一類二維穩(wěn)態(tài)晶體控制方程的解析解

一類二維穩(wěn)態(tài)晶體控制方程的解析解

1穩(wěn)態(tài)晶體生長(zhǎng)的濃度傳遞過程材料科學(xué)是現(xiàn)代文明的三大支柱（能源、信息、材料）之一。它是人類文明的基礎(chǔ)。材料問題的核心之一是晶體學(xué)問題,晶體學(xué)通過對(duì)固態(tài)物質(zhì)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)及缺陷的系統(tǒng)研究,可以給出各種物質(zhì)的組成規(guī)律以及這些結(jié)構(gòu)和缺陷與各種物理性質(zhì)的關(guān)系。通過研究在各種物理?xiàng)l件下晶體生長(zhǎng)的規(guī)律,有可能生產(chǎn)出滿足人們所要求的各種性能的晶體。晶體生長(zhǎng)屬于材料科學(xué)并為其發(fā)展前沿。在21世紀(jì)中,由于人類社會(huì)發(fā)展的需要,會(huì)促使人們采用不同的理論方法與技術(shù)途徑來設(shè)計(jì)、合成與生產(chǎn)各種新型的功能晶體材料,從而將更加促使晶體生長(zhǎng)科學(xué)與技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展。晶體的生長(zhǎng)是原子從非晶態(tài)相(氣相,液相等)轉(zhuǎn)移到晶體的過程。它涉及熱擴(kuò)散,物質(zhì)擴(kuò)散和界面反應(yīng)等基元過程。一般說來,物質(zhì)擴(kuò)散速度比界面移動(dòng)速度及熱擴(kuò)散速度慢得多。故界面長(zhǎng)大速度的控制性因素為其前沿的物質(zhì)擴(kuò)散。而擴(kuò)散的本質(zhì)是引起濃度的變化。因此,研究濃度傳遞過程對(duì)晶體生長(zhǎng)有著重要的意義。穩(wěn)態(tài)晶體生長(zhǎng)的濃度傳遞過程可以描述為如下偏微分方程自由邊界值問題:其中是D0是擴(kuò)散系數(shù),vx,vz是晶體在兩個(gè)坐標(biāo)軸向的常值生長(zhǎng)速度,f(x)是以2l為周期的連續(xù)的周期函數(shù)。求出上述晶體生長(zhǎng)控制方程的解析解,有助于揭示穩(wěn)態(tài)晶體周期性增長(zhǎng)的本質(zhì)特性。為了使研究結(jié)果便于在相關(guān)學(xué)科應(yīng)用,本文將首先解一類更一般的偏微分方程。晶體生長(zhǎng)控制方程僅是其特例。2常系數(shù)二階線性常微分方程討論如下的偏微分方程其中D,v1,v2是常數(shù),D≥0,D與v1不同時(shí)為零。事實(shí)上,若D與v1同時(shí)等于零,則方程(5)是常系數(shù)二階線性常微分方程。f(x)是以2π為周期的連續(xù)的周期函數(shù)?？紤]到函數(shù)關(guān)于x的周期性,將C(x,z)展開成為關(guān)于x的復(fù)數(shù)形式的Fourier級(jí)數(shù):將(9)式及其相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)代入(5)式整理后得到:上式對(duì)一切x成立,從而對(duì)一切整數(shù)n(n=0,±1,±2,···)有這是一個(gè)極為簡(jiǎn)單的二階齊次線性常微分方程,它的特征方程是配方后,它可寫為3發(fā)達(dá)方式的認(rèn)定今研究(24)式右邊級(jí)數(shù)的收斂性,也就是研究級(jí)數(shù)的收斂性。因?yàn)閒(x)連續(xù),所以存在M>0使得對(duì)任何z>0,考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù)(27)是一個(gè)收斂的幾何級(jí)數(shù),而且級(jí)數(shù)(26)的項(xiàng)的絕對(duì)值均不大于級(jí)數(shù)(27)的對(duì)應(yīng)項(xiàng),所以這時(shí)對(duì)任何z>0,級(jí)數(shù)(26)對(duì)x絕對(duì)一致收斂,從而(24)式右邊的級(jí)數(shù)對(duì)x絕對(duì)一致收斂。如果v1=0,即|v1|>0,由于D≥0,Dn2+≥0,所以對(duì)任何z>0,考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù)從及正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂知級(jí)數(shù)(29)收斂。又因?yàn)榧?jí)數(shù)(26)的項(xiàng)的絕對(duì)值均小于級(jí)數(shù)(29)的對(duì)應(yīng)項(xiàng),所以這時(shí)對(duì)任何z>0,(24)式右邊的級(jí)數(shù)對(duì)x也絕對(duì)一致收斂。即無論何種情況,對(duì)z>0,(24)式右邊的級(jí)數(shù)對(duì)x都絕對(duì)一致收斂。在z=0時(shí),(24)式成為右邊是f(x)的Fourier級(jí)數(shù),由f(x)連續(xù)知(30)右邊的級(jí)數(shù)處處收斂于f(x)即z=0,(24)式右邊的級(jí)數(shù)處處收斂于C(x,0)。綜上所述知方程(5)的滿足條件(6)-(8)的解總存在,其表達(dá)式就是(24)。附注可以證明,當(dāng)z>0時(shí),級(jí)數(shù)關(guān)于x都絕對(duì)一致收斂,因而逐項(xiàng)求導(dǎo)是可行的。4周期函數(shù)的選取仍討論第二節(jié)的問題,假設(shè)周期為2l,即:滿足條件其中D,v1,v2是常數(shù),D≥0,D與v1不同時(shí)為零。f(x)是以2l為周期的連續(xù)的周期函數(shù)。若令及則有代入(31)得注意還有6穩(wěn)態(tài)胞晶周期變化方程解析本文通過將未知函數(shù)展開成復(fù)數(shù)形式的Fourier級(jí)數(shù),求出了一個(gè)偏微分方程的三角級(jí)數(shù)形式的解析解,并研究了其收斂性。最后,把結(jié)果用到穩(wěn)態(tài)晶體生長(zhǎng)的控制方程上,得到了穩(wěn)態(tài)晶體控制方程的解析解。表明沿晶體生長(zhǎng)方向濃度分布具有周期性震蕩衰減性質(zhì),而沿橫軸方向,濃度變化呈現(xiàn)為周期性一致變化。理論結(jié)果有助于揭示穩(wěn)態(tài)胞晶周期性增長(zhǎng)的本質(zhì)特性。致謝:北京科技大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院賈成廠教授曾提出有益的建議,特此致謝!考慮到(13)與(14)即2anbn=nv1,即得從而特征方程的根為代入(9)即得其中an,bn分別由(15)式和(16)式確定。由于只對(duì)n=1,2,···相加,所以bn可寫為另外,從an的結(jié)構(gòu)知,如果D>0,由于(nv1)2≥0,≥0,所以且F(t)連續(xù)。利用上節(jié)結(jié)果得5用上節(jié)結(jié)果求解現(xiàn)在討論穩(wěn)態(tài)晶體生長(zhǎng)控制方程(1)在條件(2)(3)(4)下的解析解。方程(1)可寫成利用上節(jié)結(jié)果得到解如下:從解(48)的形式可以看出,