一階線性微分方程教學(xué)設(shè)計(jì)課件

優(yōu)選一階線性微分方程優(yōu)選授課方案課件優(yōu)選一階線性微分方程優(yōu)選授課方案課件優(yōu)選一階線性微分方程優(yōu)選授課方案課件一階線性微分方程授課方案課程名稱常微分方程授課內(nèi)容第一章第四節(jié)授課時(shí)間約8分鐘授課題目一階線性微分方程所屬學(xué)科數(shù)學(xué)課程種類數(shù)學(xué)專業(yè)課適用對(duì)象連續(xù)教育學(xué)生使用教具投影儀授課背景一階線性微分方程是一類特別重要的微分方程，它擁有完滿的理論基礎(chǔ)和豐富的實(shí)質(zhì)背景。關(guān)于一階線性常微分方程的學(xué)習(xí)，重點(diǎn)要掌握它的求解方法：常數(shù)變易法，它是一種特別有效且重要的求解方法。授課目的（1）認(rèn)識(shí)一階線性微分方程形式（2）熟練掌握求一階非齊次線性微分方程解的常數(shù)變易法授課重點(diǎn)和難點(diǎn)常數(shù)變易法思路設(shè)計(jì)提問(wèn)一階線性微分方程的定義一階線性非齊次微分方程解法舉例小結(jié)方法手段授課方法：?jiǎn)⑹臼绞谡n法授課手段：多媒體輔助授課所用教材《微分方程》東北師范大學(xué)微分方程教研室，第二版，高等教育初版社授課內(nèi)容第四節(jié)一階線性微分方程我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了變量可分別方程，和齊次型方程的解法。一階線性微分方程是一類特別重要的微分方程，它擁有完滿的理論基礎(chǔ)和豐富的實(shí)質(zhì)背景.本節(jié)課我們將主要來(lái)學(xué)習(xí)一階線性微分方程的定義，以及它的求解方法.一、定義一階線性微分方程的形式是dyp(x)yf(x)（1）dxf(x)稱為“自由項(xiàng)”.若是f(x)0,即dyp(x)y0（2）dx稱為一階線性齊次方程.若是f(x)不恒為零,則稱(1)為一階線性非齊次方程.注：線性是指關(guān)于未知函數(shù)y和它的導(dǎo)數(shù)是線性的.二、一階線性微分方程的通解先考慮線性齊次方程(2),注意這里“齊次”的含意與1.3節(jié)中的不一樣,這里指的是在(1)中不含“自由項(xiàng)”f(x),即f(x)0.顯然,(2)是一個(gè)變量可分別方程,由1.2節(jié)易知它的通解是yp(x)dx（3）Ce問(wèn)題：如何求解一階線性非齊次微分方程呢？觀察方程(1)、(2)發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)方程是既有聯(lián)系又有差異.兩式左端是相同的，而右端是不一樣樣的.因此猜想這兩個(gè)方程的解也應(yīng)該有必然的聯(lián)系和差異.并且，還想利用齊次方程(2)的通解(3)去求非齊次方程(1)的通解.顯然，齊次方程(2)的通解不是非齊次方程(1)的通解.因?yàn)?，若是?3)式直接代入(1)式，則會(huì)有f(x)等于0.要使(1)式恒等，(1)式左邊必定要多出一項(xiàng)x的函數(shù)與右邊的f(x)相對(duì)應(yīng).依照函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式和(3)式的特點(diǎn)，若是把(3)式變換成：兩個(gè)函數(shù)的乘積，則有可能多出一項(xiàng).而(3)式是由常數(shù)C和指數(shù)函數(shù)兩部分組成，要使(3)式變換成兩個(gè)函數(shù)的乘積，最簡(jiǎn)單的變換就是把C變換成函數(shù)C(x).猜想非齊次方程(1)有形如yC(x)ep(x)dx（4）通解,其中C(x)是待定函數(shù).將(4)代入(1),有C(x)ep(x)dxp(x)dxp(x)dxf(x)p(x)C(x)ep(x)C(x)e即C(x)p(x)dxf(x)e積分后得C(x)p(x)dxCf(x)edx把上式代入(4),獲取(1)的通解公式為yp(x)dxp(x)dxp(x)dxCeef(x)edx.仔細(xì)觀察非齊次方程(1)的通解公式,我們可以發(fā)現(xiàn)它由兩項(xiàng)組成.第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)對(duì)應(yīng)齊次方程的通解,第二項(xiàng)是非齊次方程的一個(gè)特解.結(jié)論：一階線性非齊次方程(1)的通解,等于它所對(duì)應(yīng)的齊次方程(2)的通解與非齊次方程(1)的一個(gè)特解之和.例1求解方程dyyx2.dxx解顯然,這是一個(gè)一階線性非齊次方程.利用常數(shù)變易法，先求對(duì)應(yīng)齊次方程

dy

ydx

x的通解為yCx.由常數(shù)變易法

,

令y

C(x)x為原方程的解，

代入原方程有C(x)x

C(x)

C(x)

x2,即C(x)

x,

積分得C(x)

12

x2

C

,代回后得原