠PCB＝45°，則∠BPC＝135°，利用圓周角定理可判斷點P在以BC為弦的⊙O上，如圖，連接OA交于P′，作所對的圓周角∠BQC，利用圓周角定理計算出∠BOC＝90°，從而得到△OBC為等腰直角三角形，四邊形ABOC為正方形，所以OA＝BC＝2，OB=，根據三角形三邊關系得到AP≥OA﹣OP（當且僅當A、P、O共線時取等號，即P點在P′位置），于是得到AP的最小值.【題目詳解】解：∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，即∠PCB+∠PCA＝45°，∵∠PBC＝∠PCA，∴∠PBC+∠PCB＝45°，∴∠BPC＝135°，∴點P在以BC為弦的⊙O上，如圖，連接OA交于P′，作所對的圓周角∠BQC，則∠BCQ＝180°﹣∠BPC＝45°，∴∠BOC＝2∠BQC＝90°，∴△OBC為等腰直角三角形，∴四邊形ABOC為正方形，∴OA＝BC＝2，∴OB＝BC＝，∵AP≥OA﹣OP（當且僅當A、P、O共線時取等號，即P點在P′位置），∴AP的最小值為2﹣．故選：C．【題目點撥】本題考查了圓周角定理及等腰直角三角形的性質.圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.5、C【分析】本題為增長率問題，一般用增長后的量＝增長前的量×（1＋增長率），如果設每年投入教育經費的年平均增長百分率為x，再根據“2018年投入7000萬元”可得出方程．【題目詳解】設每年投入教育經費的年平均增長百分率為x，則2020年的投入為7000（1+x）2＝23170由題意，得7000（1+x）2＝23170.故選：C．【題目點撥】此題考查了由實際問題抽象出一元二次方程的知識，平均增長率問題，一般形式為a（1＋x）2＝b，a為起始時間的有關數量，b為終止時間的有關數量．6、D【分析】根據俯視圖的確定方法，找到從上面看所得到的圖形即是所求圖形．【題目詳解】從幾何體上面看，有三列，第一列2個，第二列1個位于第2層，第三列1個位于第2層．故選：D．【題目點撥】本題考查了簡單組合體的三視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖．7、B【解題分析】解：∵點O為△ABC的外心，∠BOC=140°，∴∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∵點I為△ABC的內心，∴∠IBC+∠ICB=55°，∴∠BIC=125°．故選B.8、A【分析】在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關系入手，設出未知數列出方程求解．【題目詳解】設袋中有紅球x個，由題意得解得x＝10，故選：A．【題目點撥】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數的增多，值越來越精確．9、D【分析】滿足題意的有兩點，一是此方程為一元一次方程，即未知數x的次數為1；二是方程的解為x=1,即1使等式成立，根據兩點列式求解.【題目詳解】解：根據題意得，a-1=1,2+m=2,解得，a=2,m=0,∴a-m=2.故選：D.【題目點撥】本題考查一元一次方程的定義及方程解的定義，對定義的理解是解答此題的關鍵.10、A【分析】解分式方程可得且，再根據一次函數的圖象不經過第三象限，可得，結合可得，且，再根據是整數和是非負整數求出的所有值，即可求解．【題目詳解】經檢驗，不是方程的解∴∵分式方程的解為非負整數∴解得且∵一次函數的圖象不經過第三象限∴解得∴，且∵是整數∴∵是非負整數故答案為：A．【題目點撥】本題考查了分式方程和一次函數的問題，掌握解分式方程和解不等式組的方法是解題的關鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、1【分析】根據一元二次方程根與系數的關系可得出，，再代入中計算即可．【題目詳解】解：∵是方程的兩個實數根，∴，，∴，故答案為：1．【題目點撥】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，解題的關鍵是熟知：若是一元二次方程的兩個根，則，．12、【分析】連接OA，根據反比例函數中k的幾何意義可得，再根據等底同高的三角形的面積相等即可得出結論【題目詳解】解：連接OA，∵反比例函數的圖象經過點，∴；∵過作軸垂線，垂足是；∴AB//OC∴和等底同高;∴；故答案為：【題目點撥】本題考查了反比例函數比例系數的幾何意義、等底同高的三角形的面積，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵13、【分析】由平行四邊形的性質可知△AEF∽△CDF，再利用條件可求得相似比，利用面積比等于相似比的平方可求得△CDF的面積．【題目詳解】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EAF＝∠DCF，且∠AFE＝∠CFD，∴△AEF∽△CDF，∵AE：EB＝1：2∴，∴，∵，∴S△CDF＝．故答案為：．【題目點撥】本題主要考查相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的周長比等于相似比、面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．14、24【分析】根據題意做圖，圓心在內所能到達的區(qū)域為△EFG，先求出AB的長，延長BE交AC于H點，作HM⊥AB于M，根據圓的性質可知BH平分∠ABC，故CH=HM,設CH=x=HM，根據Rt△AMH中利用勾股定理求出x的值，作EK⊥BC于K點，利用△BEK∽△BHC，求出BK的長，即可求出EF的長，再根據△EFG∽△BCA求出FG，即可求出△EFG的面積.【題目詳解】如圖，由題意點O所能到達的區(qū)域是△EFG，連接BE，延長BE交AC于H點，作HM⊥AB于M，EK⊥BC于K，作FJ⊥BC于J．∵，，，∴AB=根據圓的性質可知BH平分∠ABC∴故CH=HM,設CH=x=HM，則AH=12-x，BM=BC=9,∴AM=15-9=6在Rt△AMH中，AH2=HM2+AM2即AH2=HM2+AM2（12-x）2=x2+62解得x=4.5∵EK∥AC，∴△BEK∽△BHC，∴，即∴BK=2，∴EF=KJ=BC-BK-JC=9-2-1=6，∵EG∥AB，EF∥AC，FG∥BC，∴∠EGF＝∠ABC，∠FEG＝∠CAB，∴△EFG∽△ACB，故,即解得FG=8∴圓心在內所能到達的區(qū)域的面積為FG×EF=×8×6=24,故答案為24.【題目點撥】此題主要考查相似三角形的判定與性質綜合，解題的關鍵是熟知勾股定理、相似三角形的判定與性質.15、【解題分析】如圖由題意：k＝﹣4，設直線AB交x軸于F，交y軸于E．根據反比例函數y和直線AB組成的圖形關于直線y＝x對稱，求出E、F、C、D的坐標即可．【題目詳解】如圖由題意：k＝﹣4，設直線AB交x軸于F，交y軸于E．∵反比例函數y和直線AB組成的圖形關于直線y＝x對稱，A（﹣1，4），∴B（4，﹣1），∴直線AB的解析式為y＝﹣x+3，∴E（0，3），F（3，0），∴AB＝5，EF＝3．∵AB：CD＝5：2，∴CD＝2，∴CE＝DF．設C（x，－x+3），∴CE=，解得：x=（負數舍去），∴x=，－x+3=，∴C（），∴m==．故答案為：．【題目點撥】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用軸對稱的性質解決問題，屬于中考常考題型．16、πa【分析】首先根據等邊三角形的性質得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a，再利用弧長公式求出的長=的長=的長=，那么勒洛三角形的周長為【題目詳解】解：如圖．∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a，∴的長=的長=的長=，∴勒洛三角形的周長為故答案為πa．【題目點撥】本題考查了弧長公式：（弧長為l，圓心角度數為n，圓的半徑為R），也考查了等邊三角形的性質．17、【分析】同圓或等圓中，兩弦相等，所對的優(yōu)弧或劣弧也對應相等，據此求解即可.【題目詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∴===,∴的長等于⊙O周長的四分之一，∵⊙O的半徑為6，∴⊙O的周長==，∴的長等于，故答案為：.【題目點撥】本題主要考查了圓中弧與弦之間的關系，熟練掌握相關概念是解題關鍵.18、【分析】根據題意設多項式可以分解為：（x+ay+c）（2x+by+d），則2c+d=k，根據cd=6，求出所有符合條件的c、d的值，然后再代入ad+bc=0求出a、b的值，與2a+b=1聯立求出a、b的值，a、b是整數則符合，否則不符合，最后把符合條件的值代入k進行計算即可．【題目詳解】解：設能分解成：(x＋ay＋c)（2x＋by＋d)，即2x2+aby2＋（2a＋b）xy＋（2c＋d)x＋（ad＋bc)y＋cd，∴cd=6，∵6=1×6=2×3=（-2）×（-3）=(-1)×(-6)，∴①c=1，d=6時，ad＋bc=6a＋b=0，與2a＋b=1聯立求解得，或c=6，d=1時，ad＋bc=a＋6b=0,與2a＋b=1聯立求解得，②c=2，d=3時，ad＋bc=3a＋2b=0，與2a＋b=1聯立求解得，或c=3，d=2時，ad＋bc=2a＋3b=0，與2a＋b=1聯立求解得,③c=-2，d=-3時，ad＋bc=-3a-2b=0，與2a＋b=1聯立求解得，或c=-3，d=-2，ad＋bc=-2a-3b=0，與2a＋b=1聯立求解得，④c=-1，d=-6時，ad＋bc=-6a-b=0，與2a＋b=1聯立求解得，或c=-6，d=-1時，ad＋bc=-a-6b=0，與2a＋b=1聯立求解得，∴c=2，d=3時，c=-2，d=-3時，符合，∴k=2c＋d=2×2＋3=1，k=2c＋d=2×（-2）＋（-3)=-1，∴整數k的值是1，-1．故答案為：．【題目點撥】本題考查因式分解的意義，設成兩個多項式的積的形式是解題的關鍵，要注意6的所有分解結果，還需要用a、b進行驗證，注意不要漏解．三、解答題(共66分)19、見解析【解題分析】試題分析：先根據角平分線的性質得出∠CDE=∠EDF，再由對頂角相等得出∠EDF=∠ADB，∠CDE=∠ADB．根據圓內接四邊形的性質得出∠CDE=∠ABC，∠ADB=∠ACB，進而可得出結論．證明：∵DE平分∠CDF，∴∠CDE=∠EDF．∵∠EDF=∠ADB，∴∠CDE=∠ADB．∵∠CDE=∠ABC，∠ADB=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．考點：圓周角定理．20、（1）見解析；（2）CE=3-【分析】（1）根據題意作圖即可；（2）根據旋轉的性質得到DE=FG，△ADF、△BHF是等腰直角三角形，故求出FH=，再根據等腰三角形的性質得到GF=FH==DE，故可求出CE的長．【題目詳解】解：（1）如圖所示：（2）由旋轉得，AD=AF=5，DE=GF∵∠BAD=90°∴△ADF為等腰直角三角形，∴A、B、F在同一直線上∴BF=2=BH∴△BHF為等腰直角三角形，∴HF==,∵△GFH是等腰三角形且∠GFH=90°+45°=135°∴GF=FH==DE∵CD=AB=3∴CE=CD-DE=3-．【題目點撥】此題主要考查矩形及旋轉的性質，解題的關鍵是熟知等腰三角形的判定與性質．21、（1）；（2）；（3）101.2，1．【分析】分兩段，根據題意，用待定系數法求解即可；先用含m,n的式子表示出y來，再代入即可；分別對（2）中的函數化為頂點式，再依次求出各種情況下的最大值，最后值最大的即為所求.【題目詳解】（1）當時，設，由圖知可知，解得∴同理得，當時，∴銷售量與第天之間的函數關系式：（2）∵∴整理得，（3）當時，∵的對稱軸∴此時，在對稱軸的右側隨的增大而增大∴時，取最大值，則當時∵的對稱軸是∴在時，取得最大值，此時當時∵的對稱軸為∴此時，在對稱軸的左側隨的增大而減小∴時，取最大值，的最大值是綜上，文旦銷售第1天時，日銷售利潤最大，最大值是101.2【題目點撥】本題考查了一次函數和二次函數的實際應用，注意分情況進行討論.22、(1)∠APB=135°，(2)∠APB=45°；(3).【分析】（1）思路一、先利用旋轉求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，進而判斷出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出結論；

思路二、同思路一的方法即可得出結論；（2）將繞點逆時針旋轉，得到，連接，然后同（1）的思路一的方法即可得出結論；（3）可先將△APB繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到△AP'C，根據旋轉性質，角的計算可得到△APP'是等邊三角形，再根據勾股定理，得到AP的長，最后根據三角形面積得到所求．【題目詳解】解：(1)思路一，如圖1，將繞點逆時針旋轉，得到，連接，則≌，，，，∴，根據勾股定理得，，∵，∴.又∵，∴，∴是直角三角形，且，∴；思路二、同思路一的方法.(2)如圖2，將繞點逆時針旋轉，得到，連接，則≌，，，，∴，根據勾股定理得，.∵，∴.又∵，∴，∴是直角三角形，且，∴；（3）如圖3，將△APB繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到△AP'C，

∴∠AP'C＝∠APB＝360°-90°-120°＝150°．∵AP＝AP'，∴△APP'是等邊三角形，∴PP'＝AP，∠AP'P＝∠APP'＝60°，∴∠PP'C＝90°，∠P'PC＝30°，∴，即．∵APC＝90°，∴AP2＋PC2＝AC2，且，∴PC＝2，∴，∴．【題目點撥】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，等邊三角形的性質，旋轉的性質，全等三角形的性質，勾股定理及其逆定理，正確作出輔助線是解本題的關鍵．23、（1）y1＝，y1＝﹣x+4；（1）4；（3）當x滿足1＜x＜3、x＜2時，則y1＞y1．【分析】（1）把點A（1，3）代入y1＝，求出k，得到反比例函數的解析式；再把B（3，m）代入反比例函數的解析式，求出m，得到點B的坐標，把A、B兩點的坐標代入y1=ax+b，利用待定系數法求出一次函數的解析式；

（1）把x=2代入一次函數解析式，求出y1=4，得到C點的坐標，把y1=2代入一次函數解析式，求出x=4，得到D點坐標，再根據S△AOB=S△AOD-S△BOD，列式計算即可；

（3）找出一次函數落在反比例函數圖象上方的部分對應的自變量的取值即可．【題目詳解】解：（1）把點A（1，3）代入y1＝，則3＝，即k＝3，故反比例函數的解析式為：y1＝．把點B的坐標是（3，m）代入y1＝，得：m＝＝1，∴點B的坐標是（3，1）．把A（1，3），B（3，1）代入y1＝ax+b，得，解得，故一次函數的解析式為：y1＝﹣x+4；（1）令x＝2，則y1＝4；令y1＝2，則x＝4，∴C（2，4），D（4，2），∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝×4×3﹣×4×1＝4；（3）由圖像可知x＜2、1＜x＜3時，一次函數落在反比例函數圖象上方，故滿足y1＞y1條件的自變量的取值范圍：1＜x＜3、x＜2．【題目點撥】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，待定系數法求函數的解析式，函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積，難度適中．利用了數形結合思想．24、（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）DE＝1．【分析】（1）根據垂徑定理可得AD＝CD，得PD是AC的垂直平分線，可判斷出PA＝PC；（2）由PC＝PA得出∠PAC＝∠PCA，再判斷出∠ACB＝90°，得出∠CAB+∠CBA＝90°，再判斷出∠PCA+∠CAB＝90°，得出∠CAB+∠PAC＝90°，即可得出結論；（2）根據AB和DF的比設AB＝3a，DF＝2a，先根據三角形