《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》413-5（雷安平）教案 第5課 函數(shù)的連續(xù)性

第課函數(shù)的連續(xù)性第課函數(shù)的連續(xù)性PAGE85函數(shù)的連續(xù)性第課PAGE7函數(shù)的連續(xù)性第課PAGE75

課題函數(shù)的連續(xù)性課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：（1）掌握連續(xù)函數(shù)的概念（2）掌握初等函數(shù)的連續(xù)性（3）掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)思政育人目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考和深度思考的良好習(xí)慣；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；樹立學(xué)生實(shí)事求是、一絲不茍的科學(xué)精神。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：掌握函數(shù)極限的直觀描述教學(xué)難點(diǎn)：極限的運(yùn)算法則教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)第1節(jié)課：課堂測驗(yàn)（13min）第2節(jié)課：課堂測驗(yàn)（15min）課堂小結(jié)（3min）教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】使用文旌課堂APP進(jìn)行簽到【學(xué)生】按照老師要求簽到培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況知識(shí)講解

（30min）【教師】講解函數(shù)的增量和連續(xù)函數(shù)的概念，并通過例題加深學(xué)生對(duì)函數(shù)連續(xù)性的理解一、函數(shù)的增量如果函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域有定義，當(dāng)自變量從變到時(shí)，函數(shù)相應(yīng)地從變到，此時(shí)稱與的差為函數(shù)的增量，記為，即．由函數(shù)增量的定義可知，的符號(hào)可為正，可為負(fù)，還可以為零．例1設(shè)函數(shù)，求函數(shù)當(dāng)由2變到的增量．解Δy=f=[(2+Δx．二、連續(xù)函數(shù)的概念圖2-3圖2-4圖2-5定義2-9趨于零時(shí)，函數(shù)的增量也趨于零，即，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．例2證明函數(shù)在給定點(diǎn)處連續(xù)．證當(dāng)自變量在處取得增量時(shí)，函數(shù)的相應(yīng)的增量為．因?yàn)?，故函?shù)在給定點(diǎn)處連續(xù)．在上述定義中，若令，那么，則即為即為，因此，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的定義又可以敘述如下：定義2-10如果，則稱函數(shù)在處連續(xù)．該定義隱含了三個(gè)事實(shí)：（1）函數(shù)在處有定義，即有定義（在的定義域內(nèi)）；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限存在，即；（3）這個(gè)極限值等于函數(shù)在處的函數(shù)值，即，此時(shí)有．如果上述條件有一個(gè)不滿足，則函數(shù)在不連續(xù)，即函數(shù)的間斷點(diǎn)例3求函數(shù)的間斷點(diǎn)．解由于函數(shù)在處沒有定義，故是函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn)，如圖2-6所示．例4求函數(shù)的間斷點(diǎn)．解分界點(diǎn)雖在函數(shù)的定義域內(nèi)，但，，因，則極限不存在，故是函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn)，如圖2-7所示．圖2-6圖2-7可利用定義2-10判定函數(shù)在其定義域內(nèi)任一點(diǎn)處的連續(xù)性．例如，對(duì)于函數(shù)，在其定義域內(nèi)任一點(diǎn)處，由于，又，從而有．根據(jù)定義知，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．類似地，有下列定義定義2-11若，則稱函數(shù)在點(diǎn)處左連續(xù)；若，則稱函數(shù)在點(diǎn)處右連續(xù)．根據(jù)以上定義可知：定理2-6函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的充分必要條件是．例5作函數(shù)的圖形，并討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性．解從函數(shù)式容易看出其在內(nèi)有定義，且，．這表明，函數(shù)在點(diǎn)處既左連續(xù)又右連續(xù)，因此，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)．下面給出函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義．定義2-12如果函數(shù)在區(qū)間上的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱在區(qū)間上連續(xù)．如果此時(shí)還有，則稱在上連續(xù)．區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的圖形是一條無間隙的連續(xù)曲線，可以一筆畫出．【學(xué)生】掌握函數(shù)的增量和連續(xù)函數(shù)的概念學(xué)習(xí)函數(shù)的增量和連續(xù)函數(shù)的概念。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗(yàn)

（13min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺(tái)中發(fā)布測試的題目，并讓學(xué)生進(jìn)行測試【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象第二節(jié)課知識(shí)講解

（25min）【教師】講解初等函數(shù)的連續(xù)性、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，并通過例題加深學(xué)生對(duì)函數(shù)連續(xù)性的理解一、初等函數(shù)的連續(xù)性定理2-7連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍是連續(xù)函數(shù)（作為商的函數(shù)要求除數(shù)不為零）．定理2-8連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)．定理2-9連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)．定理2-10基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的．定理2-11一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．由定理可知，如果函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，那么求極限的問題就簡化為求函數(shù)值，并且極限符號(hào)與函數(shù)符號(hào)可以互相交換，即．例6求．解．例7求．解因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，其定義域?yàn)?，而，所以．?求．解因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，其定義域?yàn)?，所以．?求．解．所以有．例10求．解設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以．故有．二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理2-12（最值定理）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值．定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，C為介于與之間的任意數(shù)，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，如圖2-8所示．定理2-14（零點(diǎn)定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，如圖2-9所示．圖2-8圖2-9例11證明方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根．證設(shè)，它在閉區(qū)間上是連續(xù)的，并且在區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值為．根據(jù)零點(diǎn)定理可知，內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，即．所以方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根．連續(xù)函數(shù)的這些性質(zhì)為數(shù)學(xué)的進(jìn)一步研究帶來了很大方便，因此在后面微積分學(xué)中，連續(xù)函數(shù)將作為主要研究對(duì)象．【學(xué)生】掌握初等函數(shù)的連續(xù)性、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)學(xué)習(xí)初等函數(shù)的連續(xù)性、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗(yàn)

（15min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺(tái)中發(fā)布測試的題目，并讓學(xué)生進(jìn)行測試【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象課堂小結(jié)

（3min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課上大家掌握了連續(xù)函數(shù)的概念、初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，課后要多加練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)?！緦W(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)，鞏固印象作業(yè)布置（2min）【教師】布置課后作業(yè)：完成課后習(xí)題2-2【學(xué)生】完成課后作業(yè)通過完