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固體物理學(xué)》部分習(xí)題參考解答第一章1.1有許多金屬即可形成體心立方結(jié)構(gòu),也可以形成面心立方結(jié)構(gòu)。從一種結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N結(jié)構(gòu)時(shí)體積變化很小.設(shè)體積的變化可以忽略,并以R和R代表面心立方和體心立方結(jié)構(gòu)中fb最近鄰原子間的距離,試問(wèn)R/R等于多少?fb答:由題意已知,面心、體心立方結(jié)構(gòu)同一棱邊相鄰原子的距離相等,都設(shè)為a:對(duì)于面心立方,處于面心的原子與頂角原子的距離為:Rf=對(duì)于體心立方,處于體心的原子與頂角原子的距離為:R=b那么,Rf那么,RfV2aV6Rb\T3a=丁1.2晶面指數(shù)為(123)的晶面ABC是離原點(diǎn)0最近的晶面,OA、0B和0C分別與基失a「a?和a3重合,除0點(diǎn)外,OA,0B和0C上是否有格點(diǎn)?若ABC面的指數(shù)為(234),情況又如何?答:根據(jù)題意,由于OA、0B和0C分別與基失ai,a2和a3重合,那么1.3二維布拉維點(diǎn)陣只有5種,試列舉并畫(huà)圖表示之。答:二維布拉維點(diǎn)陣只有五種類(lèi)型:正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分別如圖所示:1.4在六方晶系中,六面常用4個(gè)指數(shù)矩形kil)來(lái)表示,帶心圖所示,前3個(gè)行數(shù)表示晶面族中最靠近原點(diǎn)的晶面在互成120°的共平面軸a】,a2,a3上的截距a/h,a2/k,&/i,第四個(gè)指數(shù)表示該晶面的六重?zé)?=上的截距c/la證明0O1i=-(h+3k)l"b并將0下列用(h*l)表示的晶面改用(hkil)表示:(001)(133)(110)(323)(100)()(213)答:證明設(shè)晶面族(hkil)的晶面間距為d,晶面法線方向的單位矢量為n°。因?yàn)榫孀?hkil)中最靠近原點(diǎn)的晶面ABC在a、a、a軸上的截距分別為a/h,a/k,a/i,因此123123agto=hd1agto=kd(1)2agno=id3由于a=-(a+a)312agn°=-(a+a)gn°313把(1)式的關(guān)系代入,即得
id=-(hd+kd)i=-(h+k)根據(jù)上面的證明,可以轉(zhuǎn)換晶面族為(001)—(0001),(133)-(1323),(110)一(1100),(323)一(3213),(100)-(1010),()一(0110),(213)-(2133)1.5如將等體積的硬球堆成下列結(jié)構(gòu),求證球可能占據(jù)的最大面積與總體積之比為(1)簡(jiǎn)立兀運(yùn)Tl近兀方:一(2)體心立方:(3)面心立方:(4)六方密堆積:(5)金剛石:6866<3tIT。答:令Z表示一個(gè)立方晶胞中的硬球數(shù),Ni是位于晶胞的球數(shù),Nf是在晶胞面上的球數(shù),Ne是在晶胞棱上的球數(shù),Nc是在晶胞角隅上的球數(shù)。于是有:Z=N+-N+-N+-Ni2f4e8c邊長(zhǎng)為a的立方晶胞中堆積比率為a3假設(shè)硬球的半徑都為r,占據(jù)的最大面積與總體積之比為0,依據(jù)題意(1)對(duì)于簡(jiǎn)立方,晶胞中只含一個(gè)原子,簡(jiǎn)立方邊長(zhǎng)為2r,那么:4/3Tr3T(2r)362)對(duì)于體心立方,晶胞中有兩個(gè)原子,其體對(duì)角線的長(zhǎng)度為4r,則其邊長(zhǎng)為2)對(duì)于體心立方,晶胞中有兩個(gè)原子,其體對(duì)角線的長(zhǎng)度為4r,則其邊長(zhǎng)為r,那么:2*(4/3兀r3)x-'3t(4/呂)3(3)對(duì)于面心立方,晶胞中有四個(gè)原子,面對(duì)角線的長(zhǎng)度為4r,則其邊長(zhǎng)為2邁r,那么:4*(4/4*(4/3Tr3)2t~6~(4)對(duì)于六方密堆積一個(gè)晶胞有兩個(gè)原子,其坐標(biāo)為(000)(1/3,2/3,1/2),在理想的密堆積情況下,密排六方結(jié)構(gòu)中點(diǎn)陣常數(shù)與原子半徑的關(guān)系為a=2r,因此
a2c25)對(duì)于金剛石結(jié)構(gòu)4r3433兀Z=8a、;3=8r那么F=Z*—兀=8x—x兀()3=3a338161.6有一晶格,每個(gè)格點(diǎn)上有一個(gè)原子,基失(以nm為單位)a=3i,b=3j,c=1.5(i+j+k),此處i,j,k為笛卡兒坐標(biāo)系中x,y,z方向的單位失量.問(wèn):這種晶格屬于哪種布拉維格子?原胞的體積和晶胞的體積各等于多少?答:(1)因?yàn)閍=3i,b=3j,而c=1.5(i+j+k)=1/2(3i+3j+3k)=1/2(a+b+cz)式中c‘=3c。顯然,a、b、c‘構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為3*lO-10m的立方晶胞,基矢c正處于此晶胞的體心上。因此,所述晶體屬于體心立方布喇菲格子。(2)晶胞的體積二c'gaxb)=3k$3ix3j)=27*lO-3o(m3)原胞的體積二cgaxb)=—(3i+3j+3k)g[3i+3j)=13.5*lO-3o(m原胞的體積二cgax2c=ckc=ck1.7六方晶胞的基失為:b=—ai+/1.7六方晶胞的基失為:——求其倒格子基失,并畫(huà)出此晶格的第一布里淵區(qū).答:根據(jù)正格矢與倒格矢之間的關(guān)系,可得:正格子的體積Q=ab*c)=12兀正格子的體積Q=ab*c)=12兀(bxc)那么,倒格子的基矢為冒一^~2兀.2兀.=畐1+V72兀.2兀.TOC\o"1-5"\h\z丫2兀(axb)—nb==——k3Qc其第一布里淵區(qū)如圖所示:1.8若基失a,b,c構(gòu)成正交晶系,求證:晶面族(hkl)的面間距為dhkldhkl答:根據(jù)晶面指數(shù)的定義,平面族(hkl)中距原點(diǎn)最近平面在三個(gè)晶軸a1,a2,a3±的截距aaa分別為亍,—,3。該平面(ABC)法線方向的單位矢量是hkldhdkdln=x+y+zaaa123hklhklh2+k2+12hklhklh2+k2+12這里d是原點(diǎn)到平面ABC的垂直距離,即面間距。由|n|=l得到dhdkdl()2+()2+(—)2二1aaa123故d—[()2+()2+(—)2]2aaa123序號(hào)12345e/(°)19.61128.13635.15641.15647.7691.9用波長(zhǎng)為0.15405nm的X射線投射到鉭的粉末上,得到前面幾條衍射譜線的布拉格角0如下已知鉭為體心立方結(jié)構(gòu),試求:(1)各譜線對(duì)應(yīng)的衍射晶面族的面指數(shù);(2)上述各晶面族的面間距;(3)利用上兩項(xiàng)結(jié)果計(jì)算晶格常數(shù).答:對(duì)于體心立方結(jié)構(gòu),衍射光束的相對(duì)強(qiáng)度由下式?jīng)Q定IsFI=f2[1+cos兀n(h+k+/)]2+f2sin2兀n(h+k+/)hkl考慮一級(jí)衍射,n=1。顯然,當(dāng)衍射面指數(shù)之和(h+k+l)為奇數(shù)時(shí),衍射條紋消失。只有當(dāng)(h+k+l)為偶數(shù)時(shí),才能產(chǎn)生相長(zhǎng)干涉。因此,題給的譜線應(yīng)依次對(duì)應(yīng)于晶面(110)、(200)、211)、(220)和(310)的散射。由布喇格公式d1101.5405小==2.295x10-10(m)2sin02sin19.611o1同法得d200九/=1.6334x10-io(m)2sin02d211九=1.3377x10-1o(m)2sin03d220九/=1.1609xlO-io(m)2sin03d310九==1.0403x10-1o(m)2sin04應(yīng)用立方晶系面間距公式d11可得晶格常數(shù)a=dh2+k2+12hkl把上面各晶面指數(shù)和它們對(duì)應(yīng)的面間距數(shù)值代入,依次可得a的數(shù)值*10-110為3.2456,3.2668,3.2767,3.2835,3.2897取其平均值則得a=3.2725x10-io(m)1.10平面正三角形,相鄰原子的間距為a,試給出此晶格的正格矢和倒格矢;畫(huà)出第一和第二布里淵區(qū).答:參看下圖,晶體點(diǎn)陣初基矢量為a—ai1-丄ai+至aj22用正交關(guān)系式bga—2nd=<0,/十j????/TT"??ijij2ni—j求出倒易點(diǎn)陣初基矢量b1,b2。設(shè)b—bi+bjb—bi+bj11x1y22x2y由bga—2nbga—0bga—0bga—2n11122122得到下面四個(gè)方程式aig(bi+bj)—2n(1)1x1y(ai+2aj)g(bi+bj)—01x1(ai+2aj)g(bi+bj)—01x1y2)aig(bi+bj)—02x2y(ai+2T妙叫xi+b2yj)—2"3)4)由(1)式可得:b—王1xa由(2)式可得:1y2n由(3)式可得:b—02x由⑷式可得:b2y卞于是得出倒易點(diǎn)陣基矢2兀.——i-a
第三章習(xí)題答案3.1試求由5個(gè)原子組成的一堆單原子晶格的格波頻率,設(shè)原子質(zhì)量m=8.35X10-27kg,恢復(fù)力常數(shù)B=15N?m-i第三章習(xí)題答案解:一維單原子鏈的解為X=Aei0-qna)n據(jù)周期邊界條件X二X,此處N=5,代入上式即得TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1N+1e-i(5a)q=1所以5aq=2兀九(九為整數(shù))\o"CurrentDocument"兀兀由于格波波矢取值圍:-—<q<。aa故九可取一2,—1,4兀相應(yīng)波矢:-廠,由于①=.qasm^—20,1,2這五個(gè)值2兀由于①=.qasm^—20,1,2這五個(gè)值2兀4兀5a5a則得到五個(gè)頻率依次為(以rad/sec為單位)8.06X1013,4.99X1013,0,4.99X1013,8.06X10133.2求證由N個(gè)相同原子組成的一維單原子晶格格波的頻率分布函數(shù)可以表示為p(?)=2N(?2-?2)-:式中?=(40/是格波的最髙頻率,并求證它的振動(dòng)模總數(shù)恰為兀mm\fmN1)2)解:對(duì)一維單原子鏈,dN=p(①)d?=p(q)dq=2p(q)dq所以p6)=2pC)如1)2)/dq由色散關(guān)系?=.qasm°—\m2求得d?'40qaa40aqa、ar,40、=cos?=(1—sm2)1/2=[()-?2]1/2TOC\o"1-5"\h\zdqm22m222m而p(q)==,則由(1)式可得2兀2兀p(?)=沁0[坐-?2]1/2=2N(?2-?2)-1/22兀/2m兀mN=wm0由于匸半=?mN=wm02N(?2-?)-1/2d?兀m23)3)令=sin0,則積分限為0到兀/2,故mN=J*還(cos0Lcos0d0=2N02=N0兀兀03.3設(shè)晶體由N個(gè)原子組成,試用德拜模型證明格波的頻率分布函數(shù)為p(co)=9N①2&3m解:由書(shū)上(3—69)式可得pCo)=gd=■2*2v3由(3—71)可得①=w=I兀2n)/3vDm由此可得2冗2v3=w3:3n,代入(1)式得m()9NpW=W23m3.4對(duì)一堆雙原子鏈,已知原子的質(zhì)量m=8.35X10-27kg,另一種原子的質(zhì)量M=4m,力常數(shù)B=15N?m-i,試求(1)光學(xué)波的最髙頻率和最低頻率Wo和Wo;maxmin2)聲學(xué)波的最髙頻率A;max(3)相應(yīng)的聲子能量(以eV為單位);(4)在300K可以激發(fā)頻率為Wo,w。和WA的聲子的數(shù)目;maxminmax5)如果用電磁波來(lái)激發(fā)長(zhǎng)光學(xué)波振動(dòng),電磁波的波長(zhǎng)大小。解:Mm4⑴一MZm解:Mm4⑴一MZm=5m;2p沁6.70x1013rad/sec沁1.07x10i3HzWo=min—a5.99x1013rad/sec沁0.95x1013Hzmomaxa='2^-3.00x1013rad/sec沁0.48x1013HzmaxM(2)r\Woa4.41x10-2eVmaxrmoina3.95x10-2eVrA=1.97x10-2eVmax1eAw/kT—1
n:Woa0.221,'max■n'Woa0.276n:Woa0.221,'maxl丿min'maxcc?2兀Womax(4)O光速c—Xv,.?.九—一—a2.8x10-5m—28Womaxv3.5設(shè)有一維晶體,其原子的質(zhì)量均為m,而最近鄰原子間的力常數(shù)交替地等于卩和10卩,最近鄰的距離為a/2,試畫(huà)出色散關(guān)系曲線,并給出q=0和q=±n/a處的W(q)o解:設(shè)標(biāo)為奇數(shù)的原子和附近為偶數(shù)的原子所處的環(huán)境不同,參看圖,p100P10卩xx2n-1xx2n-12nxx2n+12n+2fm級(jí)—10p(x—x)—p(x—x)2n+1TOC\o"1-5"\h\z原子的運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)是n=pQ2n+1x2n)p(2n2^12n+12n+22n+12n+12n即m鈕=p(10x+x一11x)2n2n+12n—12n—B2n+1+10x—11x2n)2n+—B2n+1+10x—11x2n)2n+1求格波解,令彳[Cn嚴(yán)—Wtx—AeL2
2nx2n+1Bi(2n+1^2-Wt]代入運(yùn)動(dòng)方程,可導(dǎo)出線性方程組為frup)A——w2A—丿B[L10eiqa/2+e-iqa/2~B—0mB—eiqa/2+10e—iqa/2mVmB令二—W2,從A,B有非零解的系數(shù)行列式等于零的條件可得m0C1W2—W2)—W4l(10eiqa/2+e-iqa/2)(giqa/2+10e—iqa/2)^=000可解出W2—W2(1±^20cosqa+101)色散關(guān)系見(jiàn)下圖q—0時(shí),cosqa—1,W=、.;22w,w—0+0一q=+—時(shí),cosqa=一1,⑷=、20w,⑷=、;2切a+o-o?0!!?0!!g3.6.在一維雙原子鏈中,如Mm>>1,求證Isinqa|\M2mcos2Isinqa|\M2mcos2qa)2M[證]由書(shū)中(3.22)式知,雙一維原子鏈聲學(xué)支ro2=_L(m+M》1—[1-4mMsin2qa"}1Mm(m+M)24mM0M>>4mM0M>>m,mMB(m+M)14mM={1-[1-sm2qa]1/2}mM2(m+M)2得roi2<<1由近似式G-xLu1-nx,(當(dāng)x<<1)nx,坐sin坐sin2qam+Mu坐sin2qa,M.?.ro1sinqa|.?.ro1sinqa|對(duì)?;,由于M>>m,ro2ro2=B(m+M){1+[1-2mM4mM(.\]smqa加2}(M+m)2BM+m、4Mm4Mm、um{1+[(e)2一+cos2qa]1/2}丄{1+[()2+4mcos2qa]1/2}mM+mM
丄{1+1+丄也cos2qa}m2M?坐{1+竺cos2qa}mM:1+mcos2qa:1+mcos2qa)2Mcos2qaM兀3.7在一維雙原子晶格振動(dòng)情況中,證明在布里淵區(qū)邊界q=±處,聲學(xué)支格波中所有2a輕原子m靜止,而光學(xué)支格波中所有重原子M靜止。畫(huà)出這時(shí)原子振動(dòng)的圖象。A2Bcosqa兀?。圩C]由(3—18)第一式得右=,當(dāng)q=±時(shí)cosqa=0且對(duì)聲學(xué)B2B-m?22a1/2代入上式即得:_0,故A=0,輕原子靜止再由(3—_0,故A=0,輕原子靜止再由(3—18)第二式得彳_A2Bcosqa2卩-M?2時(shí)cosqa_01/2且對(duì)光學(xué)支,,代入上式即得故B=0,重原子靜止B_0故B=0,重原子靜止A2B-2p—M3.8設(shè)固體的熔點(diǎn)T對(duì)應(yīng)原子的振幅等于原子間距a的10%的振動(dòng),推證,對(duì)于簡(jiǎn)單晶格,m接近熔點(diǎn)時(shí)原子的振動(dòng)頻率?_-接近熔點(diǎn)時(shí)原子的振動(dòng)頻率?_-1/2其中M是原子質(zhì)量。[解]當(dāng)質(zhì)量為M的原子以頻率?及等于原子間距a的10%的振幅振動(dòng)時(shí),其振動(dòng)能為:2M?22M?2m1(a)2即一個(gè)一維原子的平均能量為kT,于是有2泌2(帀|_kBTm,由此得2(50kTa2(50kTavM)1/2丿3.9按德拜近似,試證明髙溫時(shí)晶格熱容Cv=3NkB[1-2oexx4dx證明:由書(shū)(3.73)式可知C=9Nk(T/T0)3J0DT在髙溫時(shí),T?0D,則在整個(gè)積分圍x為小量,因此可將上式中被積函數(shù)化簡(jiǎn)為(exx\=(在髙溫時(shí),T?0D,則在整個(gè)積分圍x為小量,因此可將上式中被積函數(shù)化簡(jiǎn)為(exx\=(心卜匕一12Vx/2一e-x/2丿(x4X4沁x22X3)2X+——24丿1+乂12(、-X2
=X21一一I12丿將上式代入C的表達(dá)式,得C=9Nkvv(T/T0)3BD一1一601T0)51一丄1一丄2丫20???E=丄叱?6兀2Nv33
016兀2v3V=9Nk(T/T0)3-(空|bd31T丿二3NkB3.10設(shè)晶格中每個(gè)振子的零點(diǎn)振動(dòng)能為號(hào),試用德拜模型求三維晶格的零點(diǎn)振動(dòng)能解:由八9)式知,狀態(tài)密度P(3)=g(3》=羨3則E=J3d8p(3)73=J3d—n3-3^—d3000022兀2v3=啞丄化33〃3=丄nV344兀2v3016兀2v3=丄nv3416兀2v3DV)1/3v9|=_v\N^D8D3.11在德拜近似的基礎(chǔ)上,討論由一個(gè)N個(gè)原子組成的二維晶格的比熱,證明在低溫下其比熱正比于T2證明:此題可推廣到任意維m,由于dN=gS>dq=Cdqm=C1qm—1dq=g心加3661661???g6)=Ciqm-1/dP|-1<dq???g6)=Ciqm-1/dP|-1<dq丿而德拜模型中p=vq,故g6)cqm-1C①m-1CcJkvBkjgVnpkB令巴=x,
kT則上式變?yōu)門(mén)m-iTOCTmJxp在低溫時(shí)rpx=DT8dkT則積分卩嚴(yán)十dx為一個(gè)于T無(wú)關(guān)的常數(shù)故CcTm對(duì)三維m=3CCT3vv對(duì)本題研究的二維m=2CcT2v對(duì)一維m=lCcTve2b3.12設(shè)某離子晶體中相鄰兩離子的相互作用勢(shì)為U「)=-+,b為待定常數(shù),平rra衡間距ro=3xI。-10m,求線膨脹系數(shù)。解:由書(shū)上(3.114)式知,線膨脹系數(shù)gkB
解:由書(shū)上(3.114)式知,線膨脹系數(shù)gkB
f2r0'd2U1,g=——'d3U'dr21,g3!idr3丿ar0其中:f=2?r0由平衡條件Idr由平衡條件Idr丿r09bb=0r1004e22e24e22e290b0f=-+—2r32r11r30001(6e2990b)r40ri2丿0=52e23r40由于r=3x10-8m,e=4.806x10-ioCGSE0kkB=1.381x10-16erg/KkkB=1.381x10-16erg/K.?.a=13r0kBa1.46x10-5/K16e23.13已知三維晶體在q=0附近一支光學(xué)波的色散關(guān)系為3.133(q)=3—CAq2+Bq2+Cq2),試求格波的頻譜密度pO0xyz解:冋3—3=Aq2+Bq2+Cq20xyz-C-=13—3―0-C-=13—3―0C則3—3+3—3+―00—\o"CurrentDocument"AB4這是q空間的一個(gè)橢球面,其體積為-兀abc,而3—3—31/2—0B3—31/2—0Cq空間的狀態(tài)密度q空間的狀態(tài)密度p(q)=(丄=話,故橢球的總狀態(tài)數(shù)N為3J3JABC丿1/23—313/20故p(3故p(3)=d3=d34兀2JABC丿1/23—3|l/2=0V3—31/204兀2ABC第四章4.1晶體中空位和間隙原子的濃度是否相同?為什么?答:晶體中空位和間隙原子的濃度是相同的。在離子晶體中,由于電中性的要求,所以晶體中的空位和間隙原子一般都是成對(duì)出現(xiàn),所以它們的濃度是相同的。4.2試從能量角度說(shuō)明滑移方向必定是密排方向.試問(wèn)當(dāng)溫度為300K時(shí)在金里肖特基缺陷數(shù)與格點(diǎn)數(shù)那么由公式4.3試問(wèn)當(dāng)溫度為300K時(shí)在金里肖特基缺陷數(shù)與格點(diǎn)數(shù)那么由公式之比是多少?答:設(shè)肖特基缺陷數(shù)為n,格點(diǎn)數(shù)為N。nNnN二ekB-Eu可得n—0.67x1.6x10—19=ei.38xio-23x3oo=5.682*10-12N4.4某間隙原子在晶格的間隙位置間跳躍。該間隙原子在晶格中振動(dòng)的頻率為2*10】5s-1,如該間隙原子在跳躍過(guò)程中需要克服的勢(shì)壘髙度為O.leV,求該原子在Is跳躍的次數(shù)。答:由公式-E-—av二vekBTo可得———0.1eV——v=vei.38xio-23x3oo=2*1015*0.02=4*1013o4.5在離子晶體中,由于電中性的要求,肖特基缺陷多成對(duì)地產(chǎn)生,令n代表正、負(fù)離子空位的對(duì)數(shù),W是產(chǎn)生一對(duì)缺陷所需要的能量,N是原有的正、負(fù)離子對(duì)的數(shù)目。試證明:n/N=Bexp(-W/2kT);B試求有肖特基缺陷后體積的變化△V/V,其中V為原有的體積。答:(1)設(shè)n對(duì)肖特基缺陷是從晶體部移去n個(gè)正離子和n個(gè)負(fù)離子而形成的。從N個(gè)正離子中形成n個(gè)正離子空位的可能方式數(shù)為N!N!W=1(N—n)!n!同時(shí),從N個(gè)負(fù)離子中形成n個(gè)負(fù)離子空位的可能方式數(shù)也是N!N!W=2(N—n)!n!于是,在整個(gè)晶體中形成n對(duì)正、負(fù)離子空位的可能方式數(shù)N!N!W=吧廣[(n—n)!n!]2由此而引起晶體熵的增量為N!AS=kInW=2kInBB(N-n)!n!設(shè)形成一對(duì)正、負(fù)離子空位需要能量N!AS=kInW=2kInBB(N-n)!n!設(shè)形成一對(duì)正、負(fù)離子空位需要能量w,若不考慮缺陷出現(xiàn)對(duì)原子振動(dòng)狀態(tài)的影響,則晶體自由能的改變N!AF=AU-TAS=nw-2kTinB(N-n)!n!1)dAF熱平衡時(shí),()=o,并應(yīng)用斯特令公式InN!=NInN—n,從(1)式得dnTdAFdN-n()=w-2kT[NInN-(N-n)In(N-n)-ninn]=w-2kT[In(N-n)-Inn]=w-2kTin=0dnTBdnBBndntBdnn-w口=e2養(yǎng)因?yàn)閷?shí)際上Nn,于是得n,n/N=Bexp(-W/2kT)2)對(duì)離子晶體的肖特基缺陷來(lái)說(shuō),每產(chǎn)生一對(duì)缺陷同時(shí)便產(chǎn)生了兩個(gè)新的結(jié)點(diǎn),使體積增加。當(dāng)產(chǎn)生n對(duì)正、負(fù)離子空位時(shí),所增加的體積應(yīng)該是AV=2na3式中a為離子最近鄰距離。因?yàn)閂=2Na3為晶體原有的體積,有上式可得AV2na3nV2Na3N4.6已知擴(kuò)散系數(shù)與溫度之間的關(guān)系為:D=De-ea/kBTo下列數(shù)據(jù)是鋅在銅晶體中擴(kuò)散的實(shí)驗(yàn)結(jié)果:T/K8781007117612531322D/m2?s-11.6*10-204.0*10-181.1*10-184.0*10-171.0*10-16試確定常數(shù)Do和擴(kuò)散激活能EA.A答:由公式D=De-EA/kBT,可得o當(dāng)T=878,D=1.6*10-20時(shí),D=014.7銅和硅的空位形成能Eu分別是0.3eV和2.8eV。試求T=1000K時(shí),銅和硅的空位濃度。答:由公式n_皿N=ekBBn-可得:對(duì)于銅—=e8.6x10-5X1000=0.03可得:Nn28對(duì)于硅—=e8.6xio-5xiooo=7.247x10-15N
4.8碘化鉀在不同溫度下的鉀蒸汽中增色,通過(guò)測(cè)試F帶的光吸收就可得F心的形成能EB。當(dāng)溫度從5701上升到6201時(shí),吸收常數(shù)增加了3.9%左右。假設(shè)光吸收的增加是由F心的數(shù)目增加引起的,試計(jì)算F心形成能E。B答:4.9考慮一體心立方晶格:(1)試畫(huà)出(110)面上原子的分布圖;(2)設(shè)有一沿[111]方向滑移、位錯(cuò)線和[110]平行的刃位錯(cuò)。試畫(huà)出在(110)面上原子的投影圖。答:如圖所示:4.10求體心立方、面心立方、六方密堆積等晶體結(jié)構(gòu)的最小滑移矢量的長(zhǎng)度。答:滑移面往往是那些原子面密度較大的晶面,滑移向也總是原子密度較大的晶向(即沿該方向的周期最?。?。(1)體心立方:滑移面為(110)面,滑移向?yàn)椋?11],最小滑移矢量b即[111]晶向上一個(gè)格點(diǎn)間距的長(zhǎng)度。設(shè)晶格常數(shù)為a,則Ib1=a2(2)面心立方:滑移面為(111),滑移向?yàn)椋?01]。最小滑移矢量b等于[101]方向上相鄰格點(diǎn)間的距離,即IbI=a2(3)六角密堆:滑移面是基面(0001),滑移向是[2110]。[2110]晶向上原子間距為a,因此,IbI=a4.11在FCC晶格中存在一個(gè)位錯(cuò),其位錯(cuò)線的方向用晶向指數(shù)表示為[11°],該位錯(cuò)滑移的方1-向和大小用伯格斯矢量表示為b=2[110]°試確定該滑移面的晶面指數(shù),并問(wèn)該位錯(cuò)是刃位錯(cuò)還是螺位錯(cuò)。第六章6.】一維周期場(chǎng)中電子的波函數(shù)屮卜)應(yīng)滿(mǎn)足布洛赫定理,若晶格常數(shù)為a,電子的波函數(shù)為⑴屮k(X)=.兀sm—xamama2mama2(2)屮(x)——icos3!xka(3)屮(x)二無(wú)f(x—Xa)f是某個(gè)確定的函數(shù))ki——一g試求電子在這些狀態(tài)的波矢解:布洛赫函數(shù)為屮(x+a)——(x)kk1111)一(x+a)——sin(—x+兀)——一sin—xaaa110sm—(x+a)——eikasm—xaa兀eika=—1,ka=±兀,k=±一a⑵icos%+⑵icos%+a)=icosaf31x+3』Ia丿.3兀=一cosxa兀同理,/.eika=—1,ka=±兀,k=±—a九=一8(3)藝f(x—Xa+a)——藝fCx—(X—1)a1X———g九=一8X'=—8X=—g、、2neika——1,ka——0或2兀,k——0或—a6.2已知一維晶格中電子的能帶可寫(xiě)成E6.2已知一維晶格中電子的能帶可寫(xiě)成E(k)——叩f71)——coska+—cos2ka
ma2188丿,式中a是晶格常數(shù),m是晶格常數(shù),m是電子的質(zhì)量,求(1)能帶的寬度,(2)電子的平均速度,(3)在帶頂和帶底的電子的有效質(zhì)量2耳2dE(k)TOC\o"1-5"\h\z解:能帶寬度為AE——E一E,由極值條件——0,得maxmindksinka一—sin2ka——sinka一—sinkacoska——0\o"CurrentDocument"42上式的唯一解是sinka=0的解,此式在第一布里淵區(qū)的解為k=0或—a當(dāng)k=0時(shí),E(k)取極小值E.,且有Eminmin當(dāng)k——時(shí),E(k)取極大值E,且有Eamaxmax=2=2兀3=2=2兀3由以上的可得能帶寬度為Ae=Emax-Emin2叩ma2(2)電子的平均速度為v=丄°字ndkma(1、sinka-—sin2kaI43)帶頂和帶底電子的有效質(zhì)量分別為m*n2=叫coska-icos2ka、2=一―m3h2(1A-im*==mcoska-—cos2kak=0d2Edk212Jdk20k=0k=±伉ak=±ak=±壬a=2m6.3一維周期勢(shì)場(chǎng)為V(x)=~mW2b2-(x-naJ0當(dāng)na-b<x<na+b當(dāng)(n-1)a+b<x<na-b其中a=4b,W為常數(shù),求此晶體第一及第二禁帶寬度解:據(jù)自由電子近似得知禁帶寬度的表示式為E=2VI,gn其中Vn是周期勢(shì)場(chǎng)V(x)傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù),該系數(shù)為:V=丄『V(x2一ianxdxna-a/2求得,第一禁帶寬度為Eg1=2V.I=21fV(x1-曽xdxa-a/24腫b2-x21一,九丄fbmW2b2-x24b-b2os匚x]dx12b丿8mW2b2第二禁帶寬度為22I22IEg1=2V1=21-lx'adxa-a/2os^x]dx
os^x]dx
Ib丿E(k)=E-J00(glka+e—ika丄fbmW2b2-x24b-b2mW2b2兀26.4用緊束縛近似計(jì)算最近鄰近似下一維晶格s態(tài)電子能帶,畫(huà)出E(k),m*(k)與波矢的關(guān)系,證明只有在原點(diǎn)和布里淵區(qū)邊界附近,有效質(zhì)量才和波矢無(wú)關(guān)。解:根據(jù)緊束縛近似,E()=E—J—J丫elka001Rs對(duì)一維,最近鄰R=±as=E—J—Jcoska
001E(k)為余弦函數(shù)(圖省)有效質(zhì)量m*=”E=―廠)d2EVJa2coska丿idk2m*(k)的圖也省在原點(diǎn)附近,ka很小,coskaq1:.m*沁a:.m*沁1兀在布里淵區(qū)邊界,k=±,ka=±兀,coskaq—1a2Ja2丿=^-12Ja216.5某晶體電子的等能面是橢球面,坐標(biāo)軸1,2,3互相垂直。「k2k,坐標(biāo)軸1,2,3互相垂直。mmm丿123求能態(tài)密度。zzzz解:由已知條件可將波矢空間電子能帶滿(mǎn)足的方程化為T(mén)OC\o"1-5"\h\zk2k2k22mE+2mE+2mE123—叩叩叩將上式與橢球公式一+「+=1a2b2c2比較可知,在波矢空間電子的等能面是一橢球面,與橢球的體積43兀abc比較可得到,能量為E的等能面圍成的橢球體積42—兀一':2mmmE3/2'123dTdTE1/2dE能量區(qū)間ET(E+dE)電子的狀態(tài)數(shù)目VdzVdz二2&c)dTc2mmmE1/2dE兀2^3123V是晶體體積,電子的能態(tài)密度cN(E)==-Ve2mmmE1/2dE兀2叩'123Pcosakz6.6已知能帶為:ECk)=—a(osak+cosakPcosakz其中a>0,p>0,a為晶格常數(shù),試求(1)能帶寬度兀(2)電子在波矢亍(1,1,1)狀態(tài)下的速度2a(3)能帶底附近電子的能態(tài)密度TOC\o"1-5"\h\zQE.解:(1)=aasinak=0,/.ka=n兀dkxxxQE.=aasinak=0,/.ka=n兀QkyyyQE=aasinak=0,ka=n兀Qkzz兀兀2兀兀2可看出,n為偶數(shù)時(shí)E為極小值,n為奇數(shù)時(shí)為極大值E=-aL1+C1)]-P-(-I)=2a+P頂E=-al+1]-P-1=-2a-P底故,能帶寬度A故,能帶寬度AE二E-E=4a+2p底(2)v=vi+vj(2)v=vi+vj+vk其中v=x1dE1.7=—aasinaknx1亜=1aasinaknyndky1dE1r=—apsinaknz兀在k=—(1,1,1)時(shí)2a=vy1=—apnv=—laaG+j)+apk]n(3)能帶底n為偶數(shù),可取為零,故(3)能帶底n為偶數(shù),可取為零,故kaxka均很小z據(jù)cosx沁1-—2(x<<1)有有E(k)=—a|I1——k2a2I+11——k2a2=-2a-p+丁=-2a-p+丁+aa2k2aa2k2pa2k2r+z22k2+2+k2aa2aa2aa2pa2用和6.5用和6.5題相同的方法,其中—E—EtE+2a+p,mn21pa2則:p(則:p(E)=叵古j2a+p)1/26.7用緊束縛模型求最近鄰近似的s態(tài)電子能帶公式,寫(xiě)出二維正三角形網(wǎng)絡(luò)的能帶,計(jì)算電子的速度及有效質(zhì)量量。6個(gè)最近鄰的坐標(biāo)為6.7用緊束縛模型求最近鄰近似的s態(tài)電子能帶公式,寫(xiě)出二維正三角形網(wǎng)絡(luò)的能帶,計(jì)算電子的速度及有效質(zhì)量量。6個(gè)最近鄰的坐標(biāo)為(a,0),(-a,0),faJ3]—,—a22l丿,12'~2代入上式并化簡(jiǎn)得:E(k)=E(k)=E—J00Jcoska+2cos1fxka37xcoska22y電子速度:v二vi+vj,其中xy16E16Ev=xqQkxfsinka+sinka37xcoska22y1QE1QEv=yqQky2J3Jafcoska37xsinka22y由于1Q2E叩QkQkxyijxxa2J1q22coska+由于1Q2E叩QkQkxyijxxa2J1q22coska+ka\;37
cos^^coska22yyy3a2Jq2ka<37cosrcoska22yxy—、:3a2Jq2.ka.x:37
sinlsinka22y6.8用緊束縛近似計(jì)算面心立方晶格最近鄰近似下s態(tài)電子能帶(1)證明在k=0附近,能帶的等能面是球形的,導(dǎo)出有效質(zhì)量。(2)畫(huà)出[100]與[111]方向的E(k)曲線。(3)畫(huà)出k-k平面能量的等值線。xy解:(1)QE(k)=E—J—J工e洗gRs001Rs面心立方最近鄰有十二個(gè)原子,其Rs位置在ijk+a-2+a_20+a-20+a-20+a_2+a-2將這些R代入上式并簡(jiǎn)化可得:kakakakakaxkakakakakaxCOS—y+COS—ycosr+cosrcos22222E()=E-J-4Jcos0=0附近,k,xkykz則得故E(k)=E01(ka)21(ka)21(ka)21(ka)21—-—x—1—-+1—-1—-z212丿212丿212丿2I2丿+1—2—x—I2丿1(ka¥1(ka¥均很小,利用COSx祖1—琴,(X〈〈l,—J—4J01(2+k2+k2)xyz,(I(I162E8J(a\2由于廣1=切*廣1=ii叩6k2in22Ja1其余m*=0ij2)在[100]方向,k=k=0,則yzE(k)=E—J—4J—8Jcoskxa00112即可按此函數(shù)作圖(圖省)在[111]方向,k=k=k=kxyz???E(k)=E—J—3x4Jcos2—=E—J—12Jcos2—00120012可據(jù)上函數(shù)作圖(圖省)4)在k—k平面,k=0xyz81ii81ii81ii81iiE—J—4J(cos匕cos1E—J—4J(cos匕cos1ka十cos空十cos1ka22y22x丿/.E(k)=001等值線即E(k)=C(C為常數(shù))6.9對(duì)體心立方晶格,用緊束縛法近似計(jì)算最近鄰近似下s態(tài)電子能帶,證明在帶底和帶頂附近等能面近似為球形,寫(xiě)出電子的有效質(zhì)量。解:s態(tài)電子能帶可表示為E(k)=E—J—J工eikr01Rs+a+a+a
土一,土一,土一222對(duì)體心立方,最近鄰原子為8個(gè),其Rs為:E()=E—J—J[el0+ei2"x+ky-k)嚴(yán)(一k+k)iaCk+k+k)
十e2xyz十e2xyz01)+e:化簡(jiǎn)后即得:(J—8Jcos故E()(J—8Jcos故E()=E—001ka1717)—cos—kacos—kay2z丿22由于-1<cosxJ1,可看出學(xué)”時(shí),ka?Cos~i=—12E(k)為極大值,即Emax=8J1kaCOST=kaCOST=1
2在帶底附近,由于kT0,ix2用cosx沁1——,則W=0,o即k.=o時(shí),2iE(k)為極小值,即E=—8Jmin1故帶寬AE=E—E=16Jmaxmin1(ka¥i1(ka¥i-2(ka¥I2丿a2E(k)=E—J—8J001J一8J1一一(k2+k2+k2)yz這顯然是一個(gè)球形有效質(zhì)量(m=所以m*h22所以m*h22Ja21ka在帶頂附近,可寫(xiě)為于一人i,Ai很小則coskia=cos(兀一Ai)=一cosAi沁這顯然也是個(gè)球形而(m*)-1而(m*)-1=(m*)-1=ii叩ak2x8J1ak2xh2m*2Ja216.10金屬鉍的導(dǎo)帶底部有效質(zhì)量倒數(shù)量為C*)1=aC*)1=axx0ayyayzayzazz求有效質(zhì)量量的各分量,并確定此能帶底部附近等能面的性質(zhì)解:C*)1的逆矩陣即為m*矩陣,用矩陣計(jì)算方法,可求得m*=
xxaxxm*yyam*=
xxaxxm*yya-a2yyzzyzm*=zz■yya-a2yyzzyzm*=m*=yzzy■yza-a2yyzzyz其余為0為確定等能面,在作為k矢量原點(diǎn)的能帶底部附近泰勒展開(kāi)(有用的僅二階項(xiàng)),aE1a2E()并假定能帶底E=0,在能帶底一階導(dǎo)數(shù)為0,即=0,且=%*丿-1=aak叩akakjjiij故有E(k)=—h2(a2k2+ak2故有E(k)=—h2(a2xxxxyyyyzzzyzyz顯然等能面E(k)=c是一個(gè)橢球面固體物理第七章答案7.3(1)先決定導(dǎo)帶底及價(jià)帶頂?shù)臉O值位置dE(K)2h2k2h2(k-k)2++=03mcdkdE(k)_6h2k_v=—=0
dkm導(dǎo)帶極小值的能量h2k2h2E(k)=l+(k-k)2cc3mmc1h2k2a=4m4m(a丿價(jià)帶極大值的能量E==v6m6m(a丿禁帶寬度Eg為oE=E(E=E(k)-E(k)=gccvv4m(a丿6m(a丿12m(a丿2)導(dǎo)帶底電子有效質(zhì)量m*=cm*=c-1「22]=———+——_3mm_3=—m81d2E(k)ch2dk2價(jià)帶頂電子有效質(zhì)量m*=m*=c1d2E(k)h2dk2-13)Ap=hk一hkcvh2k2E=2m*h7.4重空穴能量比輕空穴小
7.57.5=e(npPe=2.51x10-19m-=2.51x10-19m-3pe(p+p)0.47xl.6xlO-19x(0.36+0.17)en7.6(1)利用類(lèi)氫模型,InSb中施主雜質(zhì)的電離能為e4mE=——嚴(yán)=6.28x10-4eVd2s2h2(2)施主雜質(zhì)的玻爾半徑8h2h2ma==(—)8=6.36x10-8cmdme2me2mee(3)銻化銦為fee結(jié)構(gòu),晶體的總體積V=Na3=2.72x10-22Ncm34兀一個(gè)施主雜質(zhì)所波及的體積為a3=10.77x10-10cm3d因此,雜質(zhì)之間不發(fā)生重迭的臨界雜質(zhì)數(shù)為:V——=2.526x10-7N4兀a33d每個(gè)原胞中含有4個(gè)原子,所以使雜質(zhì)間不發(fā)生重迭的最小雜質(zhì)濃度為2.526x2.526x10-7N4N=6.32x10-6at.%7.7運(yùn)動(dòng)方程m—+—V=-e(E+VxB)Vdte丿B平行于Z軸,載流子是電子時(shí),=—e(E+BV)x
eVye=—e(E+BV)ye穩(wěn)態(tài)時(shí),時(shí)間導(dǎo)數(shù)為0,eTeT2E—OTV—BV
mxeceyemyeet=—E+cotV
myecexe叟Emze其中,o其中,o=eB/m,稱(chēng)為回旋頻率,c解得V
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