二重積分的變量變換

§4二重積分的變量變換教學(xué)目的：了解二重積分的一般的變量變換公式，掌握二重積分的極坐標(biāo)變換，理解二重積分的一般的變量變換公式的證明.教學(xué)重點(diǎn)：二重積分的極坐標(biāo)變換.教學(xué)難點(diǎn)：二重積分的一般的變量變換公式.教學(xué)過程一、二重積分的變量變換公式弓I理設(shè)變換T:%=x（u，v），丁=yS^將"平面上由按段光滑封閉曲線所圍成的閉區(qū)域△，一對一地映成xy平面上的閉區(qū)域D，函數(shù)x=x"，v），y=ySv）在A內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且它們的函數(shù)行列式y(tǒng)y則區(qū)域的面積證明現(xiàn)給出y=y"，"）在A內(nèi)分別具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時的證明y=y（u，°在A內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的證明以后給出.由于變換T是一對一的，且JC，vZ0，因而T把A的內(nèi)點(diǎn)變?yōu)镈的內(nèi)點(diǎn)，所以A的按段光滑邊界曲線La變換到D時，其邊界曲線Ld也是按段光滑曲線，設(shè)曲線La的參數(shù)方程為由于La按段光滑，所以"勺，"）在kS上至多除去有限個第一類間斷點(diǎn)外，在其他點(diǎn)上都是連續(xù)的.因?yàn)長d=TS），所以Ld的參數(shù)方程為：x=Ax=A)=M)vG))y=(t)=y頃)vG))G<t邳)x=x()=M)v())y=()=y(u(t)v())G<t<g)若規(guī)定t從a變g到時，對應(yīng)于Ld的正向，則根據(jù)格林公式，取P(x,y)=0,Q(x,y)=xr、jxdy=r、jxdy=fx（t）y^（t）dt v（t^dLuf（t）^dyLvf（t）L口D） Ldu dv 」—Lda —a另一方面，在UV平面上jx（u,v>l空du+^ydvdu dv"們+料同）"—a(6)(7)其中正號及負(fù)號分別由t從a變6到時，是對應(yīng)于LD的正向或是負(fù)方向所決定.由（6）及（7）得到4d）二土jx(u,v4d）二土jx(u,v>dydu+dudydvdvLa=±dvP(u,v)=x(u,令Q（P(u,v)=x(u,令在平面uv上對上式應(yīng)用格林公式，得到uD）uD）二土JJ——-——\dudv[dudv)ad2y_d2y由于函數(shù)y=ySv）具有二階連續(xù)偏聽偏信導(dǎo)數(shù)，即有瓦初 柘，因此dQ dPdu d^=J^11，v）.于是又因?yàn)閡D）總是非負(fù)的，而J偵°在a上不為零且連續(xù)，故其函數(shù)值A(chǔ)在上不變uDuD）二土jjj。,v)dudvjjJ（u,v）dudv號，所以U（D）=a .定理21.13設(shè)f（x，y）在有界閉區(qū)域D上可積，變換T:x=x（u，v），y=y（u，^將uv平面上由按段光滑封閉曲線所圍成的閉區(qū)域A一對一地映成xy平面上的閉區(qū)域D，函數(shù)x=x（u，v），y=y（u，^在A內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且它們的函數(shù)行列式

證明用曲線網(wǎng)△把分成〃個小區(qū)域氣，在變換T作用下區(qū)域。也相應(yīng)地分成個〃小區(qū)域2.，記氣及Dj的面積為M）及血）《=1，???，〃）由引理及二重積分的中值定理，有D?.作二重積分上式右邊的和式是上的可積函數(shù)的積分和.又由變換丁的分的中值定理，有D?.作二重積分上式右邊的和式是上的可積函數(shù)的積分和.又由變換丁的連續(xù)性可知，當(dāng)區(qū)域△的分割的細(xì)度I叮7°時，區(qū)域Q相應(yīng)的分割的細(xì)度叮I也趨于零.因此得到ffNJJex+ydxdy例1求。，其中。是由％=O,y=O,x+y=l所圍區(qū)域.x=—（u-{-v）,y=—（v-u） 7（）1>0解作變換〃= ）即2 2 ，貝|j/v/,v7=2 ,ILeve-e-i~1~17wILeve-e-i~1~iiex+ydxdyffD =A

例2求拋物線*=弘，=nx和直線尸穌，》=阪所圍成區(qū)域。的面積|ii(D)(3<m<n,0<oc<(3)解。的面積口3)一3)Wdxdy解。的面積口3)一"二￡>=C—m2uV4UUjv——9uV4UUjv——9y=—作變換V2V,J]ILdudvV4A3—OC3)6OC3p3fx=rcos0T?[y=rsin00<r<+oo,0<0<2k定理21.14設(shè)滿足定理21.13的條件，且在極坐標(biāo)變換(8)下,xy平面上有界區(qū)域D與re平面上區(qū)域A對應(yīng)，則成立jjfG,y)dxdyjjf(rcos0,rsinB)rdrdD, =A證明若d為圓域Ry^2+邪-R2則a為陽平面上的矩形區(qū)域hR]xh2兀].設(shè)氣為在圓環(huán)七小<￡2<x2+y2<R2'除去中心角為￡的扇形BBAA所得的區(qū)域，則在變換(8)下，D對應(yīng)于平面上的矩形區(qū)域A=kAh2兀-』但極坐標(biāo)變換(8)在氣與A之間是一對一變換，且A在上函數(shù)行列式J(r，e^>0.于是由定理21.13有jjf(x,y)dxdyjjf(rcose,rsine')rdrdeD￡ 二A￡ ，因?yàn)閒(x，y)在有界閉區(qū)域D上有界，在上式中令￡T0即得jjf(x,y)dxdyjjf(rcose,rsine')rdrcBD —A -若D是一般的有界區(qū)域，則取足夠大的R>0,使D包含在圓域七y)x2+y2<R2內(nèi)，并且在Dr上定義函數(shù)Jf(x,y)(x,y)gD

f(x,y)=[0, G,y)wD(i)若原點(diǎn)O史D,xy平面上射線e二常數(shù)與D的邊界至多交于兩點(diǎn).A表示為r1(e)<r<r2&)a<e<B，于是有jjf(x,y)dxdyjd。寸f(rcose,rsin。>drd =ar(e) .若原點(diǎn)O史D,Xy平面上的圓r二常數(shù)與D的邊界至多交于兩點(diǎn).A豐=41°G)<e<eG)r<r<r二曰看A表示為1 2 1 2，于是有jjf(x,yddyjrdr°ff(rcos。,rsine》eD =r1 e1(r)

(ii)若原點(diǎn)O(ii)若原點(diǎn)O為D的內(nèi)點(diǎn)，D的邊界方程表示為r=r&),則A表示為爵,r(0),0<0<2兀，于是有cos0,rsin0>drjjfG,y)dxdy2fd0'ffcos0,rsin0>dr(iii)若原點(diǎn)O在D的邊界上，則A為0<r<rG)a<0<p于是有cos0,rsin0>drjjf(x,y)dxdyjcos0,rsin0>drTOC\o"1-5"\h\zD =a 0jj—, —do例3計(jì)算I=DV1-x2-y2 ，其中為圓域x2+y2<1.jj,1 =do ^jdQ^ rdrfLj1_r2^d07d0解D?—x2-y2 =0 。罰―r2 =0 0 =0 =2例4球工2+y2+Z2=R2被圓柱面x2+y2=Rx所割下部分的體積.jj、jR2-工2-y2d。解V=4?！?40d0R十眼2-r2rdr4r3j(-sins01?

=34「2)-R3———=3123J0jje-\2+y2d例5計(jì)算I=D ，其中。為圓域：x2+y2-R2手dojre-r2dr ()解I=0 0 頊1-e-R2，作廣義極坐標(biāo)變換x=arcosOy=brsinO0-r<+8,0-0-2兀J(r,0)=abr，x2y2