T-模與分解定理

第三章

T-模與分解定理一.T-模(三角模)的概念前面介紹了模糊集定義的各種拓廣形式,本節(jié)是對模糊集運算進(jìn)行拓廣,就是將模糊集的并、交運算拓廣到一般的t-模、s-模。1.從西瓜問題談起

考慮一堆西瓜,定義西瓜為“里紅且外綠”的水果,這里“紅”與“綠”是模糊概念,從而這里的“西瓜”也是一個模糊概念。假設(shè)某水果里紅的程度是0.5,外綠的程度是0.8.它隸屬于西瓜的程度如何?

如果使用前述模糊集的交運算定義,則這個水果屬于“西瓜”的程度0.5∧0.8=0.5.

然而,就直觀的感覺而言,里紅和外綠對于成為一個西瓜來說應(yīng)該是互相加強(qiáng)的“證據(jù)單元”,因此這個水果隸屬于“西瓜”的程度大于0.5才合理。

觀點：當(dāng)取兩個模糊集的交集時,可能希望較大的模糊集對結(jié)果產(chǎn)生影響,但如果模糊交集選用min,則可能較大的模糊集無法產(chǎn)生影響。

因為客觀世界現(xiàn)象錯綜復(fù)雜，“與”算子的選取也應(yīng)具體問題具體分析。所舉西瓜“證據(jù)強(qiáng)度”的例子說明min算子用此例不合適,但不能說采用別的算子就一定不合適。目前“與”算子除采用min外,還可以用有界積、乘積等算子。min算子作為“與”算子可用于許多論域,但不是所有論域,其它的“與”算子在一定條件下適用于一定的實際問題,數(shù)學(xué)的高度抽象性和客觀世界的復(fù)雜多樣性從來就是相輔相成的。T-模(triangularnorm,又稱為三角?；騎-范數(shù))首先出現(xiàn)在K.Menger于1942年發(fā)表的論文“Statisticalmetrics”(統(tǒng)計度量)中,在這里,T-模是作為經(jīng)典度量空間中三角不等式的自然推廣而提出的。60年代，B.Schweizer和A.Sklar重新嚴(yán)格定義了T-模(即現(xiàn)在通用的定義)和統(tǒng)計度量空間(現(xiàn)稱為概率度量空間),從而導(dǎo)致了這個領(lǐng)域的飛速發(fā)展。由于T-模較好地反映了“邏輯與”的性質(zhì),因此T-模作為一般的“模糊與”算子一致受到模糊邏輯學(xué)界的青睞。事實上,除了概率度量空間和模糊邏輯外,T-模還應(yīng)用于決策支持、函數(shù)方程、測度理論、博弈理論等許多領(lǐng)域.

2.T-模的定義定義

T-模是單位區(qū)間[0,1]上的二元運算T,它滿足交換律、結(jié)合律、單調(diào)性且?guī)в袉挝辉?.即T:[0,1][0,1][0,1]滿足以下條件：

x,y,z[0,1]有：(1)T(x,y)=T(y,x),(2)T(x,T(y,z))=T(T(x,y),z),(3)

當(dāng)y

z時,有T(x,y)T(x,z),(4)T(x,1)=x.容易證明:T(x,0)=0,

x[0,1].常用

表示T,并將T(x,y)記為x

y.

以下各式定義的

都是T-模:(1)x

y=min(x,y).(取小算子或G?delT-模)(2)x

y=xy.(積算子或乘積

T-模)(3)x

y=max(x+y1,0).

(LukasiewiczT-模)(4)

突變積或極端積當(dāng)x,y至少有一個是1時x

y取最小者,否則,x

y=0.(5)R0

T-模(王國俊)二.S-模(T-余模)的概念1.S-模的定義定義

S-模(三角余?；騎-余模)是單位區(qū)間[0,1]上的二元運算S,它滿足交換律、結(jié)合律、單調(diào)性且?guī)в袉挝辉?.即S:[0,1][0,1][0,1]滿足以下條件：

x,y,z[0,1]有:(1)S(x,y)=S(y,x),(2)S(x,S(y,z))=S(S(x,y),z),(3)

當(dāng)y

z時,有S(x,y)S(x