2023學(xué)年完整公開課版垂直平分線

八年級(jí)上冊(cè)13.1.2

線段的垂直平分線的性質(zhì)

ACBA’B’C’NM思考：如圖，△ABC與△A‘B’C‘關(guān)于直線MN對(duì)稱，點(diǎn)A’，B’，C’分別為點(diǎn)ABC的對(duì)稱點(diǎn)，線段AA‘，BB’，CC‘與直線MN有什么關(guān)系？P∠MPA=∠MPA’=90°AP=PA’對(duì)稱軸所在直線經(jīng)過對(duì)稱點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線ACBA’B’C’NM如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線lA‘A軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線AB線段的垂直平分線的性質(zhì)PA=PBP1P1A=P1B……命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。PMNC動(dòng)手操作：直線MN垂直平分線段AB；在MN上任取一點(diǎn)P，連結(jié)PA、PB；量一量：PA、PB的長(zhǎng)，你能發(fā)現(xiàn)什么？由此你能得到什么規(guī)律？證明：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。ABPMNCPA=PB

直線MN⊥AB,垂足為C,

且AC=CB.

已知：如圖，點(diǎn)P在MN上.求證：證明：∵M(jìn)N⊥AB∴∠PCA=∠PCB

在ΔPAC和ΔPBC中，

AC=BC∠PCA=∠PCBPC=PC∴ΔPAC≌ΔPBC（SAS）∴PA=PB

線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。線段的垂直平分線性質(zhì)：ABPMNCPA=PB點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

反過來，如果PA=PB，那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢？

（線段的垂直平分線性質(zhì)逆命題）ABPC

反過來，如果PA=PB，那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢？PA=PB點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上?

與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。二、逆定理：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。你能證明這個(gè)命題嗎？

線段的垂直平分線一、性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。PA=PB點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

你能根據(jù)上述定理和逆定理，說出線段的垂直平分線的集合定義嗎？問三、

線段的垂直平分線的集合定義：線段的垂直平分線可以看作是與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD是BC的垂直平分線，∴AB=AC．∵點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，∴AC=CE．課堂練習(xí)練習(xí)如圖，AD⊥BC，BD=DC，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？AB+BD與DE有什么關(guān)系？ABCDE課堂練習(xí)練習(xí)如圖，AD⊥BC，BD=DC，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？AB+BD與DE有什么關(guān)系？ABCDE解：∴AB=AC=CE．∵

AB=CE，BD=DC，∴AB+BD=CD+CE．即AB+BD=DE．解：∵AB=AC，∴點(diǎn)A在BC的垂直平分線．∵

MB=MC，∵點(diǎn)M在BC的垂直平分線上，∴直線AM是線段BC的垂直平分線．課堂練習(xí)

練習(xí)3

如圖，AB=AC，MB=MC．直線AM是線段

BC的垂直平分線嗎？ABCDM小結(jié)：

一，線段的垂直平分線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

二、逆定理：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。11.3角的平分線ODEABPC定理1

在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。定理2

到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合

12.1線段的垂直平分線定理線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。逆定理和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合ABMNP點(diǎn)的集合是一條射線點(diǎn)的集合是一條直線例1：課本P62尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線。AB.CDEK·已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C，如圖：求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C。作法：（1）任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁。（2）以點(diǎn)C為圓心，CK長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E。（3）分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F.F(4)作直線。直線CF就是所求作的垂線。想一想，為什么直線CF就是所求作的垂線？（1）為什么任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K與點(diǎn)C在直線兩旁？尺規(guī)作圖如何用尺規(guī)作圖的方法經(jīng)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線？（2）為什么要以大于的長(zhǎng)為半徑作??？（3）為什么直線CF就是所求作的垂線？CABDKFE

例1如圖，已知線段AB，用直尺和圓規(guī)作AB的垂直平分線.AB⑴分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點(diǎn)；⑵作直線CD.CD即為所求的直線.CD你還有其他的方法作一條線段的垂直平分線嗎?二、學(xué)習(xí)新知三、解決問題練習(xí)：見教材第63頁例2.例2如圖，△ABC和△AˊBˊCˊ是兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形，請(qǐng)作出它的對(duì)稱軸．例2已知:如圖,在ΔABC中,邊AB，BC的垂直平分線交于P.求證：PA=PB=PC;BACMNM’N’PPA=PB=PCPB=PC點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上PA=PB點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上分析：結(jié)論：三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。你能依據(jù)例1得到什么結(jié)論？例2已知:如圖,在ΔABC中,邊AB，BC的垂直平分線交于P.求證：PA=PB=PC;證明：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線MN上，∴PA=PB（？）.同理PB=PC.∴PA=PB=PC.BACMNM’N’PBAC13.1線段的垂直平分線1、求作一點(diǎn)P，使它和已△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等.實(shí)際問題數(shù)學(xué)化pPA=PB=PC實(shí)際問題114.1線段的垂直平分線2、如圖，在直線L上求作一點(diǎn)P，使PA=PB.LAB實(shí)際問題數(shù)學(xué)化實(shí)際問題2pPA=PB數(shù)學(xué)問題源于生活實(shí)踐，反過來數(shù)學(xué)又為生活實(shí)踐服務(wù)

問題探討：1、如圖，在ΔABC中，AD⊥BC于D，

AB+BD=DC。試問：∠B與∠C是什么關(guān)系？OAB.C.D2、在V型公路（∠AOB）內(nèi)部，有兩個(gè)村莊C、D。你能選擇一個(gè)紡織廠的廠址P，使P到V型公路的距離相等，且使C、D兩村的工人上下班的路程一樣嗎？聯(lián)想與歸納

今天學(xué)習(xí)了線段的中垂線的性質(zhì)、逆定理及集合定義，你能由此聯(lián)想到前面學(xué)過的什么知識(shí)與此類似嗎？12.3角的平分線ODEABPC

在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。

到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)