固體物理學習題解答

固體物理學》部分習題參考解答第一章1.1有許多金屬即可形成體心立方結(jié)構(gòu)，也可以形成面心立方結(jié)構(gòu)。從一種結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N結(jié)構(gòu)時體積變化很小.設體積的變化可以忽略，并以R和R代表面心立方和體心立方結(jié)構(gòu)中fb最近鄰原子間的距離，試問R/R等于多少？fb答：由題意已知，面心、體心立方結(jié)構(gòu)同一棱邊相鄰原子的距離相等，都設為a：對于面心立方，處于面心的原子與頂角原子的距離為：Rf=對于體心立方，處于體心的原子與頂角原子的距離為：R=b那么，Rf那么，RfV2aV6Rb\T3a=丁1.2晶面指數(shù)為(123)的晶面ABC是離原點0最近的晶面，OA、0B和0C分別與基失a「a?和a3重合，除0點外，OA，0B和0C上是否有格點？若ABC面的指數(shù)為(234)，情況又如何?答：根據(jù)題意，由于OA、0B和0C分別與基失ai，a2和a3重合，那么1.3二維布拉維點陣只有5種，試列舉并畫圖表示之。答：二維布拉維點陣只有五種類型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分別如圖所示：1.4在六方晶系中，六面常用4個指數(shù)矩形kil)來表示，帶心圖所示，前3個行數(shù)表示晶面族中最靠近原點的晶面在互成120°的共平面軸a】，a2,a3上的截距a/h,a2/k，&/i，第四個指數(shù)表示該晶面的六重熱"=上的截距c/la證明0O1i=-(h+3k)l"b并將0下列用(h*l)表示的晶面改用(hkil)表示：(001)(133)(110)(323)(100)()(213)答：證明設晶面族(hkil)的晶面間距為d,晶面法線方向的單位矢量為n°。因為晶面族(hkil)中最靠近原點的晶面ABC在a、a、a軸上的截距分別為a/h,a/k，a/i,因此123123agto=hd1agto=kd(1)2agno=id3由于a=-(a+a)312agn°=-(a+a)gn°313把(1)式的關(guān)系代入，即得

id=-(hd+kd)i=-(h+k)根據(jù)上面的證明，可以轉(zhuǎn)換晶面族為(001)—(0001),(133)-(1323),(110)一(1100),(323)一(3213),(100)-(1010),()一(0110),(213)-(2133)1.5如將等體積的硬球堆成下列結(jié)構(gòu)，求證球可能占據(jù)的最大面積與總體積之比為（1）簡立兀運Tl近兀方：一（2）體心立方：（3）面心立方：（4）六方密堆積：（5）金剛石:6866<3tIT。答：令Z表示一個立方晶胞中的硬球數(shù)，Ni是位于晶胞的球數(shù)，Nf是在晶胞面上的球數(shù)，Ne是在晶胞棱上的球數(shù)，Nc是在晶胞角隅上的球數(shù)。于是有：Z=N+-N+-N+-Ni2f4e8c邊長為a的立方晶胞中堆積比率為a3假設硬球的半徑都為r，占據(jù)的最大面積與總體積之比為0,依據(jù)題意（1）對于簡立方，晶胞中只含一個原子，簡立方邊長為2r,那么：4/3Tr3T(2r)362）對于體心立方，晶胞中有兩個原子，其體對角線的長度為4r，則其邊長為2）對于體心立方，晶胞中有兩個原子，其體對角線的長度為4r，則其邊長為r，那么：2*(4/3兀r3)x-'3t(4/呂)3（3）對于面心立方，晶胞中有四個原子，面對角線的長度為4r，則其邊長為2邁r,那么:4*(4/4*(4/3Tr3)2t~6~（4）對于六方密堆積一個晶胞有兩個原子，其坐標為（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆積情況下，密排六方結(jié)構(gòu)中點陣常數(shù)與原子半徑的關(guān)系為a=2r，因此

a2c25)對于金剛石結(jié)構(gòu)4r3433兀Z=8a、；3=8r那么F=Z*—兀=8x—x兀()3=3a338161.6有一晶格，每個格點上有一個原子，基失(以nm為單位)a=3i,b=3j,c=1.5(i+j+k),此處i,j，k為笛卡兒坐標系中x,y，z方向的單位失量.問：這種晶格屬于哪種布拉維格子？原胞的體積和晶胞的體積各等于多少？答：(1)因為a=3i,b=3j，而c=1.5(i+j+k)=1/2(3i+3j+3k)=1/2(a+b+cz)式中c‘=3c。顯然，a、b、c‘構(gòu)成一個邊長為3*lO-10m的立方晶胞，基矢c正處于此晶胞的體心上。因此，所述晶體屬于體心立方布喇菲格子。(2)晶胞的體積二c'gaxb)=3k$3ix3j)=27*lO-3o(m3)原胞的體積二cgaxb)=—(3i+3j+3k)g[3i+3j)=13.5*lO-3o(m原胞的體積二cgax2c=ckc=ck1.7六方晶胞的基失為：b=—ai+/1.7六方晶胞的基失為：——求其倒格子基失，并畫出此晶格的第一布里淵區(qū).答：根據(jù)正格矢與倒格矢之間的關(guān)系，可得：正格子的體積Q=ab*c)=12兀正格子的體積Q=ab*c)=12兀(bxc)那么，倒格子的基矢為冒一^~2兀.2兀.=畐1+V72兀.2兀.TOC\o"1-5"\h\z丫2兀(axb)—nb==——k3Qc其第一布里淵區(qū)如圖所示:1.8若基失a,b，c構(gòu)成正交晶系，求證：晶面族(hkl)的面間距為dhkldhkl答：根據(jù)晶面指數(shù)的定義，平面族(hkl)中距原點最近平面在三個晶軸a1,a2,a3±的截距aaa分別為亍,—,3。該平面(ABC)法線方向的單位矢量是hkldhdkdln=x+y+zaaa123hklhklh2+k2+12hklhklh2+k2+12這里d是原點到平面ABC的垂直距離，即面間距。由|n|=l得到dhdkdl（）2+（）2+（—）2二1aaa123故d—[()2+()2+(—)2]2aaa123序號12345e/(°)19.61128.13635.15641.15647.7691.9用波長為0.15405nm的X射線投射到鉭的粉末上，得到前面幾條衍射譜線的布拉格角0如下已知鉭為體心立方結(jié)構(gòu)，試求：（1）各譜線對應的衍射晶面族的面指數(shù)；（2）上述各晶面族的面間距；（3）利用上兩項結(jié)果計算晶格常數(shù).答：對于體心立方結(jié)構(gòu)，衍射光束的相對強度由下式?jīng)Q定IsFI=f2[1+cos兀n(h+k+/)]2+f2sin2兀n(h+k+/)hkl考慮一級衍射，n=1。顯然，當衍射面指數(shù)之和（h+k+l）為奇數(shù)時，衍射條紋消失。只有當（h+k+l）為偶數(shù)時，才能產(chǎn)生相長干涉。因此，題給的譜線應依次對應于晶面（110）、（200）、211）、（220）和（310）的散射。由布喇格公式d1101.5405小==2.295x10-10(m)2sin02sin19.611o1同法得d200九/=1.6334x10-io(m)2sin02d211九=1.3377x10-1o(m)2sin03d220九/=1.1609xlO-io(m)2sin03d310九==1.0403x10-1o(m)2sin04應用立方晶系面間距公式d11可得晶格常數(shù)a=dh2+k2+12hkl把上面各晶面指數(shù)和它們對應的面間距數(shù)值代入，依次可得a的數(shù)值*10-110為3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897取其平均值則得a=3.2725x10-io（m）1.10平面正三角形，相鄰原子的間距為a,試給出此晶格的正格矢和倒格矢；畫出第一和第二布里淵區(qū).答：參看下圖，晶體點陣初基矢量為a—ai1-丄ai+至aj22用正交關(guān)系式bga—2nd=<0，/十j????/TT"??ijij2ni—j求出倒易點陣初基矢量b1,b2。設b—bi+bjb—bi+bj11x1y22x2y由bga—2nbga—0bga—0bga—2n11122122得到下面四個方程式aig(bi+bj)—2n(1)1x1y(ai+2aj)g(bi+bj)—01x1(ai+2aj)g(bi+bj)—01x1y2）aig(bi+bj)—02x2y(ai+2T妙叫xi+b2yj)—2"3)4)由（1）式可得：b—王1xa由（2）式可得：1y2n由（3）式可得：b—02x由⑷式可得：b2y卞于是得出倒易點陣基矢2兀.——i-a

第三章習題答案3.1試求由5個原子組成的一堆單原子晶格的格波頻率，設原子質(zhì)量m=8.35X10-27kg，恢復力常數(shù)B=15N?m-i第三章習題答案解：一維單原子鏈的解為X=Aei0-qna)n據(jù)周期邊界條件X二X，此處N=5,代入上式即得TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1N+1e-i(5a)q=1所以5aq=2兀九(九為整數(shù))\o"CurrentDocument"兀兀由于格波波矢取值圍：-—<q<。aa故九可取一2,—1,4兀相應波矢：-廠,由于①=.qasm^—20，1，2這五個值2兀由于①=.qasm^—20，1，2這五個值2兀4兀5a5a則得到五個頻率依次為(以rad/sec為單位)8.06X1013,4.99X1013,0,4.99X1013,8.06X10133.2求證由N個相同原子組成的一維單原子晶格格波的頻率分布函數(shù)可以表示為p(?)=2N(?2-?2)-：式中?=(40/是格波的最髙頻率，并求證它的振動?？倲?shù)恰為兀mm\fmN1)2)解：對一維單原子鏈，dN=p(①)d?=p(q)dq=2p(q)dq所以p6)=2pC)如1)2)/dq由色散關(guān)系?=.qasm°—\m2求得d?'40qaa40aqa、ar,40、=cos?=(1—sm2)1/2=[()-?2]1/2TOC\o"1-5"\h\zdqm22m222m而p(q)==,則由(1)式可得2兀2兀p(?)=沁0[坐-?2]1/2=2N(?2-?2)-1/22兀/2m兀mN=wm0由于匸半=?mN=wm02N(?2-?)-1/2d?兀m23)3)令=sin0，則積分限為0到兀/2,故mN=J*還(cos0Lcos0d0=2N02=N0兀兀03.3設晶體由N個原子組成，試用德拜模型證明格波的頻率分布函數(shù)為p(co)=9N①2&3m解：由書上(3—69)式可得pCo)=gd=■2*2v3由(3—71)可得①=w=I兀2n)/3vDm由此可得2冗2v3=w3:3n，代入(1)式得m()9NpW=W23m3.4對一堆雙原子鏈，已知原子的質(zhì)量m=8.35X10-27kg,另一種原子的質(zhì)量M=4m，力常數(shù)B=15N?m-i,試求(1)光學波的最髙頻率和最低頻率Wo和Wo；maxmin2)聲學波的最髙頻率A；max(3)相應的聲子能量(以eV為單位);(4)在300K可以激發(fā)頻率為Wo，w。和WA的聲子的數(shù)目;maxminmax5)如果用電磁波來激發(fā)長光學波振動，電磁波的波長大小。解：Mm4⑴一MZm解：Mm4⑴一MZm=5m;2p沁6.70x1013rad/sec沁1.07x10i3HzWo=min—a5.99x1013rad/sec沁0.95x1013Hzmomaxa='2^-3.00x1013rad/sec沁0.48x1013HzmaxM(2)r\Woa4.41x10-2eVmaxrmoina3.95x10-2eVrA=1.97x10-2eVmax1eAw/kT—1

n：Woa0.221，'max■n'Woa0.276n：Woa0.221，'maxl丿min'maxcc?2兀Womax(4)O光速c—Xv，.?.九—一—a2.8x10-5m—28Womaxv3.5設有一維晶體，其原子的質(zhì)量均為m,而最近鄰原子間的力常數(shù)交替地等于卩和10卩,最近鄰的距離為a/2，試畫出色散關(guān)系曲線，并給出q=0和q=±n/a處的W(q)o解：設標為奇數(shù)的原子和附近為偶數(shù)的原子所處的環(huán)境不同，參看圖，p100P10卩xx2n-1xx2n-12nxx2n+12n+2fm級—10p(x—x)—p(x—x)2n+1TOC\o"1-5"\h\z原子的運動方程應是n=pQ2n+1x2n)p(2n2^12n+12n+22n+12n+12n即m鈕=p(10x+x一11x)2n2n+12n—12n—B2n+1+10x—11x2n)2n+—B2n+1+10x—11x2n)2n+1求格波解，令彳［Cn嚴—Wtx—AeL2

2nx2n+1Bi(2n+1^2-Wt]代入運動方程，可導出線性方程組為frup)A——w2A—丿B[L10eiqa/2+e-iqa/2~B—0mB—eiqa/2+10e—iqa/2mVmB令二—W2，從A,B有非零解的系數(shù)行列式等于零的條件可得m0C1W2—W2)—W4l(10eiqa/2+e-iqa/2)(giqa/2+10e—iqa/2)^=000可解出W2—W2(1±^20cosqa+101)色散關(guān)系見下圖q—0時，cosqa—1，W=、.；22w，w—0+0一q=+—時，cosqa=一1,⑷=、20w,⑷=、；2切a+o-o?0!!?0!!g3.6.在一維雙原子鏈中，如Mm>>1，求證Isinqa|\M2mcos2Isinqa|\M2mcos2qa)2M［證］由書中（3.22）式知，雙一維原子鏈聲學支ro2=_L(m+M》1—[1-4mMsin2qa"}1Mm(m+M)24mM0M>>4mM0M>>m，mMB(m+M)14mM={1-[1-sm2qa]1/2}mM2(m+M)2得roi2<<1由近似式G-xLu1-nx，(當x<<1)nx，坐sin坐sin2qam+Mu坐sin2qa,M.?.ro1sinqa|.?.ro1sinqa|對?；，由于M>>m，ro2ro2=B(m+M){1+[1-2mM4mM(.\]smqa加2}(M+m)2BM+m、4Mm4Mm、um{1+[(e)2一+cos2qa]1/2}丄{1+[()2+4mcos2qa]1/2}mM+mM

丄{1+1+丄也cos2qa}m2M?坐{1+竺cos2qa}mM：1+mcos2qa：1+mcos2qa)2Mcos2qaM兀3.7在一維雙原子晶格振動情況中，證明在布里淵區(qū)邊界q=±處，聲學支格波中所有2a輕原子m靜止，而光學支格波中所有重原子M靜止。畫出這時原子振動的圖象。A2Bcosqa兀?。圩C］由（3—18）第一式得右=，當q=±時cosqa=0且對聲學B2B-m?22a1/2代入上式即得：_0，故A=0,輕原子靜止再由（3—_0，故A=0,輕原子靜止再由（3—18）第二式得彳_A2Bcosqa2卩-M?2時cosqa_01/2且對光學支，，代入上式即得故B=0,重原子靜止B_0故B=0,重原子靜止A2B-2p—M3.8設固體的熔點T對應原子的振幅等于原子間距a的10%的振動，推證，對于簡單晶格,m接近熔點時原子的振動頻率?_-接近熔點時原子的振動頻率?_-1/2其中M是原子質(zhì)量。［解］當質(zhì)量為M的原子以頻率?及等于原子間距a的10%的振幅振動時，其振動能為:2M?22M?2m1（a）2即一個一維原子的平均能量為kT，于是有2泌2（帀|_kBTm，由此得2(50kTa2(50kTavM)1/2丿3.9按德拜近似，試證明髙溫時晶格熱容Cv=3NkB[1-2oexx4dx證明：由書(3.73)式可知C=9Nk(T/T0)3J0DT在髙溫時，T?0D，則在整個積分圍x為小量，因此可將上式中被積函數(shù)化簡為(exx\=(在髙溫時，T?0D，則在整個積分圍x為小量，因此可將上式中被積函數(shù)化簡為(exx\=(心卜匕一12Vx/2一e-x/2丿(x4X4沁x22X3)2X+——24丿1+乂12(、-X2

=X21一一I12丿將上式代入C的表達式，得C=9Nkvv(T/T0)3BD一1一601T0)51一丄1一丄2丫20???E=丄叱?6兀2Nv33

016兀2v3V=9Nk(T/T0)3-(空|bd31T丿二3NkB3.10設晶格中每個振子的零點振動能為號，試用德拜模型求三維晶格的零點振動能解：由八9）式知，狀態(tài)密度P（3）=g（3》=羨3則E=J3d8p(3)73=J3d—n3-3^—d3000022兀2v3=啞丄化33〃3=丄nV344兀2v3016兀2v3=丄nv3416兀2v3DV)1/3v9|=_v\N^D8D3.11在德拜近似的基礎(chǔ)上，討論由一個N個原子組成的二維晶格的比熱，證明在低溫下其比熱正比于T2證明：此題可推廣到任意維m,由于dN=gS>dq=Cdqm=C1qm—1dq=g心加3661661???g6)=Ciqm-1/dP|-1<dq???g6)=Ciqm-1/dP|-1<dq丿而德拜模型中p=vq,故g6)cqm-1C①m-1CcJkvBkjgVnpkB令巴=x,

kT則上式變?yōu)門m-iTOCTmJxp在低溫時rpx=DT8dkT則積分卩嚴十dx為一個于T無關(guān)的常數(shù)故CcTm對三維m=3CCT3vv對本題研究的二維m=2CcT2v對一維m=lCcTve2b3.12設某離子晶體中相鄰兩離子的相互作用勢為U「）=-+,b為待定常數(shù)，平rra衡間距ro=3xI。-10m，求線膨脹系數(shù)。解：由書上（3.114）式知，線膨脹系數(shù)gkB

解：由書上（3.114）式知，線膨脹系數(shù)gkB

f2r0'd2U1,g=——'d3U'dr21，g3!idr3丿ar0其中：f=2?r0由平衡條件Idr由平衡條件Idr丿r09bb=0r1004e22e24e22e290b0f=-+—2r32r11r30001(6e2990b)r40ri2丿0=52e23r40由于r=3x10-8m,e=4.806x10-ioCGSE0kkB=1.381x10-16erg/KkkB=1.381x10-16erg/K.?.a=13r0kBa1.46x10-5/K16e23.13已知三維晶體在q=0附近一支光學波的色散關(guān)系為3.133（q）=3—CAq2+Bq2+Cq2），試求格波的頻譜密度pO0xyz解：冋3—3=Aq2+Bq2+Cq20xyz-C-=13—3―0-C-=13—3―0C則3—3+3—3+―00—\o"CurrentDocument"AB4這是q空間的一個橢球面，其體積為-兀abc，而3—3—31/2—0B3—31/2—0Cq空間的狀態(tài)密度q空間的狀態(tài)密度p（q）=（丄=話，故橢球的總狀態(tài)數(shù)N為3J3JABC丿1/23—313/20故p（3故p（3）=d3=d34兀2JABC丿1/23—3|l/2=0V3—31/204兀2ABC第四章4.1晶體中空位和間隙原子的濃度是否相同？為什么？答：晶體中空位和間隙原子的濃度是相同的。在離子晶體中，由于電中性的要求，所以晶體中的空位和間隙原子一般都是成對出現(xiàn)，所以它們的濃度是相同的。4.2試從能量角度說明滑移方向必定是密排方向.試問當溫度為300K時在金里肖特基缺陷數(shù)與格點數(shù)那么由公式4.3試問當溫度為300K時在金里肖特基缺陷數(shù)與格點數(shù)那么由公式之比是多少？答：設肖特基缺陷數(shù)為n,格點數(shù)為N。nNnN二ekB-Eu可得n—0.67x1.6x10—19=ei.38xio-23x3oo=5.682*10-12N4.4某間隙原子在晶格的間隙位置間跳躍。該間隙原子在晶格中振動的頻率為2*10】5s-1,如該間隙原子在跳躍過程中需要克服的勢壘髙度為O.leV,求該原子在Is跳躍的次數(shù)。答：由公式-E-—av二vekBTo可得———0.1eV——v=vei.38xio-23x3oo=2*1015*0.02=4*1013o4.5在離子晶體中，由于電中性的要求，肖特基缺陷多成對地產(chǎn)生，令n代表正、負離子空位的對數(shù)，W是產(chǎn)生一對缺陷所需要的能量，N是原有的正、負離子對的數(shù)目。試證明：n/N=Bexp(-W/2kT)；B試求有肖特基缺陷后體積的變化△V/V，其中V為原有的體積。答：(1)設n對肖特基缺陷是從晶體部移去n個正離子和n個負離子而形成的。從N個正離子中形成n個正離子空位的可能方式數(shù)為N!N!W=1(N—n)!n!同時，從N個負離子中形成n個負離子空位的可能方式數(shù)也是N!N!W=2(N—n)!n!于是，在整個晶體中形成n對正、負離子空位的可能方式數(shù)N!N!W=吧廣[(n—n)!n!]2由此而引起晶體熵的增量為N!AS=kInW=2kInBB(N-n)!n!設形成一對正、負離子空位需要能量N!AS=kInW=2kInBB(N-n)!n!設形成一對正、負離子空位需要能量w,若不考慮缺陷出現(xiàn)對原子振動狀態(tài)的影響，則晶體自由能的改變N!AF=AU-TAS=nw-2kTinB(N-n)!n!1）dAF熱平衡時，（）=o，并應用斯特令公式InN!=NInN—n，從（1）式得dnTdAFdN-n()=w-2kT[NInN-(N-n)In(N-n)-ninn]=w-2kT[In(N-n)-Inn]=w-2kTin=0dnTBdnBBndntBdnn-w口=e2養(yǎng)因為實際上Nn,于是得n，n/N=Bexp（-W/2kT）2）對離子晶體的肖特基缺陷來說，每產(chǎn)生一對缺陷同時便產(chǎn)生了兩個新的結(jié)點，使體積增加。當產(chǎn)生n對正、負離子空位時，所增加的體積應該是AV=2na3式中a為離子最近鄰距離。因為V=2Na3為晶體原有的體積，有上式可得AV2na3nV2Na3N4.6已知擴散系數(shù)與溫度之間的關(guān)系為：D=De-ea/kBTo下列數(shù)據(jù)是鋅在銅晶體中擴散的實驗結(jié)果：T/K8781007117612531322D/m2?s-11.6*10-204.0*10-181.1*10-184.0*10-171.0*10-16試確定常數(shù)Do和擴散激活能EA.A答：由公式D=De-EA/kBT，可得o當T=878,D=1.6*10-20時,D=014.7銅和硅的空位形成能Eu分別是0.3eV和2.8eV。試求T=1000K時，銅和硅的空位濃度。答：由公式n_皿N=ekBBn-可得：對于銅—=e8.6x10-5X1000=0.03可得：Nn28對于硅—=e8.6xio-5xiooo=7.247x10-15N

4.8碘化鉀在不同溫度下的鉀蒸汽中增色，通過測試F帶的光吸收就可得F心的形成能EB。當溫度從5701上升到6201時，吸收常數(shù)增加了3.9%左右。假設光吸收的增加是由F心的數(shù)目增加引起的，試計算F心形成能E。B答：4.9考慮一體心立方晶格：（1）試畫出（110）面上原子的分布圖；（2）設有一沿［111］方向滑移、位錯線和［110］平行的刃位錯。試畫出在（110）面上原子的投影圖。答：如圖所示：4.10求體心立方、面心立方、六方密堆積等晶體結(jié)構(gòu)的最小滑移矢量的長度。答：滑移面往往是那些原子面密度較大的晶面，滑移向也總是原子密度較大的晶向（即沿該方向的周期最?。?。（1）體心立方：滑移面為（110）面，滑移向為［111］，最小滑移矢量b即［111］晶向上一個格點間距的長度。設晶格常數(shù)為a,則Ib1=a2（2）面心立方：滑移面為（111）,滑移向為［101］。最小滑移矢量b等于［101］方向上相鄰格點間的距離，即IbI=a2（3）六角密堆：滑移面是基面（0001）,滑移向是［2110］。［2110］晶向上原子間距為a,因此，IbI=a4.11在FCC晶格中存在一個位錯，其位錯線的方向用晶向指數(shù)表示為［11°］,該位錯滑移的方1-向和大小用伯格斯矢量表示為b=2［110］°試確定該滑移面的晶面指數(shù)，并問該位錯是刃位錯還是螺位錯。第六章6.】一維周期場中電子的波函數(shù)屮卜）應滿足布洛赫定理，若晶格常數(shù)為a，電子的波函數(shù)為⑴屮k（X）=.兀sm—xamama2mama2(2)屮(x)——icos3!xka（3）屮（x）二無f（x—Xa）f是某個確定的函數(shù)）ki——一g試求電子在這些狀態(tài)的波矢解：布洛赫函數(shù)為屮（x+a）——（x）kk1111)一(x+a)——sin(—x+兀)——一sin—xaaa110sm—(x+a)——eikasm—xaa兀eika=—1，ka=±兀，k=±一a⑵icos%+⑵icos%+a)=icosaf31x+3』Ia丿.3兀=一cosxa兀同理，/.eika=—1，ka=±兀，k=±—a九=一8(3)藝f(x—Xa+a)——藝fCx—(X—1)a1X———g九=一8X'=—8X=—g、、2neika——1，ka——0或2兀，k——0或—a6.2已知一維晶格中電子的能帶可寫成E6.2已知一維晶格中電子的能帶可寫成E（k）——叩f71)——coska+—cos2ka

ma2188丿，式中a是晶格常數(shù)，m是晶格常數(shù)，m是電子的質(zhì)量，求（1）能帶的寬度，（2）電子的平均速度,（3）在帶頂和帶底的電子的有效質(zhì)量2耳2dE(k)TOC\o"1-5"\h\z解：能帶寬度為AE——E一E，由極值條件——0,得maxmindksinka一—sin2ka——sinka一—sinkacoska——0\o"CurrentDocument"42上式的唯一解是sinka=0的解，此式在第一布里淵區(qū)的解為k=0或—a當k=0時，E（k）取極小值E.,且有Eminmin當k——時，E（k）取極大值E，且有Eamaxmax=2=2兀3=2=2兀3由以上的可得能帶寬度為Ae=Emax-Emin2叩ma2（2）電子的平均速度為v=丄°字ndkma(1、sinka-—sin2kaI43）帶頂和帶底電子的有效質(zhì)量分別為m*n2=叫coska-icos2ka、2=一―m3h2(1A-im*==mcoska-—cos2kak=0d2Edk212Jdk20k=0k=±伉ak=±ak=±壬a=2m6.3一維周期勢場為V(x)=~mW2b2-(x-naJ0當na-b<x<na+b當(n-1)a+b<x<na-b其中a=4b,W為常數(shù)，求此晶體第一及第二禁帶寬度解：據(jù)自由電子近似得知禁帶寬度的表示式為E=2VI，gn其中Vn是周期勢場V（x）傅立葉級數(shù)的系數(shù)，該系數(shù)為:V=丄『V(x2一ianxdxna-a/2求得，第一禁帶寬度為Eg1=2V.I=21fV(x1-曽xdxa-a/24腫b2-x21一,九丄fbmW2b2-x24b-b2os匚x]dx12b丿8mW2b2第二禁帶寬度為22I22IEg1=2V1=21-lx'adxa-a/2os^x]dx

os^x]dx

Ib丿E(k)=E-J00(glka+e—ika丄fbmW2b2-x24b-b2mW2b2兀26.4用緊束縛近似計算最近鄰近似下一維晶格s態(tài)電子能帶，畫出E(k),m*(k)與波矢的關(guān)系，證明只有在原點和布里淵區(qū)邊界附近，有效質(zhì)量才和波矢無關(guān)。解：根據(jù)緊束縛近似，E()=E—J—J丫elka001Rs對一維，最近鄰R=±as=E—J—Jcoska

001E(k)為余弦函數(shù)(圖省)有效質(zhì)量m*=”E=―廠)d2EVJa2coska丿idk2m*(k)的圖也省在原點附近，ka很小，coskaq1:.m*沁a:.m*沁1兀在布里淵區(qū)邊界，k=±，ka=±兀，coskaq—1a2Ja2丿=^-12Ja216.5某晶體電子的等能面是橢球面，坐標軸1，2，3互相垂直?！竗2k，坐標軸1，2，3互相垂直。mmm丿123求能態(tài)密度。zzzz解：由已知條件可將波矢空間電子能帶滿足的方程化為TOC\o"1-5"\h\zk2k2k22mE+2mE+2mE123—叩叩叩將上式與橢球公式一+「+=1a2b2c2比較可知，在波矢空間電子的等能面是一橢球面，與橢球的體積43兀abc比較可得到，能量為E的等能面圍成的橢球體積42—兀一'：2mmmE3/2'123dTdTE1/2dE能量區(qū)間ET（E+dE）電子的狀態(tài)數(shù)目VdzVdz二2&c)dTc2mmmE1/2dE兀2^3123V是晶體體積，電子的能態(tài)密度cN(E)==-Ve2mmmE1/2dE兀2叩'123Pcosakz6.6已知能帶為：ECk)=—a(osak+cosakPcosakz其中a>0，p>0，a為晶格常數(shù)，試求（1）能帶寬度兀（2）電子在波矢亍（1,1,1）狀態(tài)下的速度2a（3）能帶底附近電子的能態(tài)密度TOC\o"1-5"\h\zQE.解：（1）=aasinak=0，/.ka=n兀dkxxxQE.=aasinak=0，/.ka=n兀QkyyyQE=aasinak=0，ka=n兀Qkzz兀兀2兀兀2可看出，n為偶數(shù)時E為極小值，n為奇數(shù)時為極大值E=-aL1+C1)]-P-(-I)=2a+P頂E=-al+1]-P-1=-2a-P底故，能帶寬度A故，能帶寬度AE二E-E=4a+2p底(2)v=vi+vj(2)v=vi+vj+vk其中v=x1dE1.7=—aasinaknx1亜=1aasinaknyndky1dE1r=—apsinaknz兀在k=—(1,1,1)時2a=vy1=—apnv=—laaG+j)+apk]n(3)能帶底n為偶數(shù),可取為零，故(3)能帶底n為偶數(shù),可取為零，故kaxka均很小z據(jù)cosx沁1-—2(x<<1)有有E(k)=—a|I1——k2a2I+11——k2a2=-2a-p+丁=-2a-p+丁+aa2k2aa2k2pa2k2r+z22k2+2+k2aa2aa2aa2pa2用和6.5用和6.5題相同的方法，其中—E—EtE+2a+p，mn21pa2則：p(則：p(E)=叵古j2a+p)1/26.7用緊束縛模型求最近鄰近似的s態(tài)電子能帶公式，寫出二維正三角形網(wǎng)絡的能帶，計算電子的速度及有效質(zhì)量量。6個最近鄰的坐標為6.7用緊束縛模型求最近鄰近似的s態(tài)電子能帶公式，寫出二維正三角形網(wǎng)絡的能帶，計算電子的速度及有效質(zhì)量量。6個最近鄰的坐標為(a,0),(-a,0),faJ3]—,—a22l丿，12'~2代入上式并化簡得：E(k)=E(k)=E—J00Jcoska+2cos1fxka37xcoska22y電子速度：v二vi+vj，其中xy16E16Ev=xqQkxfsinka+sinka37xcoska22y1QE1QEv=yqQky2J3Jafcoska37xsinka22y由于1Q2E叩QkQkxyijxxa2J1q22coska+由于1Q2E叩QkQkxyijxxa2J1q22coska+ka\；37

cos^^coska22yyy3a2Jq2ka<37cosrcoska22yxy—、：3a2Jq2.ka.x：37

sinlsinka22y6.8用緊束縛近似計算面心立方晶格最近鄰近似下s態(tài)電子能帶(1)證明在k=0附近，能帶的等能面是球形的，導出有效質(zhì)量。(2)畫出［100］與［111］方向的E(k)曲線。(3)畫出k-k平面能量的等值線。xy解：(1)QE(k)=E—J—J工e洗gRs001Rs面心立方最近鄰有十二個原子，其Rs位置在ijk+a-2+a_20+a-20+a-20+a_2+a-2將這些R代入上式并簡化可得:kakakakakaxkakakakakaxCOS—y+COS—ycosr+cosrcos22222E()=E-J-4Jcos0=0附近，k,xkykz則得故E(k)=E01(ka)21(ka)21(ka)21(ka)21—-—x—1—-+1—-1—-z212丿212丿212丿2I2丿+1—2—x—I2丿1(ka￥1(ka￥均很小，利用COSx祖1—琴，(X〈〈l,—J—4J01(2+k2+k2)xyz,(I(I162E8J(a\2由于廣1=切*廣1=ii叩6k2in22Ja1其余m*=0ij2)在［100］方向，k=k=0，則yzE(k)=E—J—4J—8Jcoskxa00112即可按此函數(shù)作圖(圖省)在［111］方向，k=k=k=kxyz???E(k)=E—J—3x4Jcos2—=E—J—12Jcos2—00120012可據(jù)上函數(shù)作圖(圖省)4)在k—k平面，k=0xyz81ii81ii81ii81iiE—J—4J(cos匕cos1E—J—4J(cos匕cos1ka十cos空十cos1ka22y22x丿/.E(k)=001等值線即E(k)=C(C為常數(shù))6.9對體心立方晶格，用緊束縛法近似計算最近鄰近似下s態(tài)電子能帶，證明在帶底和帶頂附近等能面近似為球形，寫出電子的有效質(zhì)量。解：s態(tài)電子能帶可表示為E(k)=E—J—J工eikr01Rs+a+a+a

土一，土一，土一222對體心立方，最近鄰原子為8個，其Rs為:E()=E—J—J[el0+ei2"x+ky-k)嚴(一k+k)iaCk+k+k)

十e2xyz十e2xyz01)+e：化簡后即得：(J—8Jcos故E()(J—8Jcos故E()=E—001ka1717)—cos—kacos—kay2z丿22由于-1<cosxJ1，可看出學”時,ka?Cos~i=—12E(k)為極大值，即Emax=8J1kaCOST=kaCOST=1

2在帶底附近，由于kT0，ix2用cosx沁1——，則W=0，o即k.=o時，2iE(k)為極小值，即E=—8Jmin1故帶寬AE=E—E=16Jmaxmin1(ka￥i1(ka￥i-2(ka￥I2丿a2E(k)=E—J—8J001J一8J1一一(k2+k2+k2)yz這顯然是一個球形有效質(zhì)量(m=所以m*h22所以m*h22Ja21ka在帶頂附近，可寫為于一人i，Ai很小則coskia=cos(兀一Ai)=一cosAi沁這顯然也是個球形而(m*)-1而(m*)-1=(m*)-1=ii叩ak2x8J1ak2xh2m*2Ja216.10金屬鉍的導帶底部有效質(zhì)量倒數(shù)量為C*)1=aC*)1=axx0ayyayzayzazz求有效質(zhì)量量的各分量，并確定此能帶底部附近等能面的性質(zhì)解：C*)1的逆矩陣即為m*矩陣，用矩陣計算方法，可求得m*=

xxaxxm*yyam*=

xxaxxm*yya-a2yyzzyzm*=zz■yya-a2yyzzyzm*=m*=yzzy■yza-a2yyzzyz其余為0為確定等能面，在作為k矢量原點的能帶底部附近泰勒展開(有用的僅二階項),aE1a2E()并假定能帶底E=0,在能帶底一階導數(shù)為0,即=0，且=%*丿-1=aak叩akakjjiij故有E(k)=—h2(a2k2+ak2故有E(k)=—h2(a2xxxxyyyyzzzyzyz顯然等能面E(k)=c是一個橢球面固體物理第七章答案7.3（1）先決定導帶底及價帶頂?shù)臉O值位置dE(K)2h2k2h2(k-k)2++=03mcdkdE(k)_6h2k_v=—=0

dkm導帶極小值的能量h2k2h2E(k)=l+(k-k)2cc3mmc1h2k2a=4m4m(a丿價帶極大值的能量E==v6m6m(a丿禁帶寬度Eg為oE=E(E=E(k)-E(k)=gccvv4m(a丿6m(a丿12m(a丿2）導帶底電子有效質(zhì)量m*=cm*=c-1「22］=———+——_3mm_3=—m81d2E(k)ch2dk2價帶頂電子有效質(zhì)量m*=m*=c1d2E(k)h2dk2-13)Ap=hk一hkcvh2k2E=2m*h7.4重空穴能量比輕空穴小

7.57.5=e(npPe=2.51x10-19m-=2.51x10-19m-3pe(p+p)0.47xl.6xlO-19x(0.36+0.17)en7.6(1)利用類氫模型，InSb中施主雜質(zhì)的電離能為e4mE=——嚴=6.28x10-4eVd2s2h2(2)施主雜質(zhì)的玻爾半徑8h2h2ma==(—)8=6.36x10-8cmdme2me2mee(3)銻化銦為fee結(jié)構(gòu)，晶體的總體積V=Na3=2.72x10-22Ncm34兀一個施主雜質(zhì)所波及的體積為a3=10.77x10-10cm3d因此，雜質(zhì)之間不發(fā)生重迭的臨界雜質(zhì)數(shù)為：V——=2.526x10-7N4兀a33d每個原胞中含有4個原子，所以使雜質(zhì)間不發(fā)生重迭的最小雜質(zhì)濃度為2.526x2.526x10-7N4N=6.32x10-6at.%7.7運動方程m—+—V=-e(E+VxB)Vdte丿B平行于Z軸，載流子是電子時，=—e(E+BV)x

eVye=—e(E+BV)ye穩(wěn)態(tài)時，時間導數(shù)為0，eTeT2E—OTV—BV

mxeceyemyeet=—E+cotV

myecexe叟Emze其中，o其中，o=eB/m，稱為回旋頻率,c解得V

xeVVye1+(OT)2ce1eTeT—eE+emxmee(?t)Eyce1+(ot)2eete(OT)E+meeEycexmej=—(—e)nVxexej=—(—e)nVxexeeeE—―e—ec_eE1+(OT)2x1+(OT)2ycece=Q)E—Q)E11ex12eyj=—(—e)nVye其中ye=Q)E—Q)E11ey12exQ11L同理，np(ot)eece'v1+(OT)2ce…、‘Q)1+(OT)212ece當載流子是空穴時：TOC\o"1-5"\h\zj=Q)E—Q)Exh11hx12hyj=Q)E+Q)Eyh11hy12hx總電流j=(Q)+Q))E-(Q)+Q))Ex11e11hx12e12hyj=(Q)+Q))E—(Q)+Q))Ey11e11hy12e12hx2222令j=o求得：E11e11(hE代入j表達式，并由霍耳系數(shù)定義式得:yx(Q)+(Q)yx12e1