尺規(guī)作圖資料

-.z.1：尺規(guī)作出正三角形2尺規(guī)作出正方形3：尺規(guī)作出正六邊形4：尺規(guī)作出正十邊形5：尺規(guī)作出正十六邊形6：尺規(guī)作出正十七邊形7：尺規(guī)作出正十五邊形8：尺規(guī)作出正五邊形9：單尺作出正八邊形10：單尺作出正方形11：單尺作出正六邊形12：單尺作出正五邊形13：單規(guī)找出兩點間的三等分點14：單規(guī)找出兩點間的中點15：單規(guī)作出等邊三角形16：單規(guī)作出正八邊形17：單規(guī)作出正方形18：單規(guī)作出正六邊形19：單規(guī)作出正十邊形20：單規(guī)作出正十二邊形21：單規(guī)作出正十六邊形22：單規(guī)作出正十五邊形23單規(guī)作出正五邊形24：只有兩個刻度的直尺作出正三角形25：只有兩個刻度的直尺作出正方形初中數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖專題講解*遠波尺規(guī)作圖是起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題.只使用圓規(guī)和直尺，并且只準許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題.平面幾何作圖，限制只能用直尺、圓規(guī).在歷史上最先明確提出尺規(guī)限制的是伊諾皮迪斯.他發(fā)現(xiàn)以下作圖法：在已知直線的已知點上作一角與已知角相等.這件事的重要性并不在于這個角的實際作出，而是在尺規(guī)的限制下從理論上去解決這個問題.在這以前，許多作圖題是不限工具的.伊諾皮迪斯以后，尺規(guī)的限制逐漸成為一種公約，最后總結(jié)在《幾何原本》之中.初等平面幾何研究的對象，僅限于直線、圓以及由它們（或一部分）所組成的圖形，因此作圖的工具，習(xí)慣上使用沒有刻度的直尺和圓規(guī)兩種.限用直尺和圓規(guī)來完成的作圖方法，叫做尺規(guī)作圖法.最簡單的尺規(guī)作圖有如下三條：⑴經(jīng)過兩已知點可以畫一條直線；⑵已知圓心和半徑可以作一圓；⑶兩已知直線；一已知直線和一已知圓；或兩已知圓，如果相交，可以求出交點；以上三條，叫做作圖公法.用直尺可以畫出第一條公法所說的直線；用圓規(guī)可以作出第二條公法所說的圓；用直尺和圓規(guī)可以求得第三條公法所說的交點.一個作圖題，不管多么復(fù)雜，如果能反復(fù)應(yīng)用上述三條作圖公法，經(jīng)過有限的次數(shù)，作出適合條件的圖形，這樣的作圖題就叫做尺規(guī)作圖可能問題；否則，就稱為尺規(guī)作圖不能問題.歷史上，最著名的尺規(guī)作圖不能問題是：⑴三等分角問題：三等分一個任意角；⑵倍立方問題：作一個立方體，使它的體積是已知立方體的體積的兩倍；⑶化圓為方問題：作一個正方形，使它的面積等于已知圓的面積.這三個問題后被稱為“幾何作圖三大問題”.直至1837年，萬芝爾（PierreLaurentWantzel）首先證明三等分角問題和立方倍積問題屬尺規(guī)作圖不能問題；1882年，德國數(shù)學(xué)家林德曼（FerdinandLindemann）證明π是一個超越數(shù)（即π是一個不滿足任何整系數(shù)代數(shù)方程的實數(shù)），由此即可推得根號π(即當圓半徑時所求正方形的邊長）不可能用尺規(guī)作出，從而也就證明了化圓為方問題是一個尺規(guī)作圖不能問題.若干著名的尺規(guī)作圖已知是不可能的，而當中很多不可能證明是利用了由19世紀出現(xiàn)的伽羅華理論.盡管如此，仍有很多業(yè)余愛好者嘗試這些不可能的題目，當中以化圓為方及三等分任意角最受注意.數(shù)學(xué)家UnderwoodDudley曾把一些宣告解決了這些不可能問題的錯誤作法結(jié)集成書.還有另外兩個著名問題：⑴正多邊形作法·只使用直尺和圓規(guī)，作正五邊形.·只使用直尺和圓規(guī)，作正六邊形.·只使用直尺和圓規(guī)，作正七邊形——這個看上去非常簡單的題目，曾經(jīng)使許多著名數(shù)學(xué)家都束手無策，因為正七邊形是不能由尺規(guī)作出的.·只使用直尺和圓規(guī)，作正九邊形，此圖也不能作出來，因為單用直尺和圓規(guī)，是不足以把一個角分成三等份的.·問題的解決：高斯，大學(xué)二年級時得出正十七邊形的尺規(guī)作圖法，并給出了可用尺規(guī)作圖的正多邊形的條件：尺規(guī)作圖正多邊形的邊數(shù)目必須是2的非負整數(shù)次方和不同的費馬素數(shù)的積，解決了兩千年來懸而未決的難題.⑵四等分圓周只準許使用圓規(guī)，將一個已知圓心的圓周4等分．這個問題傳言是拿破侖·波拿巴出的，向全法國數(shù)學(xué)家的挑戰(zhàn).\o"返回頁首"尺規(guī)作圖的相關(guān)延伸：用生銹圓規(guī)(即半徑固定的圓規(guī))作圖1.只用直尺及生銹圓規(guī)作正五邊形2.生銹圓規(guī)作圖，已知兩點、，找出一點使得.3.已知兩點、，只用半徑固定的圓規(guī)，求作使是線段的中點.4.尺規(guī)作圖，是古希臘人按“盡可能簡單”這個思想出發(fā)的，能更簡潔的表達嗎？順著這思路就有了更簡潔的表達.10世紀時，有數(shù)學(xué)家提出用直尺和半徑固定的圓規(guī)作圖.1672年，有人證明：如果把“作直線”解釋為“作出直線上的2點”，則凡是尺規(guī)能作的，單用圓規(guī)也能作出！從已知點作出新點的幾種情況：兩弧交點、直線與弧交點、兩直線交點，在已有一個圓的情況下，則凡是尺規(guī)能作的，單用直尺也能作出！.五種基本作圖：初中數(shù)學(xué)的五種基本尺規(guī)作圖為：1.做一線段等于已知線段2.做一角等于已知角3.做一角的角平分線4.過一點做一已知線段的垂線5.做一線段的中垂線下面介紹幾種常見的尺規(guī)作圖方法：⑴軌跡交點法：解作圖題的一種常見方法.解作圖題常歸結(jié)到確定*一個點的位置.如果這兩個點的位置是由兩個條件確定的，先放棄其中一個條件，則這個點的位置就不確定而形成一個軌跡；若改變放棄另一個條件，這個點就在另一條軌跡上，故此點便是兩個軌跡的交點.這個利用軌跡的交點來解作圖題的方法稱為軌跡交點法，或稱交軌法、軌跡交截法、軌跡法.電信部門要修建一座電視信號發(fā)射塔，如下圖，按照設(shè)計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)、的距離必須相等，到兩條高速公路、的距離也必須相等，發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置？這是一道實際應(yīng)用題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，根據(jù)題意知道，點應(yīng)滿足兩個條件，一是在線段的垂直平分線上；二是在兩條公路夾角的平分線上，所以點應(yīng)是它們的交點.⑴作兩條公路夾角的平分線或；⑵作線段的垂直平分線；則射線，與直線的交點，就是發(fā)射塔的位置.在平面直角坐標系中，點的坐標是，，是坐標原點，在直線上求一點，使是等腰三角形，這樣的點有幾個？首先要清楚點需滿足兩個條件，一是點在上；二是必須是等腰三角形.其次，尋找點要分情況討論，也就是當時，以點為圓心，為半徑畫圓，與直線有兩個點、；當時，以點為圓心，為半徑畫圓，與直線無交點；當時，作的垂直平分線，與直線有一交點，所以總計這樣的點有3個.設(shè)與相離，半徑分別為與，求作半徑為的圓，使其與及外切.設(shè)是符合條件的圓，即其半徑為，并與及外切，顯然，點是由兩個軌跡確定的，即點既在以為圓心以為半徑的圓上，又在以為圓心以為半徑的圓上，因此所求圓的圓心的位置可確定.若與相距為，當時，該題無解，當有唯一解；當時，有兩解.以當與相距為，時為例：⑴作線段，.⑵分別以，為圓心，以，為半徑作圓，兩圓交于兩點.⑶連接，，分別交以為半徑的于、兩點.⑷分別以為圓心，以為半徑作圓.∴即為所求.【思考】若將例3改為：“設(shè)與相離，半徑分別為與，求作半徑為的圓，使其與內(nèi)切，與外切.”又該怎么作圖？⑵代數(shù)作圖法：解作圖題時，往往首先歸納為求出*一線段長，而這線段長的表達式能用代數(shù)方法求出，然后根據(jù)線段長的表達式設(shè)計作圖步驟.用這種方法作圖稱為代數(shù)作圖法.只用圓規(guī)，不許用直尺，四等分圓周（已知圓心）.設(shè)半徑為.可算出其內(nèi)接正方形邊長為，也就是說用這個長度去等分圓周.我們的任務(wù)就是做出這個長度.六等分圓周時會出現(xiàn)一個的長度.設(shè)法構(gòu)造斜邊為，一直角邊為的直角三角形，的長度自然就出來了.具體做法：⑴隨便畫一個圓.設(shè)半徑為1.⑵先六等分圓周.這時隔了一個等分點的兩個等分點距離為.⑶以這個距離為半徑，分別以兩個相對的等分點為圓心，同向作弧，交于一點.（“兩個相對的等分點”其實就是直徑的兩端點啦！兩弧交點與“兩個相對的等分點”形成的是一個底為2，腰為的等腰三角形.可算出頂點距圓心距離就是.）⑷以的長度等分圓周就可以啦！求作一正方形，使其面積等于已知的面積.設(shè)的底邊長為，高為，關(guān)鍵是在于求出正方形的邊長，使得，所以是與的比例中項.已知：在中，底邊長為，這個底邊上的高為，求作：正方形，使得：作法：⑴作線段；⑵在的延長線上取一點，使得；⑶取中點，以為圓心，為半徑作；⑷過作，交于，⑸以為一邊作正方形.正方形即為所求.在已知直線上求作一點，使得過作已知半徑為的的切線，其切線長為.先利用代數(shù)方法求出點與圓心的距離，再以為圓心，為半徑作圓，此圓與直線的交點即為所求.⑴作，使得：，，.⑵以為圓心，為半徑作圓.若此圓與直線相交，此時有兩個交點，.，即為所求.若此圓與直線相切，此時只有一個交點.即為所求.若此圓與直線相離，此時無交點.即不存在這樣的點使得過作已知半徑為的的切線，其切線長為.⑶旋轉(zhuǎn)法作圖：有些作圖題，需要將*些幾何元素或圖形繞*一定點旋轉(zhuǎn)適當角度，以使已知圖形與所求圖形發(fā)生聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)作圖途徑.已知：直線、、，且.求作：正，使得、、三點分別在直線、、上.假設(shè)是正三角形，且頂點、、三點分別在直線、、上.作于，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，置于的位置，此時點的位置可以確定.從而點也可以確定.再作，點又可以確定，故符合條件的正三角形可以作出.作法：⑴在直線上取一點，過作于點；⑵以為一邊作正三角形；⑶過作，交直線于；⑷以為圓心，為半徑作弧，交于(使與在異側(cè)).⑸連接、、得.即為所求.已知：如圖，為角平分線上一點.求作：，使得，，且在上，在上.⑴過作于.⑵過作直線;⑶在直線上取一點，使得(或)；⑷過(或)作（或），交于(或)點；⑸連接(或)，過作(或)交于（或）點.連接(或).則(或)即為所求.⑷位似法作圖：利用位似變換作圖，要作出滿足*些條件的圖形，可以先放棄一兩個條件，作出與其位似的圖形，然后利用位似變換，將這個與其位似得圖形放大或縮小，以滿足全部條件，從而作出滿足全部的條件.已知：一銳角.求作:一正方形，使得、在邊上，在邊上，在邊上.先放棄一個頂點在邊上的條件，作出與正方形位似的正方形，然后利用位似變換將正方形放大（或縮小）得到滿足全部條件的正方形.作法：⑴在邊上任取一點，過作于⑵以為一邊作正方形，且使在的延長線上.⑶作直線交于.⑷過分別作交于；作交于.⑸過作交于.則四邊形即為所求.⑸面積割補法作圖：對于等積變形的作圖題，通常在給定圖形或*一確定圖形上割下一個三角形，再借助平行線補上一個等底等高的另一個三角形，使面積不變，從而完成所作圖形.如圖，過的底邊上一定點，，求作一直線，使其平分的面積.因為中線平分的面積，所以首先作中線，假設(shè)平分的面積，在中先割去，再補上.只要，則和就同底等高，此時它們的面積就相等了.所以就平分了的面積.作法：⑴取中點，連接;⑵過作交于；⑶過、作直線.直線即為所求.如圖：五邊形可以看成是由一個直角梯形和一個矩形構(gòu)成.⑴請你作一條直線，使直線平分五邊形的面積；⑵這樣的直線有多少條？請你用語言描述出這樣的直線.⑴取梯形的中位線的中點，再取矩形對角線的交點，則經(jīng)過點，的直線即為所求；⑵這樣的直線有無數(shù)條.設(shè)⑴中的直線交于，交于，過線段中點，且與線段、均有交點的直線均可平分五邊形的面積.(****)如圖，點將線段分成兩部分，如果，則稱點為線段的黃金分割點．*研究小組在進行課題學(xué)習(xí)時，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線將一個面積為的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為，，如果，則稱直線為該圖形的黃金分割線．⑴研究小組猜想：在中，若點為邊上的黃金分割點(如圖)，則直線是的黃金分割線．你認為對嗎？為什么？⑵請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？⑶研究小組在進一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點任作一條直線交于點，再過點作直線，交于點，連接(如圖)，則直線也是的黃金分割線．請你說明理由．⑷如圖，點是的邊的黃金分割點，過點作，交于點，顯然直線是的黃金分割線．請你畫一條的黃金分割線，使它不經(jīng)過各邊黃金分割點．AACB圖1ADB圖2CADB圖3CFEFCBDEA圖4⑴直線是的黃金分割線．理由如下：設(shè)的邊上的高為．，，，∴，