2024屆山東省青島市黃島區(qū)致遠(yuǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末檢測試題含解析

2024屆山東省青島市黃島區(qū)致遠(yuǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末檢測試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．下列函數(shù)中，滿足對定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)，恒有的函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）①②③④A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)2．已知，條件：，條件：，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3．若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是A. B.C. D.4．若，，則角的終邊在A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5．“”是“”成立的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要6．空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，則間的距離為A. B.C. D.7．不等式的解集是（）A B.C.或 D.或8．如果，且，那么下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則9．若－4<x<1，則（）A.有最小值1 B.有最大值1C.有最小值－1 D.有最大值－110．設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，，則A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)f（x）=log2（x2-5），則f（3）=______12．在中，三個(gè)內(nèi)角所對的邊分別為，，，，且，則的取值范圍為__________13．若、是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，則__________.14．下列命題中，正確命題的序號為______①單位向量都相等；②若向量，滿足，則；③向量就是有向線段；④模為的向量叫零向量；⑤向量，共線與向量意義是相同的15．已知點(diǎn)A(－1,1)，B(2，－2)，若直線l：x＋my＋m＝0與線段AB相交(包含端點(diǎn)的情況)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________________．16．在正方形ABCD中,E是線段CD的中點(diǎn),若,則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．計(jì)算求值：（1）（2）18．已知函數(shù)，設(shè).（1）證明：若，則；（2）若，滿足，求實(shí)數(shù)m的范圍.19．已知()，求：（1）；（2）.20．已知函數(shù)，記.（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得的定義域?yàn)闀r(shí)，值域?yàn)?？若存在，求出?shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，則說明理由.21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中且．設(shè)（）若，，，求方程在區(qū)間內(nèi)的解集（）若函數(shù)滿足：圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，在處取得最小值，試確定、和應(yīng)滿足的與之等價(jià)的條件

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】根據(jù)因?yàn)楹瘮?shù)滿足對定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)，恒有，可得函數(shù)的圖象是“下凸”，然后由函數(shù)圖象判斷.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足對定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)，恒有，所以函數(shù)的圖象是“下凸”，分別作出函數(shù)①②③④的圖象，由圖象知，滿足條件的函數(shù)有③一個(gè)，故選：A2、C【解題分析】分別求兩個(gè)命題下的集合，再根據(jù)集合關(guān)系判斷選項(xiàng).【題目詳解】，則，，則，因?yàn)?，所以是充分必要條件.故選：C3、C【解題分析】由題意，根據(jù)實(shí)數(shù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，可得，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得，即可得到答案.【題目詳解】由題意，根據(jù)實(shí)數(shù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得；故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中合理運(yùn)用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，合理得到的取值范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)由知角可能在第一、四象限；由知角可能在第三、四象限；綜上得角的終邊在箱四象限故正確答案為5、B【解題分析】通過和同號可得前者等價(jià)于或，通過對數(shù)的性質(zhì)可得后者等價(jià)于或，結(jié)合充分條件，必要條件的概念可得結(jié)果.【題目詳解】或，或，即“”是“”成立必要不充分條件，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了不等式的性質(zhì)以及充分條件，必要條件的判定，屬于中檔題.6、C【解題分析】分析：求出點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，直接利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式，即可求解結(jié)果.詳解：在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，則間的距離為，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查了空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的表示，以及空間中兩點(diǎn)間的距離的計(jì)算，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】將分式不等式移項(xiàng)、通分，再轉(zhuǎn)化為等價(jià)一元二次不等式，解得即可；【題目詳解】解：∵，，即，等價(jià)于且，解得或，∴所求不等式的解集為或，故選：D.8、D【解題分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可.【題目詳解】對于A，若，，滿足，但不成立，錯(cuò)誤；對于B，若，則，錯(cuò)誤；對于C，若，，滿足，但不成立，錯(cuò)誤；對于D，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，正確.故選：D.9、D【解題分析】先將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)－4<x<1，利用基本不等式求解.【題目詳解】又∵－4<x<1，∴x－1<0∴－(x－1)>0∴．當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝0時(shí)等號成立故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】由向量的加減法運(yùn)算化簡即可得解.【題目詳解】,移項(xiàng)得【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量的加減法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解題分析】利用對數(shù)性質(zhì)及運(yùn)算法則直接求解【題目詳解】∵函數(shù)f（x）=log2（x2-5），∴f（3）=log2（9-5）=log24=2故答案為2【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題12、【解題分析】∵，，且，∴，∴,∴在中，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴∴∴的取值范圍為答案：13、【解題分析】先通過根與系數(shù)的關(guān)系得到的關(guān)系，再通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可解得.【題目詳解】由題意：，所以或，且，所以，即，因?yàn)榛颍?故答案為：.14、④⑤【解題分析】由向量中單位向量，向量相等、零向量和共線向量的定義進(jìn)行判斷，即可得出答案.【題目詳解】對于①.單位向量方向不同時(shí)，不相等，故不正確.對于②.向量，滿足時(shí)，若方向不同時(shí)，不相等，故不正確.對于③.有向線段是有方向的線段，向量是既有大小、又有方向的量.向量可以用有向線段來表示，二者不等同，故不正確,對于④.根據(jù)零向量的定義，正確.對于⑤.根據(jù)共線向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，故正確.故答案為：④⑤15、【解題分析】本道題目先繪圖，然后結(jié)合圖像判斷該直線的位置，計(jì)算斜率，建立不等式，即可．【題目詳解】要使得與線段AB相交,則該直線介于1與2之間,1號直線的斜率為,2號直線的斜率為,建立不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為,所以或解得m范圍為【題目點(diǎn)撥】本道題考查了直線與直線的位置關(guān)系，結(jié)合圖像，判斷直線的位置，即可．16、【解題分析】詳解】由圖可知，，所以))所以，故，即，即得三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）1【解題分析】（1）以實(shí)數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算規(guī)則解之即可；（2）以對數(shù)運(yùn)算規(guī)則解之即可.【小問1詳解】【小問2詳解】18、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）先判斷為偶函數(shù)，再由單調(diào)性的定義可得函數(shù)在單調(diào)遞增，從而當(dāng)時(shí)，有，進(jìn)而可得結(jié)論，（2）將不等式轉(zhuǎn)化為，再由的奇偶性和單調(diào)性可得，所以將問題轉(zhuǎn)化為，換元后變形利用基本不等式可求得結(jié)果【小問1詳解】證明：因，所以函數(shù)為偶函數(shù).任取，不妨設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，所以，即，由單調(diào)性定義知，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，即，即【小問2詳解】由整理得，由（1）知，在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，易證在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，故，即，由題意知，，即令，因?yàn)?，由單調(diào)性可知，，由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.即，故.【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的證明，考查不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為，然后分離參數(shù)得，換元整理后利用基本不等式可求得結(jié)果，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題19、（1）；（2）.【解題分析】（1）用誘導(dǎo)公式化簡已知式為，已知式平方后可求得；（2）已知式平方后減去，再考慮到就可求得.【題目詳解】（1）由可得，所以，所以；（2），又因?yàn)?，所以，，所?【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是熟記誘導(dǎo)公式，以及，，之間的聯(lián)系即，.20、（1）；（2）奇函數(shù)，理由見解析；（3）不存在，理由見解析.【解題分析】(1)分別求f(x)和g(x)定義域，F(xiàn)(x)為這兩個(gè)定義域的交集；(2)先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再判斷F(－x)與F(x)的關(guān)系；(3)先根據(jù)定義域和值域求出m，n，a的范圍，再利用單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為方程有解問題.【小問1詳解】由題意知要使有意義，則有，得所以函數(shù)的定義域?yàn)椋骸拘?詳解】由(1)知函數(shù)F(x)的定義域?yàn)椋海P(guān)于原點(diǎn)對稱，函數(shù)為上的奇函數(shù).【小問3詳解】，假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)，則由可知令，則在上遞減，在上遞減，是方程，即有兩個(gè)在上的實(shí)數(shù)解問題轉(zhuǎn)化為：關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解令，則有，解得，又，∴故這樣的實(shí)數(shù)不存在.21、（1）解集為；（2）見解析.【解題分析】分析：（）由平面向量數(shù)量積公式、結(jié)合輔助角公式可得，令，從而可得結(jié)果；（）“圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且在處取得最小值”．因此，根據(jù)三角函數(shù)的圖象特征可以知道，，故有，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；此時(shí)，，對討論兩種情況可得使得函數(shù)滿足“圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且在處取得最小值的充要條件”是“，時(shí)，，；或當(dāng)時(shí)，，”.詳解：（）根據(jù)題意，當(dāng)，，時(shí)，，，則有或，即或，又因?yàn)?，故在?nèi)解集為（）解：因?yàn)椋O(shè)周期因?yàn)楹瘮?shù)須滿足“圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且在處取得最小值”因此，根據(jù)三角函數(shù)的圖象特征可以知道，，故有，∴，，又因?yàn)?，形如的函?shù)的圖象的對稱中心都是的零點(diǎn)，故需滿足，而當(dāng)，時(shí)，因?yàn)椋?；所以?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；此時(shí)，，∴，（i）當(dāng)，時(shí)，，