八年級最短路徑問題課件

最短路徑問題人教版-數(shù)學-八年級上冊第1課時最短路徑問題人教版-數(shù)學-八年級上冊第1課時知識回顧如圖，從點A到點B有四條路線可選，哪一條是最近的？容易得出，路徑（3）是最近的.依據(jù)“兩點之間，線段最短”.知識回顧如圖，從點A到點B有四條路線可選，哪一條是最近的？容如圖，點A是直線l外一點，點A到直線l的所有路線中，哪一條是最短的？容易得出，（2）是最短的.依據(jù)“垂線段最短”.l┐（1）（2）（3）?A如圖，點A是直線l外一點，點A到直線l的所有路線中，哪一條是如圖，直線l是線段AB的垂直平分線，點C是直線l上任意一點，則AC和BC的大小關系是什么？容易得出，AC=BC.依據(jù)“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等”.ABlC如圖，直線l是線段AB的垂直平分線，點C是直線l上任意一點，1、利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題.2、體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感受由實際問題轉化為數(shù)學問題的思想.1、利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題.思考：相傳古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫.有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖1中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地.到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題.這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”.lBA思考：相傳古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海這是個實際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？如圖所示：將A，B

兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線.??Bl那你能用數(shù)學語言說明這個問題所表達的意思嗎？A這是個實際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？如圖所示：將如圖：點A，B分別在直線l的同側，點C是直線l上的一個動點，當點C在什么位置的時候，AC+BC的值最?。咳绻cA，B在直線l的兩側，這時該如何求解？??ABl如圖：點A，B分別在直線l的同側，點C是直線l上的一個動點??ABl解析：連接A，B兩點，交直線l于點C，則點C即為所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.依據(jù)：兩點之間，線段最短.如圖：點A，B分別在直線l的兩側，點C是直線l上的一個動點，當點C在什么位置的時候，AC+BC的值最??？??ABl解析：連接A，B兩點，交直線l于點C，則點C即為所你能利用兩點分別在直線兩側的解題思路，來解決兩點在直線同一側的問題嗎？分析：如果我們能夠把點B轉移到直線l的另外一側B′，同時使得對直線上任意一點C，滿足BC=B′C，就可以將問題轉化為“兩點分別在直線兩側的情況”.那么在直線l上使得滿足BC=B′C的點應該怎么找呢？??ABl你能利用兩點分別在直線兩側的解題思路，來解決兩點在直線同一側如圖，作出點B關于直線l的對稱點B′，利用軸對稱的性質(zhì)可知：對于直線l上的任意一點C均滿足BC=B′C.此時，問題轉化為：當點C在直線l的什么位置時，AB+B′C的值最?。?B′容易得出：連接AB′交直線l于點C，則點C即為所求.??ABlC你能證明這個結論嗎？?如圖，作出點B關于直線l的對稱點B′，利用軸對稱的性質(zhì)可知：證明：在直線l上任意取一點C′（不與點C重合），連接AC′，BC′，B′C′.由軸對稱的性質(zhì)可得：BC=B′C，BC′=B′C′，則AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，所以AC+BC<AC′+B′C′.由點C′的任意性可知，AC+BC的值是最小的，故點C的位置符合要求.l??AB?B′CC′證明：在直線l上任意取一點C′（不與點C重合），連接AC′，1、直線異側的兩點到直線上一點距離和最短的問題.知識點1如圖，點A，B分別是直線l異側的兩個點，在直線l上找一點C使得AC+BC的值最小，此時點C就是線段AB與直線l的交點.??BlAC1、直線異側的兩點到直線上一點距離和最短的問題.知識點1如圖2、直線同側的兩點到直線上一點距離和最短的問題.如圖，點A，B分別是直線l同側的兩個點，在直線l上找一點C使得AC+BC的值最小，這時先作點B關于直線l的對稱點的B′，連接AB′交直線l于點C（也可以作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于點C），此時點C就是所求作的點.??ABlCB′知識點22、直線同側的兩點到直線上一點距離和最短的問題.如圖，點A，如圖，A，B兩個小鎮(zhèn)在河的同側，現(xiàn)要在筆直的河邊a上修建一個自來水廠分別向兩個鎮(zhèn)供水，如何選擇自來水廠的位置，可使用的水管最短？解：如圖，作點B關于河邊a的對稱點B′，連接AB′交河邊a于點P，則點P所在的位置為所求的自來水廠的位置.??ABa??B′P跟蹤訓練如圖，A，B兩個小鎮(zhèn)在河的同側，現(xiàn)要在筆直的河邊a上修建一個隨堂練習如圖，點A，B是直線l同側不重合的兩點，在直線l上求作一點C，使得AC+BC的長度最短.作法：①作點B關于直線l的對稱點B′；②連接AB′，與直線l相交于點C，則點C為所求作的點.在解決這個問題時沒有用到的知識或方法是（）A.轉化思想B.三角形兩邊之和大于第三邊C.兩點之間，線段最短D.三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內(nèi)角??ABlCB′隨堂練習如圖，點A，B是直線l同側不重合的兩點，在直線l上求如圖，點A，B是直線l同側不重合的兩點，在直線l上求作一點C，使得AC+BC的長度最短.作法：①作點B關于直線l的對稱點B′；②連接AB′，與直線l相交于點C，則點C為所求作的點.在解決這個問題時沒有用到的知識或方法是（）D分析：上述題目中應用了軸對稱把最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”來解決，該過程用到了“轉化思想”，“兩點之間，線段最短”，驗證是否為最短距離時利用了三角形兩邊之和大于第三邊.??ABlCB′如圖，點A，B是直線l同側不重合的兩點，在直線l上求作一點C兩棵樹的位置如圖所示，樹的底部分別為點A，B，有一只昆蟲沿著A至B的路徑在地面爬行，小樹的樹頂D處有一只小鳥想飛下來抓住小蟲后，再飛到大樹的樹頂C處，問小蟲在AB之間何處被小鳥抓住時，小鳥飛行路程最短，在圖中畫出該點的位置.兩棵樹的位置如圖所示，樹的底部分別為點A，B，有一只昆蟲沿著解：如圖，作點C關于AB的對稱點C′，連接DC′交AB于點E，則點E即為所求.也可作點D關于AB的對稱點D′，連接CD′同樣交AB于點E的位置，則點E即為所求.解：如圖，作點C關于AB的對稱點C′，連接DC′交AB于點E如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊上的一動點，要使EC+ED最小，請找點E的位置.分析：上述題目可以描述為，點C，D為線段AB同側的兩點，在線段AB上找到一點E使得CE+DE的值最小.ACDBE如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊上的解：如圖所示，作點D關于線段AB的對稱點D′，連接CD′交線段AB于點E，則點E即為所求，也就是使得EC+ED最小的位置.ACDD′BE如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊上的一動點，要使EC+ED最小，請找點E的位置.解：如圖所示，作點D關于線段AB的對稱點D′，連接CD′交線課堂小結最短路徑問題直線異側的兩點到直線上一點距離和最短的問題直線同側的兩點到直線上一點距離和最短的問題課堂小結最短路徑直線異側的兩點到直線上一點距離和直線同側的兩如圖，牧童在A處放牛，家在B處，A，B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD，若點A到河岸CD中點距離為600，則牧童從A處把牛牽到河邊飲水再回家，最短距離是（）

A.900B.1200C.1500D.1800ACDB如圖，牧童在A處放牛，家在B處，A，B到河岸的距離分別為AC分析：“牧童從A處把牛牽到河邊飲水再回家，最短距離”可以轉化為“點A，B均在河邊CD的同側，請在河邊CD上找一點E，使得AE+BE的值最小”.根據(jù)本節(jié)課所學的知識，點E比較容易找出，那AE+BE的值應該是多少呢？ACDB分析：“牧童從A處把牛牽到河邊飲水再回家，最短距離”可以轉化解：延長AC至點A′，使得A′C=AC，連接A′B交CD于點E，連接AE.則點E即為所求的點.分析：如圖，A′C=AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD.猜測E是CD的中點，則AE=600，所以AE+BE=1200.ACDBEA′.解：延長AC至點A′，使得A′C=AC，分析：如圖，A′C=解：∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACD=∠BDC=∠A′CD=90°.∵A′C=AC=BD，在△A′CE和△BDE中，

∠A′CE=∠BDE，

∠A′EC=∠BED，