Finsler-Hadwiger型不等式的繼續(xù)研討 論文

Finsler-Hadwiger型不等式的繼續(xù)研討摘 要：Finsler-Hadwiger型不等式研究的現(xiàn)狀是上下界在數(shù)學(xué)屆已經(jīng)研究過100多年，對(duì)上下界運(yùn)用三角形的外接圓和內(nèi)切圓半徑進(jìn)行了表示，本文先對(duì)三角形半周長(zhǎng)運(yùn)用外接圓和內(nèi)切圓半徑進(jìn)一步加強(qiáng)，進(jìn)而對(duì)Finsler-Hadwiger型不等式再進(jìn)行加強(qiáng)。關(guān)鍵詞：歐拉不等式，F(xiàn)insler-Hadwiger型不等式引 言：本文在前人的基礎(chǔ)上繼續(xù)對(duì)Finsler-Hadwiger型不等式進(jìn)行加強(qiáng)研究，并討論其強(qiáng)弱。一、Finsler-Hadwiger型不等式研究的現(xiàn)狀文[1]對(duì)Finsler-Hadwiger型不等式上屆進(jìn)行了加強(qiáng)得到：定理1 設(shè)的三邊長(zhǎng)為a,b,c，外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑分別為R,r，面積為S，?表示循環(huán)和，則a2-?

1(a-(a-b)24(3R R)24R-2r r文[2]對(duì)Finsler-Hadwiger型不等式下屆進(jìn)行了加強(qiáng)得到：定理2 設(shè)的三邊長(zhǎng)為a,b,c，外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑分別為R,r，面積為S，?表示循環(huán)和，則

1é R-2r r2(R-2r)2 a2-?(a-+ + ú ②? R 2R(2R22)(R?本文對(duì)不等式①和不等式②繼續(xù)研討，得到如下加強(qiáng)不等式：定理3 設(shè)的三邊長(zhǎng)為a,b,c，外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑分別為R,r，面積為S，?表示循環(huán)和，則a2-

(a-3+R+

20Rr-13r2 1)2 ③? 4 r

64R2-80Rr2定理4 設(shè)的三邊長(zhǎng)為a,b,c，外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑分別為R,r，面積為S，?表示循環(huán)和，則1é 2r r2(R+r)(R-2r)a2-?(a-- + ú ④二、一個(gè)引理

? R 4R4-2R2r2-Rr3?為了證明不等式③和不等式④，先給出引理2 2引理16Rr-5r2

(R-2r)r + ≤s2≤4R22-

(R-2r)r

[3]R-r R-r其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)為正三角形或者等腰三角形時(shí)成立.三、結(jié)論的證明?證明由文[2]的證明過程可知a2- (a-b)2=4S4R?s16R2r-20Rr23 4R3-2Rr2-r3由引理可得 ≤s2≤R-r R-r并結(jié)合歐拉不等式可得4R=

(4R+r)2(R-(R-r(4Rr)216R2r-20r2r316R3-8R2r-7r2-r316R2r-20r2r3s s2RR16R2-20rr2)12R2r-10r2-16R2r-20r2r3r3R 12R2-10Rr-r2 3 R

20Rr-13r2

3 R 20Rr-13r2 1= + = + + + + )2r 16R2-20Rr2

4 r 64R2-80Rr2

4 r 64R2-80Rr2由引理等號(hào)成立的條件可知，不等式③等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)為正三角形時(shí)成立.定理3得證.由引理并結(jié)合歐拉不等式可得4R=

(4R+r)2(4R(4Rr)2(R-r)4R3-2r2-r316R3-8R2r-7r2-r34R3-2r2-r34(4R34(4R3-2r2-r3)-8R2rr2r34R3-2r2-r3= =

8R2r-Rr2-3r34-4R3-2Rr2-r32r 2r

8R2r-Rr2-3r3

2r r2(R+r)(R-2r)=4- + -

=4- +R R 4R3-2Rr2-r31

R 4R4-2R2r2-Rr3é 2r r2(R+r)(R-2r)- + ú? R 4R4-2R2r2-Rr3?由引理等號(hào)成立的條件可知，不等式④等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)為正三角形時(shí)成立.定理4得證.四、討論由歐拉不等式得3R +R-(3

+R+

20Rr-13r2

)= 3R -

12R2-10Rr-r24R-2r r

4 r 64R2-80Rr2

4R-2r

16R2-20Rr23R(16R2-20Rr2)-(4R-2r)(12R2-10Rr-r2) (R-2r)(4Rr2)= = (4R-2r)(16R2-20Rr2) (4R-2r)(16R2-20Rr2)所以不等式③是不等式①的加強(qiáng).2r r2(R+r)(R-2r) é

R-2r r2(R-2r)2 ù4- + -+ + úR 4R4-2R2r2-Rr3 ?

R 2R(2R22)(R?r2(R+r)(R-2r)= -4R4-2R2r2-Rr3

r2(R-2r)22R(2R22)(R-2(R-2r)é RR-2r ù-ê4R4-2R2r2-Rr3

2R(2R22)(Rú? ?Rr3(R-2r)(4R+r)2= ≥02R(4R4-2R2r2-Rr3)(2R22)(R所以不等式④是不等式②的加強(qiáng).因?yàn)?R-2r)r2

(R-2r)r2≥

(R-2r)r2?- ≤-

(R-2r)r2

(R-2r)r2?- ≤-

(R-2r)r2R-r R R-r R R-r R2 2-5r2

(R-2r)r + -5r2

(R-2r)r +R-r R2 22-

(R-2r)r 2-

(R-2r)r R-r R由此可以看出引理是Gerrentsen不等式2 216Rr-5r2

(R-2r)r + ≤s2≤4R22-

(R-2r)r[1][2]的加強(qiáng).R R參考文獻(xiàn)[1]郭要紅，劉其右.一個(gè)Finsler-Hadwiger型不等式的加強(qiáng)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，20