五年級(jí)幾何直線型面積二教師版

SSSSSS·SS·

S SOS②AO:OC=S1+

:S4+ _1_①S:S=a2:b2 S2_OS②S1:S3:S:S=a2:b2:ab:ab

【例1（小學(xué)奧林匹克）ABCD45平方米，高6BC長(zhǎng)10米，三角形AED的面積是5平方米。求陰影部分的面積。 【分析 根據(jù)梯形的面積公式，AD=45·2?6-10=5（米。根據(jù)梯形蝴蝶定理SAEDSBEC=1:4S陰影5·420（平方米（BC【分析 ⑴根據(jù)蝴蝶定理，SBGC·1=2·3，那么SBGC=6AGGC(12:36=1:3 形的面積分別是6公頃和7公頃。那么最大的一個(gè)三角形的面積是多少公頃？6767 【分析 根據(jù)蝴蝶定理，SAOB:SBOC=SAOD:SDOC=6:7，所以最大的一個(gè)三角形為S

=(52-13)·6+

【例4S22S34【分析 設(shè)S為a2份，S為b2份，根據(jù)梯形蝴蝶定理，S=4=b2，所以b=2；又因?yàn)镾=2=a·b a1；那么Sa2=1，Sa·b2SSSSS12429 (2006年南京智力數(shù)學(xué)冬令營(yíng))如下圖，梯形ABCD的AB∥CD，對(duì)角線AC，BD交于O，已知AOB與BOC的面積分別為25平方厘米與35平方厘米，那么梯形ABCD的面積 SSa2ab2535，可得ab57，再根據(jù)梯形蝴蝶定理，SSa2:b252:722549，所以S49(平方厘米)．那么梯形 【例6】如圖，梯形ABCD的上底AD長(zhǎng)為3厘米，下底BC長(zhǎng)為9厘米。三角形AOB的面積為12平方厘米，則梯形ABCD是 B【分析 根據(jù)梯形蝴蝶定理， : :

: =1:3:3:9，所以 =12 = 梯形 1+3+3+ 梯形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，已知梯形上底為2，且三角形ABO的面積等于三角形BOC面積的2，求三角形AOD與三角形BOC的面積之比．3 根據(jù)梯形蝴蝶定理，SAOB:

abb223ab23 再根據(jù)梯形蝴蝶定理， : =a2:b2=22:32=4 【例8（2007年“數(shù)學(xué)解題能力展示”讀者評(píng)選高年級(jí)組初賽）ABCD被CE、DF四塊，已知其中3塊的面積分別為258平方厘米，那么余下的四邊形OFBC的面積為 【分析】連結(jié)DE、CF。在梯形EFCD中，根據(jù)梯形蝴蝶定理，可知EF2:DC228，所以 EF:DC=1:2。S: =1·2:22=1:2，所以 1方厘米，SFOC=SEOD=4（平方厘米。三角形ADE和三角形DCE的高相等，底不同，所以 : =AE:DC=1:(4+8)=1:12，那么FB:AB= :1=5:12 1 --

=5·

5·125（平方厘米

=S

+S

459（平方厘米【例9（2009年第十四屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽（B卷ABCD中，ABCDACBD相交于點(diǎn)OAB6CD4ABCD的面積為5，求三角形OBC的面積。 【分析 根據(jù)梯形蝴蝶定理 : : : =42:4·6:4·6:62=4: 的面積為5 4+6+6+

=1.2【例10】（第七屆中環(huán)杯五年級(jí)復(fù)賽）如圖，梯形ABCD的面積是225平方厘米，下底20厘米，高15厘米。那么，三角形AOD的面積是（ 【分析 由梯形的面積公式可得上底長(zhǎng)為225·2?15-20=10（厘米），由梯形的蝴蝶定理可得：S

:S

:

:S

=1:2:2:4，所以三角形AOD的面積是225 1+2+2+

50（厘米【例11】在下圖的正方形ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，AE與BD相交于F點(diǎn)三角形ABF的面積為1平方厘米，那么正方形ABCD面積是 【分析 連結(jié)DE。BE:AD=1:2，根據(jù)梯形蝴蝶定理所以SBFE:SAFB:SEFD:SAFD=1:2:2:4，所

=1+2·1=1.5，

=S

=1.5·2+3=（平方厘米【例12】（2008年第六屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”中國(guó)青年數(shù)學(xué)論壇趣味數(shù)學(xué)解題技能展示大賽四年級(jí)決賽正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E是BC的中（如圖四邊形OECD的面積為 】 連結(jié)E，SO=SO=SE=2，即

=2

=2·1·3·6=6

=1·3·6=9

3

S四邊形OECD69=15 連接EF，易知EF∥BD，則可以構(gòu)造一個(gè)梯形，從而應(yīng)用梯形蝴蝶定理快速求解．因?yàn)锽E=2EC，DF=2FC，所以BD:EF=3:1．BDFE四部分面積比為1:339 1 =

-··= 3 =1 1+3+3+

+SBDG=2

1·1 3+ +【例14】（2008年第七屆“小機(jī)靈杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽五年級(jí)決賽）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AD=8厘米，AB=5厘米，對(duì)角線AC和BD交于O，四邊形OEFG的面積是4平方厘米，則陰影部分面積 D 【分析】設(shè)DDEO的面積為xSDFG4x，在梯形ADFB中根據(jù)蝴蝶定理，SABGSDFG4x因?yàn)?/p>

（平方厘米）

10 ，所ODC4·S矩形ABCD4·8·5SABGSDEC4x+10x=14（平方厘米

【例15】如圖，ABCD和CGEFAG和CFH，已知CH等于CF的三分之一，三角形CHG的面積等于6平方厘米，求五邊形ABGEF的面積。 A 【分析】三角形CHG的面積等于6平方厘米，且CH等于CF的三分之一，則 CH·3CH=6，解2CH2厘米，所以CF2·36HF4ACFGACGF中，根據(jù)蝴SAHFSCHG6FH·AD26，可解得AD3厘米。大正方形邊長(zhǎng)是6厘米，小正方形邊長(zhǎng)是3厘米，所以五邊形ABGEFSS梯形ABCFSFCGE(36)·326·649.5（平方厘米【例16】（甘肅冬令營(yíng)）如下圖所示，在DABC中，已知M，N分別在邊AC，BC上，BM與AN相交于O，若DAOM，DABO和DOBN的面積分別是3，2，1，則DMNC的面積是 【分析 設(shè)DMNC的面積為x。在四邊形ABNM中，根據(jù)蝴蝶定理可求得SMON=1·3?2=1.5BN=SABN=SMBN，所 =1+1.5，解得x=22.5 【例17】（第三屆香港保良局小學(xué)數(shù)學(xué)世界邀請(qǐng)賽）在圖中，三個(gè)小三角形的面積分別為5、8和10。試問(wèn)四邊形ADOE的面積X是多少？ 【分析 連結(jié)DE，在四邊形DBCE中，根據(jù)蝴蝶定理：SDOB·SEOC=SDOE·SBOC，所 5·8?104BDSBDESBDC即545+10X22 S X- X+【例18（第六屆全澳校際小學(xué)數(shù)學(xué)比賽）圖中梯形的面積是60平方厘米，下底比上底長(zhǎng)五分之二。求 【分析 上底：下底=1:1+2=5:7，所以 : : : =52:5·7:5·7:72，所 5

·60125 245125120=10（平方厘米 F【分析

14·(10-7)=6 12·(10-7)=3所以 =6+3=9BCD2 CDE2 BCEDSEMDSEMCSBMDSBMC2:2·42·44=1:224

=3·1+

=6·2+

S

4-13【例20】如下圖所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10厘米，EC=2·BE，那么，圖中陰影部分的面積 【分析 連結(jié)DE。在梯形ABED中，BE:AD=1:3，根據(jù)梯形蝴蝶定理 : : : =1:3:3:9，所以 =3·10·10?2=12.5（平方厘米 3+【例21】如圖，在一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形中，放入一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，保持與原正方形的邊平行， 因此空白處的總面積為6·1.52·42·222，陰影部分的面積為6·622=14．626=13面積之比為12:1·31·332=1:3:3:9，所以每個(gè)梯形中的空白三角形占該梯形面積的

部分的面積占該梯形面積的

，所以陰影部分的總面積是四個(gè)梯形面積之和的

分的面積為7·(6222=14【例22（2007年“數(shù)學(xué)解題能力展示”讀者評(píng)選高年級(jí)組初賽）ABCD被CE、DF分成四塊，已知其中3塊的面積分別為258平方厘米，那么余下的四邊形OFBC的面積為 【分析】連結(jié)DE、CF。在梯形EFCD中，根據(jù)梯形蝴蝶定理，可知EF2:DC228，所以 EF:DC=1:2。S: =1·2:22=1:2，所以 = 1方厘米，SFOC=SEOD=4（平方厘米。三角形ADE和三角形DCE的高相等，底不同，所以 : =AE:DC=1:(4+8)=1:12，那么FB:AB= :1=5:12 1 --

=5·

=S

+S

【例23ABCD是平行四邊形，面積為72EFABBC的三等分點(diǎn)。則圖 B 【分析 連結(jié)EC。在梯形AECD中，根據(jù)梯形11定理 =12:1·3=1:3，而

AED=·

1+方厘米

=1+

·129（平方厘米連結(jié)AF，同理可以得到 ， =3·12=9（平方厘米 1+SDGHSADCSAGDSDHC72299=18（平方厘米S7233-1848（平方厘米角形BDG的面積． 【分析 設(shè)BD與CE的交點(diǎn)為O，連接BE、DF。由蝴蝶定理可知EO:OC=SBED:SBCD，而

=14

=12

:S

3CE中點(diǎn)，所以EF12

，故EOEF23，F(xiàn)OEO=12S

:S

FOEO=1:2

=12

=8ABCD=

=12

=116

1·10·106.25（平方厘米】如圖所示，邊長(zhǎng)為 【分析】利用梯形蝴蝶定理，設(shè)SAMGxSBCG4xSBGASCGM2xS(1-1·0.52)9·413【例26】圖中ABCDADE的面積是1.8ABF的面積是9BCF的面積27。那么陰影部分的面積是多少？CSABFSCBFabbab927=132 :

=a2:b2=1:9， =27·1=3，

3-1.81.2

以S陰影3.6+1.24.8【例27】如圖所示，長(zhǎng)方形ABCD2EC2DECG2BG。陰影部分的面積是 E 【分析】連結(jié)GE，因?yàn)镋C= ，CG=2BG，所以GE//BD，GE:BD=2:3。所

:S

:S

466: S梯形BGEDS

-

=2?-··=2?

2= 8 4，所以S= 12=8

·

+··4+6+6+

BD交于OAO=1ABDBCD的面積等于35。求OCBC【分析 根據(jù)蝴蝶定理，AO:OC=

D:S

35，所以O(shè)C=1·53 3C【分析 根據(jù)蝴蝶定理：AO:OC=SABD:SBCD=1:3，所以CO=3·AO=6，CO?DO=6?3=2 如右圖，長(zhǎng)方形ABCD中，EF=16，F(xiàn)G=9，求AG的長(zhǎng) 【分析 在梯形ABED中由蝴蝶定理知SADG=SEDG=DG=AG同理：DG=FG所以AG=FG AG2GEFG25·9225=152AG15 如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=16，AD=10，BE=4，那么FC的長(zhǎng)度是多少C DB、CEBECDSBEF:SEFC:SBFD:

=42:16·4:16·4:162=1:4:4FCBFSDCESBED(1644+1)4FC=10·5

8【練習(xí)1ABCDSAOB2SAOD3SDOC6平方厘米，求BCO的面積是多少？DA 【分析 根據(jù)蝴蝶定理，SBOC=2·6?3=4（平方厘米【練習(xí)2ABCDSABDSBCD25AO7厘米，求CODA【分析 根據(jù)蝴蝶定理，

:S

==AO:CO=2:5，所以 57=17.5（厘米=2 D (【分析 根據(jù)梯形蝴蝶定理，a:b=1:1.5=2:3， : =a2:b2=22:32=D (D

=12·4=16cm2 【練習(xí)4】如下圖平行四邊形被分成4塊，其中兩塊面積為7和4，那么陰影部分面積 O74 O74 【分析 連結(jié)AE。 : =a2:ab=a:b=4:7，所

:

，所以

=·4=12.25， =7。所以 =4+7=11 SABESABCSAEC(12.257)(74)8.25S陰影8.257=15.251平方厘米，那么正方形ABCD面積 D 連結(jié)DE。根據(jù)梯形蝴蝶定理：SBEF:SDFE:SAFB:SDFA=1:2:2:4，所以SABE=3SBEF=，1平方厘米，那么正方形ABCD面積 【分析 連結(jié)DE。BE:AD=1:2，根據(jù)梯形蝴蝶定理所以SBFE:SAFB:SEFD:SAFD=1:2:2:4，所

=1+2·1=1.5，

=S

=1.5·2+3=（平方厘米【練習(xí)7ABCDBC2CEDFFC ACADBC2CESCFESDFESAFCSAFD=1:224DF:FCSAEDSAEC(422+1)2:1，所以DFFC【練習(xí)8ABCDSAOB2SAOD3SDOC6平方厘米，求BCO的面積是多少？DA 【分析 根據(jù)蝴蝶定理，SBOC=2·6?3=4（平方厘米【練習(xí)9】如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，DABG的面積為16平方厘米，DCDH的面積為6平方厘米，則陰 連結(jié)EF。根據(jù)梯形蝴蝶定理，SEHF=SCDH=6（平方厘米），SEGF=SABG=16（平方厘米以陰影部分的面積是16+6=22（平方厘米。PQ PQ

【分析 連結(jié)CF。已知CF=2AB，根據(jù)梯形蝴蝶定理，SAPB:SBPC:SAPF:SCPF=1:2:2:4，所以角形CPF的面積為3 =4，陰影部分的面積是4·2=8=221+2+2+ 1平方厘米，那么正方形ABCD面積 【分析 連結(jié)DE。BE:AD=1:2，根據(jù)梯形蝴蝶定理所以SBFE:SAFB:SEFD:SAFD=1:2:2:4，所

=1+2·1=1.5，

=S

=1.5·2+3=（平方厘米C 【分析 根據(jù)梯形蝴蝶定理， : =a2:b2=4:9，所以a:b=2 : =ab:

=b:a=3:2，SAOD=SCOB=1.2323

S梯形ABCD=1.2+1.8+1.82.77.5 D (【分析 根據(jù)梯形蝴蝶定理，a:b=1:1.5=2:3， : =a2:b2=22:32=D (D

=12·4=16cm2 O74O74 O74O74 【分析 連結(jié)AE。 : =a2:ab=a:b=4:7，所

:

，所以

=·4=12.25， =4+7=11， : =(7-4):4=3:4，所 3

8.25S8.257=15.25【練習(xí)15ABCD72EFABBC的中點(diǎn)，則圖中陰影部D 【分析 連接AF,CE.在梯形AECD中， : : =1:2:4,又因?yàn)?=1 1