體系的對稱性與對稱性原理

體系的對稱性與對稱性原理

在磁體工程中，通常使用對稱分析方法來討論一些問題，以便使問題既大又簡單。然而，對稱分析通?；谝阎姆煞ㄒ?guī)。例如，根據(jù)畢氏薩伯爾法，對稱是肯定的。在非均勻流的特性下，載流平面的林場平行于電流。然而，根據(jù)對稱原則，即使不知道定額，也可以解決這個問題。1規(guī)則對稱操作通常我們把體系從一個狀態(tài)變到另一個狀態(tài)的過程,稱為給系統(tǒng)一個“操作”.若體系的狀態(tài)在此操作下不變,那么體系對這一操作是對稱的,而這個操作叫做體系的一個對稱操作.最常用的對稱操作是時空操作,轉(zhuǎn)動、平移、鏡象反射、標(biāo)度變換等屬空間操作,時間平移、時間反演等屬時間操作.2對稱的原理物理定律反映了事物之間的因果關(guān)系,而因果性與對稱性之間的關(guān)系表現(xiàn)為:原因中的對稱性必反映在結(jié)果中,即結(jié)果中的對稱性至少有原因中的對稱性那樣多.這就是對稱性原理,此原理可表示為如下對應(yīng)關(guān)系:對稱的原因→→對稱的結(jié)果,即對稱的原因必定產(chǎn)生對稱的結(jié)果,但對稱的結(jié)果有可能來源于不對稱的原因.3利用對稱操作產(chǎn)生lad各分量的關(guān)系下面通過一些實例闡述對稱性原理的具體運用.例1在靜電場的作用下,點電荷的運動軌道一定在某一個平面內(nèi).證明設(shè)某時刻點電荷q具有速度v,則電場對其作用力f與v兩個矢量決定一個平面,即圖1所示的紙平面.以上所述條件就足以決定電荷q以后的運動了.亦即,體系(電場和q)的全部原因(力f和速度v)對圖1的紙平面具有鏡象反射對稱性.根據(jù)對稱性原理,結(jié)果(q的軌道)至少也具有這種對稱性,故它不可能向某側(cè)偏斜而離開此平面.例2確定無限長均勻帶電導(dǎo)線周圍的電場的方向.解此問題所給的體系有多種對稱性操作(“因”的對稱性),在這些操作變換下E應(yīng)該不變(“果”的對稱性).下面尋找有助于判斷E的方向?qū)ΨQ操作.如圖2(a),取作標(biāo)z軸與導(dǎo)線平行,x軸沿導(dǎo)線到場點p的垂直連線.取第一個對稱操作是以z=0平面為鏡面的空間反射pz,在此操作下帶電導(dǎo)線的狀態(tài)未變,所以這是一個對稱操作.現(xiàn)在看E各分量的變換:Ex′=pz(Ex)=ExEy′=pz(Ey)=EyEz′=pz(Ez)=-Ez.Ex′=pz(Ex)=ExEy′=pz(Ey)=EyEz′=pz(Ez)=?Ez.但根據(jù)對稱性原理又應(yīng)有:Ex′=Ex,Ey′=Ey,Ez′=Ez,Ex′=Ex,Ey′=Ey,Ez′=Ez,所以,E的z分量前后結(jié)論矛盾,除非Ez=0.如圖2(b),取第二個對稱操作為y=0的平面為鏡面空間反射py.在此操作下帶電導(dǎo)線的狀態(tài)未變,所以這是一個對稱操作.對于E的y分量Ey′=py(Ey)=-Ey,但對稱性原理要求Ey′=Ey,故二者矛盾,除非Ey=0.因此,E唯一不為零的分量只能是Ex,即E只可能沿x方向.由此可知無限長均勻帶電直導(dǎo)線周圍的電場在垂直于導(dǎo)線的平面內(nèi)呈徑向分布.例3無限長載流導(dǎo)線,其周圍有一點電荷q,它以速度v平行于電流方向運動,分析電荷受力的方向.解根據(jù)對稱性原理知,“因”的對稱性(即體系的多種對稱性操作)必定產(chǎn)生結(jié)果的對稱性.本問題的體系有多種對稱性操作,在這些操作下電荷所受力f應(yīng)該不變.取坐標(biāo)系如圖3(a)所示,z軸垂直與導(dǎo)線到電荷的聯(lián)線.取第一個操作是x=0平面的空間反射px加上圍繞z軸的180°旋轉(zhuǎn)Rz.在此操作下點電荷的位置復(fù)原,而載流直導(dǎo)線和速度v的狀態(tài)不變,即px+Rz是這體系的一個對稱操作.f的各分量的變換如下:f′x=px(fx)=-fx,f′y=px(fy)=fy,f′z=px(fz)=fz;f″x=Rz(f′x)=-f′x=fx,f′y=Rz(f′y)=-f′y=-fy?f″z=Rz(f′z)=f′z=fz.但根據(jù)對稱性原理知:f″x=fx,f″y=fy,f″z=fz,由此可知f的y分量前后矛盾,故fy=0.取第二種對稱操作是以z=0平面為鏡面作空間反射pz和時間反演T(如圖3(b)),電流I在此聯(lián)合操作下方向?qū)?fù)原,對本體系而言,此聯(lián)合操作是一個對稱操作.力f在此種聯(lián)合操作下不變.對于的f的z分量,有f″z=Τ(pz(fz))=Τ(-fz)=-fz,根據(jù)對稱性原理要求應(yīng)有f″z=fz,故f的z分量前后矛盾,所以fz=0.由以上分析知力f的唯一不為零的分量只有x分量,故f只可能沿±x方向.4電磁學(xué)的定性分析通過上述實例表明:即使不知道電磁學(xué)中具體的物理定律,也無