現(xiàn)代控制理論與汽車(chē)控制課件

第七章現(xiàn)代控制理論與汽車(chē)控制7.1狀態(tài)空間模型7.2車(chē)輛橫向控制模型7.3最優(yōu)控制問(wèn)題7.4車(chē)輛橫向最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)一、基本概念

1.狀態(tài)：系統(tǒng)的狀態(tài)就是系統(tǒng)過(guò)去、現(xiàn)在和將來(lái)的狀況。系統(tǒng)的狀態(tài)可以定義為信息的集合。表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的信息。7.1狀態(tài)空間模型2.狀態(tài)變量

系統(tǒng)的狀態(tài)變量是指可以完全表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的最少個(gè)數(shù)的一組變量x1、x2、…、xn,并且滿足下列兩個(gè)條件:(1)在任何時(shí)刻t=t0,這組變量的值x1(t0)、x2(t0)

、…、xn(t0)都表示系統(tǒng)在該時(shí)刻的狀態(tài);(2)當(dāng)系統(tǒng)在t≥t0的輸入和上述初始狀態(tài)確定的時(shí)候,狀態(tài)變量應(yīng)完全能表征系統(tǒng)在將來(lái)的行為。

3.狀態(tài)矢量

設(shè)一個(gè)系統(tǒng)有n個(gè)狀態(tài)變量x1、x2、…、xn,用這n個(gè)狀態(tài)變量作為分量所構(gòu)成的矢量X,稱(chēng)為該系統(tǒng)的狀態(tài)矢量。

4.狀態(tài)空間

狀態(tài)矢量所有可能值的集合稱(chēng)為狀態(tài)空間。系統(tǒng)在任一時(shí)刻的狀態(tài)都可用狀態(tài)空間中的一點(diǎn)表示。

5.狀態(tài)方程

描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與系統(tǒng)輸入之間關(guān)系的一階方程組,稱(chēng)為狀態(tài)方程。

例1某機(jī)械動(dòng)力系統(tǒng)如圖所示質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的微分方程式為選擇位移x(t)=x1(t)和速度

(t)=x2(t)作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，可把上述方程化為兩個(gè)一階微分方程，即若用矢量矩陣的形式表示,則可寫(xiě)成

寫(xiě)成矢量矩陣形式的標(biāo)準(zhǔn)型,即

系統(tǒng)的狀態(tài)方程6.輸出方程

在指定系統(tǒng)輸出的情況下,該輸出與狀態(tài)變量間的函數(shù)關(guān)系式,稱(chēng)為系統(tǒng)的輸出方程。

例如：在上述的系統(tǒng)中,指定x1=x作為輸出,一般輸出符號(hào)用y表示,則有y=x1,寫(xiě)成矢量矩陣形式為

寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)式為

7.狀態(tài)空間表達(dá)式

狀態(tài)方程和輸出方程構(gòu)成對(duì)一個(gè)系統(tǒng)性能的完整描述,稱(chēng)為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。

若系統(tǒng)是r×m×n維空間,即

若是線性系統(tǒng),可寫(xiě)成

A-系數(shù)矩陣n

nB-控制矩陣n

rC-輸出矩陣m

nD-直接傳遞矩陣m

r

式中,8.狀態(tài)空間表達(dá)式的系統(tǒng)方框圖

狀態(tài)空間表達(dá)式的系統(tǒng)方框圖如圖所示

二、系統(tǒng)傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間表達(dá)式由系統(tǒng)的高階微分方程式或傳遞函數(shù),求出相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。

若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

正常情況下，n≥m。1.能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)

寫(xiě)成狀態(tài)方程輸出方程例已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

試求出其對(duì)應(yīng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型。

解:

首先把G(s)分母中s最高次項(xiàng)系數(shù)變成1,用2除G(s)的分母與分子,得直接寫(xiě)出系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型:

運(yùn)動(dòng)學(xué)：從幾何的角度（指不涉及物體本身的物理性質(zhì)和加在物體上的力)描述和研究物體位置隨時(shí)間的變化規(guī)律的力學(xué)分支動(dòng)力學(xué)：理論力學(xué)的一個(gè)分支學(xué)科，它主要研究作用于物體的力與物體運(yùn)動(dòng)的關(guān)系。動(dòng)力學(xué)的研究對(duì)象是運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速的宏觀物體區(qū)別：動(dòng)力學(xué)，涉及運(yùn)動(dòng)又涉及受力情況的，或者說(shuō)跟物體質(zhì)量有關(guān)系的問(wèn)題。常與牛頓第二定律或動(dòng)能定理、動(dòng)量定理等式子中含有m的學(xué)問(wèn)。含有m說(shuō)明要研究物體之間的的相互作用（就是力）。運(yùn)動(dòng)學(xué)，跟質(zhì)量與受力無(wú)關(guān)，只研究速度、加速度、位移、位置、角速度等參量，常以質(zhì)點(diǎn)為模型。7.2車(chē)輛橫向控制模型汽車(chē)橫向（側(cè)向）運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型：考慮兩輪模型：建立側(cè)偏角β與前后輪轉(zhuǎn)向角的關(guān)系高速時(shí)，將車(chē)輪速度方向認(rèn)為是車(chē)輪方向的假設(shè)不成立，需要用動(dòng)力學(xué)模型代替運(yùn)動(dòng)學(xué)模型汽車(chē)橫向（側(cè)向）運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型：假設(shè)車(chē)輛為一單質(zhì)量剛體表示，該剛體在外力及外力矩作用下具有道路平面運(yùn)動(dòng)的3個(gè)自由度：縱向運(yùn)動(dòng)、側(cè)向運(yùn)動(dòng)及橫擺運(yùn)動(dòng)。沿y軸應(yīng)用牛頓第二定律，側(cè)向運(yùn)動(dòng)和橫擺運(yùn)動(dòng)分別對(duì)應(yīng)側(cè)向平移運(yùn)動(dòng)方程和橫擺動(dòng)力學(xué)方程。Vy：側(cè)向位置Ψ：橫擺角K：車(chē)輪的側(cè)偏剛度參考：汽車(chē)?yán)碚?/p>

若定義系統(tǒng)的狀態(tài)量為

則狀態(tài)空間描述可寫(xiě)成

返回最優(yōu)控制，顧名思義，就是最好的控制，好的標(biāo)準(zhǔn)是什么？在最優(yōu)控制中用一個(gè)綜合的目標(biāo)函數(shù)或性能指標(biāo)來(lái)衡量。最優(yōu)控制：靜態(tài)最優(yōu)控制給定條件下，確定系統(tǒng)的一種

動(dòng)態(tài)最優(yōu)控制最優(yōu)控制規(guī)律，使系統(tǒng)相應(yīng)的性能指標(biāo)為最優(yōu)。

7.3最優(yōu)控制問(wèn)題靜態(tài)最優(yōu)控制——最優(yōu)化問(wèn)題的解不隨時(shí)間變化，

通常又稱(chēng)為參數(shù)最優(yōu)化問(wèn)題。即：最優(yōu)控制變量與時(shí)間t沒(méi)關(guān)系或說(shuō)在所研究的時(shí)間區(qū)域內(nèi)為常數(shù)。

目標(biāo)函數(shù)：多元的普通函數(shù)。

最優(yōu)解：古典微分法對(duì)普通函數(shù)求極值方法完成。

靜態(tài)最優(yōu)化方法：

a.解析法（間接法）無(wú)約束條件有約束條件

黃金分割法（0.618法）b.數(shù)值計(jì)算法（直接法)

區(qū)間消去法插值法

（一維搜索）

爬山法步長(zhǎng)加速法

（多維搜索法）

方向加速法c.以梯度法為基礎(chǔ)的方法d.網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)化方法動(dòng)態(tài)最優(yōu)控制——最優(yōu)化問(wèn)題的解u（t）隨時(shí)間變化特點(diǎn)：受控對(duì)象：動(dòng)態(tài)系統(tǒng)所有變量：時(shí)間的函數(shù)

最優(yōu)解：古典變分法求泛函的極值問(wèn)題

a.動(dòng)態(tài)最優(yōu)控制緒論及最優(yōu)控制問(wèn)題的提法b.最優(yōu)控制問(wèn)題的變分法c.最小值原理及應(yīng)用d.線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題e.動(dòng)態(tài)規(guī)劃及應(yīng)用最優(yōu)控制屬于現(xiàn)代控制技術(shù)的核心內(nèi)容，是現(xiàn)代理論的一個(gè)研究熱點(diǎn)和中心話題。現(xiàn)代控制理論：以多變量系統(tǒng)控制、最優(yōu)控制、系統(tǒng)辯識(shí)為主要內(nèi)容，最優(yōu)控制發(fā)展早。最優(yōu)化技術(shù)要解決的主要問(wèn)題：研究和解決如何從一切可能的方案中尋找最優(yōu)方案，其間包括以下任務(wù)

1）根據(jù)所提出的最優(yōu)化問(wèn)題，建立最優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)模型。確定變量，列出約束條件，確定目標(biāo)函數(shù)（性能指標(biāo)）

2）

模型分析，選擇合適的最優(yōu)化求解方法。

3）根據(jù)選定的最優(yōu)化算法，編程，求解。

最優(yōu)化的基本問(wèn)題：

就是尋找一個(gè)最優(yōu)的控制方案或控制規(guī)律，使所研究的對(duì)象（或系統(tǒng)）能最優(yōu)地達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)。

例如：1溫度控制系統(tǒng)，如果出現(xiàn)干擾而產(chǎn)生偏差，用什么方法最快消除偏差而使系統(tǒng)恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)。

2雷達(dá)高炮隨動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)發(fā)現(xiàn)敵機(jī)后，如何以最快速度跟蹤目標(biāo)而將敵擊落？

3電梯控制：如何以最快速度平穩(wěn)到達(dá)地面

以上都涉及到：依據(jù)各種不同的研究對(duì)象以及人們預(yù)期達(dá)到的目的，尋求一個(gè)最優(yōu)控制規(guī)律u（t）的問(wèn)題，這就是最優(yōu)控制的基本問(wèn)題的發(fā)展過(guò)程。建立數(shù)學(xué)模型是求解最優(yōu)控制問(wèn)題的第一步建模過(guò)程包括：確定變量（輸入變量，輸出變量，控制變量）列出約束條件

建立目標(biāo)函數(shù)

數(shù)學(xué)模型表征了受控動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律。3x

最優(yōu)控制中的數(shù)學(xué)模型

狀態(tài)變量

控制變量

通常又表征為（線性系統(tǒng)）線性時(shí)變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)A(t)，B(t)：時(shí)變矩陣

A，B：定常矩陣1）數(shù)學(xué)模型的表征：狀態(tài)方程表達(dá)式：

a)變量的邊界條件，即系統(tǒng)的初態(tài)和終態(tài)，即

確定：，。

一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程，歸根到底，是狀態(tài)空間中的狀態(tài)由初態(tài)轉(zhuǎn)移到

的過(guò)程

實(shí)際系統(tǒng)，

都有規(guī)定的取值范圍，它對(duì)應(yīng)于M維控制空間中的某一個(gè)集合，的每一個(gè)取值對(duì)應(yīng)于中的一個(gè)元素容許控制即u(t)受約束：極小值原理求解可任意取值

經(jīng)典變分法求解。

b）容許控制2)約束條件不同的性能指標(biāo)，采用不同的控制作用,性能指標(biāo)J不同。

J是控制u(t)的函數(shù)，通常表示為：

可以通過(guò)不同的控制來(lái)完成，控制效果的好壞，可通過(guò)能否達(dá)到所規(guī)定的目標(biāo)函數(shù)來(lái)判別。目標(biāo)函數(shù)對(duì)不同的問(wèn)題，有不同的表征：如：時(shí)間最短，燃料最少，成本最低等。(3)目標(biāo)函數(shù)(性能指標(biāo)，性能泛函，目標(biāo)泛函)：是衡量“控制作用”效果的性能指標(biāo)。為了實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)過(guò)程中狀態(tài)從

的幾種形式：<1>

積分型性能指標(biāo)：

<2>末值型性能指標(biāo)：<3>綜合型性能指標(biāo)：

特殊情況，二次型性能指標(biāo)：

如果所研究的系統(tǒng)是線性的，且性能指標(biāo)為狀態(tài)變量和控變量的二次型函數(shù)，則這樣的最優(yōu)控制問(wèn)題稱(chēng)為線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題。

當(dāng)性能指標(biāo)泛函具有形為時(shí)，稱(chēng)為二次型性能指標(biāo)。其中S是半正定常數(shù)陣，Q(t)是半正定時(shí)變矩陣。R(t)是正定時(shí)變矩陣。S，Q(t)，R(t)多選用對(duì)角線矩陣。

性能泛函為

尋求最優(yōu)控制，使性能泛函在的情況下取極小值。LQ問(wèn)題（線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題）:為了求出最優(yōu)控制解。我們必需求解黎卡提(Riccati)方程方程，該方程的形式為：

利用該方程解出P后，那么最優(yōu)控制的解為

其中，MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中提供lqr()函數(shù)，可依照給定的加權(quán)矩陣來(lái)求解K和P[K，P]=lqr(A，B，Q，R)

其中(A，B)為給定的對(duì)象狀態(tài)方程模型，(Q，R)分別為加權(quán)矩陣Q和R，返回的向量K為狀態(tài)反饋向量，P為里卡拉代數(shù)方程的解。

LQRLinear-quadraticregulator（調(diào)節(jié)）designforstatespacesystems.

[K,S,E]=LQR(SYS,Q,R,N)calculatestheoptimalgainmatrixK

suchthat:*Foracontinuous-timestate-spacemodelSYS,thestate-feedbacklawu=-Kxminimizesthecostfunction

J=Integral{x'Qx+u'Ru+2*x'Nu}dt

subjecttothesystemdynamicsdx/dt=Ax+Bu

ThematrixNissettozerowhenomitted.AlsoreturnedarethethesolutionSoftheassociatedalgebraicRiccatiequationandtheclosed-loopeigenvaluesE=EIG(A-B*K).

應(yīng)用Matlab解LQ問(wèn)題1[K,P,L]=lqr(sys,Q,R)K:狀態(tài)反饋增益陣P:黎卡提(Riccati)矩陣代數(shù)方程的解L:閉環(huán)系統(tǒng)的特征值2[K,P,L]=lqr(A,B,Q,R)sys:A,BMatlab在最優(yōu)控制中的應(yīng)用

[K,S,E]=LQR(A,B,Q,R,N)isanequivalentsyntaxforcontinuous-timemodelswithdynamicsdx/dt=A