數(shù)字圖像處理學(xué)(第4版)第9章-數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)原理

數(shù)字圖像處理學(xué)第9章數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)原理（第一講）9.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的發(fā)展

“數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)（MathematicalMorphology）是一種應(yīng)用于圖像處理和模式識別領(lǐng)域的新的方法。形態(tài)學(xué)是生物學(xué)的一個分支,常用它來處理動物和植物的形狀和結(jié)構(gòu)。

“數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)”的歷史可追溯到十九世紀的Eular.steiner.Crofton和本世紀的Minkowski。1964年，法國學(xué)者J.Serra對鐵礦石的巖相進行了定量分析，以預(yù)測鐵礦石的可軋性。幾乎在同時，G.Matheron研究了多孔介質(zhì)的幾何結(jié)構(gòu)、滲透性及兩者的關(guān)系，他們的研究成果直接導(dǎo)致“數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)”雛形的形成。

隨后，J.Serra和G.Matheron在法國共同建立了楓丹白露（Fontainebleau）數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)研究中心。在以后的幾年的研究中，他們逐步建立并進一步完善了“數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)”的理論體系，此后，又研究了基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的圖像處理系統(tǒng)。

“數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)”是一門建立在嚴格的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上的科學(xué)。G.Matheron于1973年出版的《Ensemblesaleatoiresetgeometrieintegrate》一書嚴謹而詳盡地論證了隨機集論和積分幾何，為數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)奠定了理論基礎(chǔ)。1982年，J.Serra出版的專著《ImageAnalysisandMathematicalMorphology》是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)發(fā)展的里程碑，它表明數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在理論上已趨于完備，在實際應(yīng)用中不斷深入。

此后，經(jīng)過科學(xué)工作者的不斷努力，J.Serra主編的專著相繼出版，1986年，CVGIP（ComputerVisionGraphicsandImageProcessing）發(fā)表了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)專輯，使得數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的研究呈現(xiàn)了新的景象。同時，楓丹白露研究中心的學(xué)者們又相繼提出了基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法的紋理分析模型系列，從而使數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的研究前景更加光明。

隨著數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)邏輯基礎(chǔ)的發(fā)展，其應(yīng)用開始向邊緣學(xué)科和工業(yè)技術(shù)方面發(fā)展。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域已不限于傳統(tǒng)的微生物學(xué)和材料學(xué)領(lǐng)域，80年代初又出現(xiàn)了幾種新的應(yīng)用領(lǐng)域，

如：工業(yè)控制、放射醫(yī)學(xué)、運動場景分析等。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在我國的應(yīng)用研究也很快，目前，已研制出一些以數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)為基礎(chǔ)的實用圖像處理系統(tǒng)，如：中國科學(xué)院生物物理研究所和計算機技術(shù)研究所負責，由軟件研究所、電子研究所和自動化所參加研究的癌細胞自動識別系統(tǒng)等。

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是一門綜合了多學(xué)科知識的交叉科學(xué)，它涉及微分幾何、積分幾何、測度論、泛函分析和隨機過程等許多數(shù)學(xué)理論，其中積分幾何和隨機集論是其賴以生存的基石。總之，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是建立在嚴格的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上而又密切聯(lián)系實際的科學(xué)。

用于描述數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的語言是集合論,因此,它可以提供一個統(tǒng)一而強大的工具來處理圖像處理中所遇到的問題。利用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)對物體幾何結(jié)構(gòu)的分析過程就是主客體相互逼近的過程。利用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的幾個基本概念和運算，將結(jié)構(gòu)元靈活地組合、分解，應(yīng)用形態(tài)變換序列達到分析的目的。

利用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)進行圖像分析的基本步驟有如下幾步：

①提出所要描述的物體幾何結(jié)構(gòu)模式，即提取物體的幾何結(jié)構(gòu)特征；

②根據(jù)該模式選擇相應(yīng)的結(jié)構(gòu)元素，結(jié)構(gòu)元素應(yīng)該簡單而對模式具有最強的表現(xiàn)力；③用選定的結(jié)構(gòu)元對圖像進行擊中與否（HMT）變換，便可得到比原始圖像顯著突出物體特征信息的圖像。如果賦予相應(yīng)的變量，則可得到該結(jié)構(gòu)模式的定量描述；④經(jīng)過形態(tài)變換后的圖像突出了我們需要的信息，此時，就可以方便地提取信息；

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法比其他空域或頻域圖像處理和分析方法具有一些明顯的優(yōu)勢。如：在圖像恢復(fù)處理中，基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的形態(tài)濾波器可借助于先驗的幾何特征信息利用形態(tài)學(xué)算子有效地濾除噪聲，又可以保留圖像中的原有信息；另外，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法易于用并行處理方法有效的實現(xiàn)，而且硬件實現(xiàn)容易；基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的邊緣信息提取處理優(yōu)于基于微分運算的邊緣提取算法，它不象微分算法對噪聲那樣敏感，同時，提取的邊緣也比較光滑；利用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法提取的圖像骨架也比較連續(xù)，斷點少。

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的核心運算是擊中與否變換（HMT），在定義了HMT及其基本運算膨脹（Dilation）和腐蝕(Erosion)后，再從積分幾何和體視學(xué)移植一些概念和理論，根據(jù)圖像分析的各種要求，構(gòu)造出統(tǒng)一的、相同的或變化很小的結(jié)構(gòu)元素進行各種形態(tài)變換。在形態(tài)算法設(shè)計中，結(jié)構(gòu)元的選擇十分重要，其形狀、尺寸的選擇是能否有效地提取信息的關(guān)鍵。

一般情況，結(jié)構(gòu)元的選擇本著如下幾個原則進行：

①結(jié)構(gòu)元必須在幾何上比原圖像簡單，且有界。當選擇性質(zhì)相同或相似的結(jié)構(gòu)元時，以選擇極限情況為益；

②結(jié)構(gòu)元的凸性非常重要，對非凸子集，由于連接兩點的線段大部分位于集合的外面，故而用非凸子集作為結(jié)構(gòu)元將得不到什么信息。

總之，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本思想和基本研究方法具有一些特殊性，掌握和運用好這些特性是取得良好結(jié)果的關(guān)鍵。9.2

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本概念和運算

在數(shù)學(xué)意義上，我們用形態(tài)學(xué)來處理一些圖像,用以描述某些區(qū)域的形狀如邊界曲線、骨架結(jié)構(gòu)和凸形外殼等。另外,我們也用形態(tài)學(xué)技術(shù)來進行預(yù)測和快速處理如形態(tài)過濾，形態(tài)細化，形態(tài)修飾等。而這些處理都是基于一些基本運算實現(xiàn)的。

用于描述數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的語言是集合論。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)最初是建立在集合論基礎(chǔ)上的代數(shù)系統(tǒng)。它提出了一套獨特的變換和概念用于描述圖像的基本特征。這些數(shù)學(xué)工具是建立在積分幾何和隨機集論的基礎(chǔ)之上。這決定了它可以得到幾何常數(shù)的測量和反映圖像的體視性質(zhì)。

集合代表圖像中物體的形狀，例如：在二進制圖像中所有黑色像素點的集合就是對這幅圖像的完整描述。在二進制圖像中，當前集合指二維整形空間的成員，集合中的每個元素都是一個二維變量，用(x，y)表示。

按規(guī)則代表圖像中的一個黑色像素點。灰度數(shù)字圖像可以用三維集合來表示。在這種情況下，集合中每個元素的前兩個變量用來表示像素點的坐標，第三個變量代表離散的灰度值。在更高維數(shù)的空間集合中可以包括其它的圖像屬性，如顏色和時間。

形態(tài)運算的質(zhì)量取決于所選取的結(jié)構(gòu)元和形態(tài)變換。結(jié)構(gòu)元的選擇要根據(jù)具體情況來確定，而形態(tài)運算的選擇必須滿足一些基本約束條件。這些約束條件稱為圖像定量分析的原則。

（2）尺度變換兼容性：設(shè)縮放因子λ

是一個正的實常數(shù)，λX

表示對圖像X

所做的相似變換，則尺度變換兼容性原則可表示如下：(9—2)

(9-4)

（5）形態(tài)運算的基本性質(zhì)：除了一些特殊情況外，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)處理一般都是不可逆的。實際上，對圖像進行重構(gòu)的思想在該情況下是不恰當?shù)?。任何形態(tài)處理的目的都是通過變換去除不感興趣的信息，保留感興趣的信息。在形態(tài)運算中的幾個關(guān)鍵性質(zhì)如下：9.2.2數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本定義及基本算法

集合論是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基礎(chǔ)，在這里我們首先對集合論的一些基本概念作一總結(jié)性的概括介紹。對于形態(tài)處理的討論,我們將從兩個最基本的模加處理和模減處理開始。它們是以后大多數(shù)形態(tài)處理的基礎(chǔ)。

1.基本的定義

（1）集合：具有某種性質(zhì)的確定的有區(qū)別的事物的全體。如果某種事物不存在，稱為空集。集合常用大寫字母A,B,C,…

表示，空集用Φ

表示。

公式(9—14)不是現(xiàn)在形態(tài)學(xué)文獻中膨脹的唯一定義。然而，前面這個定義有一個明顯的優(yōu)勢，因為當結(jié)構(gòu)元素B被看為卷積模板時有更加直觀的概念。盡管膨脹是基于集合的運算，而卷積是基于算術(shù)運算，但是B關(guān)于原點的“映射”及而后連續(xù)的平移使它可以滑過集合(圖像)A的基本過程類似于卷積過程。

這樣實線內(nèi)的所有點構(gòu)成了A被B的膨脹。圖9—3(d)表示預(yù)先設(shè)計的一個結(jié)構(gòu)元素，其目的是為了得到一個垂直膨脹比水平膨脹大的結(jié)果。圖9—3(e)顯示為用此構(gòu)成元素膨脹后得到的結(jié)果。圖9—3膨脹操作的例子

圖9—4表示了類似于圖9—3的一個過程。象以前一樣，集合A在圖9—4(c)用虛線表示作為參考。實線表示若B的原點平移至x點超過此界限，則A不能完全包含B。這樣，在這個實線邊界內(nèi)的點構(gòu)成了A被B的腐蝕。

圖9—4(d)畫出了伸長的結(jié)構(gòu)元素，圖9—4(e)顯示了A被此元素腐蝕的結(jié)果。注意原來的集合被腐蝕成一條線了。圖9—4腐蝕操作的例子

膨脹和腐蝕運算的一些性質(zhì)對設(shè)計形態(tài)學(xué)算法進行圖像處理和分析是非常有用的，下面列出幾個較重要的性質(zhì)：這些性質(zhì)的重要性是顯而易見的。如分配性，如果用一個復(fù)雜的結(jié)構(gòu)元素對圖像作膨脹運算，則可以把這個復(fù)雜結(jié)構(gòu)元分解為幾個簡單的結(jié)構(gòu)元素的并集，然后，用幾個簡單的結(jié)構(gòu)元素對圖像分別進行膨脹運算，最后將結(jié)果再作并集運算，這樣一來就可以大大簡化運算的復(fù)雜性。4.開運算（Opening）和閉運算(Closing)如前邊所見，膨脹擴大圖像，腐蝕收縮圖像。另外兩個重要的形態(tài)運算是開運算和閉運算。開運算一般能平滑圖像的輪廓，削弱狹窄的部分，去掉細的突出。閉運算也是平滑圖像的輪廓，與開運算相反，它一般熔合窄的缺口和細長的彎口，去掉小洞，填補輪廓上的縫隙。

圖9-5(a)結(jié)構(gòu)元B沿集合A的內(nèi)側(cè)邊界滾動(黑點表示B的原點)；(b)結(jié)構(gòu)元；(c)粗線是開運算的外部邊界；(d)完全的開運算(陰影部分)。（a）(b)(c)(d)

圖9-6(a)結(jié)構(gòu)元B沿集合A的外側(cè)邊界滾動；(b)粗線是閉操作的外部邊界；(c)完全的閉操作(陰影部分)。(a)(b)(c)

圖9—7開運算和閉運算的圖示

(9-27)圖9-8圖釋了這個概念；為了多樣性，這里我們用了一個非圓形的結(jié)構(gòu)元。圖9—8開運算的擬合特性閉運算也有類似的幾何解釋。再次用滾動球的例子，只不過我們在邊界外邊滾動該球（開運算和閉運算是對偶的，所以讓小球在外面滾動是合理的）。有了這種解釋，圖9—7(i)就很容易從圖9—7(a)得到。

圖9—9閉運算的幾何解釋

這些性質(zhì)有助于對用開運算和閉運算構(gòu)成的形態(tài)濾波器時所得到的結(jié)果的理解。例如，用開運算構(gòu)造一個濾波器。我們參考上面的性質(zhì)：①結(jié)果是輸入的子集；②單調(diào)性會被保持；③多次同樣的開運算對結(jié)果沒有影響。最后一條性質(zhì)有時稱為冪等性。同樣的解釋適合于閉運算。圖9—10

形態(tài)學(xué)濾波

考慮圖9—10(a)的簡單的二值圖像，它包含一個被噪聲影響的矩形目標。這里噪聲用暗元素(陰影)在亮的背景表示，而光使暗目標為空的。注意集合包含目標和背景噪聲，而目標中的噪聲構(gòu)成了背景顯示的內(nèi)部邊界。目的是去除噪聲及其對目標的影響，并對目標的影響越小越好。

因為在這個理想的例子中，所有的背景噪聲成分的物理大小均小于結(jié)構(gòu)元素，背景噪聲在開運算的腐蝕過程中被消除。（腐蝕要求結(jié)構(gòu)元素完全包含于被腐蝕的集合內(nèi)。）而目標內(nèi)的噪聲成分的大小卻變大了(圖9—10(b))，

這在意料之中，原因是目標中的空白事實上是內(nèi)部邊界，在腐蝕中會變大。最后，圖9—10(e)圖9—10(c)示出了形態(tài)閉運算的結(jié)果。內(nèi)部的邊界在閉運算后的膨脹運算中被消除了，如圖9—10(d)所示。

圖9—911

擊中（Hit）擊不中(Miss)變換圖例

讓每個圖形的原點位于它的重心。如果用一個小窗口W包含X，X關(guān)于W的本地背景是圖9—11(b)中的集合差(W-X)。圖9—11(c)為集合A的補。圖9—11(d)示出A被X腐蝕的結(jié)果。A被X的腐蝕在X中只有X的原點，這樣X才能完全包含于A。圖9—11(e)表示集合A的補被本地背景集合(W-X)的腐蝕；外圍陰影區(qū)域也是腐蝕結(jié)果的一部分。

數(shù)字圖像處理學(xué)第9章數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)原理（第二講）9.3一些基本形態(tài)學(xué)算法

在前面討論的背景知識基礎(chǔ)之上，我們可以探討形態(tài)學(xué)的一些實際應(yīng)用。當處理二值圖像時，形態(tài)學(xué)的主要應(yīng)用是提取表示和描述圖像形狀的有用成分。特別是用形態(tài)學(xué)方法提取某一區(qū)域的邊界線、連接成分、骨骼、凸殼的算法是十分有效的。

此外，區(qū)域填充、細化、加粗、裁剪等處理方法也經(jīng)常與上述算法相結(jié)合在預(yù)處理和后處理中使用。這些算法的討論大部分采用的是二值的圖像，即只有黑和白兩級灰度，1表示黑，0表示白。

圖9-12解釋了邊緣提取的過程。它表示了一個簡單的二值圖像，一個結(jié)構(gòu)元素和用公式(9-32)得出的結(jié)果。圖9-12(b)中的結(jié)構(gòu)元素是最常用的一種，但它決不是唯一的。如果采用一個5×5全“1”的結(jié)構(gòu)元素，可得到一個二到三個像素寬的邊緣。應(yīng)注意的是，當集合B的原點處在集合的邊界時，結(jié)構(gòu)元素的一部分位于集合之外。這種條件下的通常的處理是約定集合邊界外的值為0。

圖9—12邊緣提取算法示意圖

9．3．2區(qū)域填充算法：

下面討論的是一種基于集合膨脹，取補和取交的區(qū)域填充的簡單的算法。在圖9—13中，A表示一個包含一個子集的集合，子集的元素為8字形的連接邊界的區(qū)域。從邊界內(nèi)的一點P開始，目標是用1去填充整個區(qū)域。

圖9—13

區(qū)域填充算法

公式(9—34)在形式上與(9—33)相似。唯一的不同是用A代替了AC，這是因為所提取的全部元素（也就是，相連組成部分的元素）均標記為1。每一迭代步和A求交集可除去以標記為0的元素為中心的膨脹。圖9—14圖釋了公式(9—34)的操作技巧。這里，結(jié)構(gòu)元素的形狀是8連接的，與區(qū)域填充算法一樣，以上討論的結(jié)果可以應(yīng)用于任何有限的包含在集合A中的連接部分。

圖9—14連接部分提取算法圖中（a）集A包含一個連接部分Y和初始點P；(b)是結(jié)構(gòu)元；(c)第一次迭代結(jié)果；(d)第二次迭代結(jié)果；(e)最終結(jié)果。

圖9—15凸殼算法示例

圖9—15凸殼算法示例

(9—39)圖9—16

細化處理

圖9—16

細化處理

(9—41)

如圖9—17(d)所示，這個過程可能產(chǎn)生一些不連貫的點，這取決于A的性質(zhì)。因此，用這種方法粗化通常要進行一個簡單的后處理步驟來清除不連貫的點。從圖9—17(c)可以看出，細化的背景為粗化過程形成一個邊界。這個有用的性質(zhì)在直接使用公式(9—41)實現(xiàn)粗化過程中不會出現(xiàn)，這是用背景細化來實現(xiàn)粗化的一個主要原因。圖9—17

粗化處理

9．3．7骨骼化算法

利用形態(tài)學(xué)方法提取一個區(qū)域的骨格可以用腐蝕和開運算表示。也就是，A的骨骼記為S(A)，骨骼化可以表示如下：(9-42)(9-43)

共執(zhí)行k次，K是A被腐蝕為空集以前的最后一次迭代的步驟。即：(9-44)

等式(9—42)和等式(9—43)明確表明集合A的骨骼S(A)可以由骨骼子集Sk(A)的并得到，以上等式同樣表明可以通過等式（9—42）從這些子集中重構(gòu)。（9—45）

(9-46)圖9-18的解釋說明了以上討論的概念。圖9—18骨骼化處理結(jié)果9.3.8裁剪

由于圖形細化和骨骼化運算法有可能殘留需要在后續(xù)處理中去除的寄生成分，因而剪貼方法成為對圖形細化、骨骼化運算的必要補充。下面將討論裁剪問題，我們將運用已成熟的理論來闡明如何通過融合現(xiàn)今已有的技術(shù)來解決這樣的一個問題。

分析每個待識別字符的骨骼形狀是自動識別手寫字符的一種常見處理方法。由于對組成字符的筆畫的不均勻腐蝕，字符的骨架常常帶有“毛刺”（一種寄生成分）。這里將提出一種解決這種問題的形態(tài)學(xué)方法。首先我們假設(shè)寄生成分“毛刺”的長度不超過3個象素。

圖9—19(a)顯示了手寫字符“a”的骨骼。在字符最左邊部分的寄生成分是一種我們感興趣的典型的待去除成分。去除的方法是基于不斷減少該字符的終點，對寄生成分加以抑制。當然不可否認這樣也不可避免的會消去（或減少）被處理字符其余必要的骨架，

但是缺少的結(jié)構(gòu)信息是在我們最多不超過3個象素的假設(shè)前提下，即最多減少3個象素的字符結(jié)構(gòu)信息的前提下。對于一個輸入集合A，通過一系列用于檢測字符端點的結(jié)構(gòu)元素的細化處理，達到我們所希望的結(jié)果。即：(9-47)公式(9-47)中{B}表示在圖9-19(b)和(c)中的結(jié)構(gòu)元序列。結(jié)構(gòu)元的序列包含兩個不同的結(jié)構(gòu)，每一個結(jié)構(gòu)將對全部八個元素作90°的旋轉(zhuǎn)，圖9-19(b)中的“×”表示一個“不用考慮”的情況，在某種意義上，不管該位置上的值是0還是1都毫無關(guān)系。

許多圖形學(xué)文獻記載的結(jié)果都是基于類似于圖9—19(b)中單一結(jié)構(gòu)的運用基礎(chǔ)之上的，不過不同的是，在第一列中多了“不用考慮”的狀態(tài)而已。這樣的處理是不完善的。例如，這個元素將標識圖9—19(a)位于第八排，第四列作為最后一點的點，如果減去該元素將破壞這一筆的連接性。圖9—17裁剪的例子(a)是原像，(b)和(c)是結(jié)構(gòu)元素，（d）細化三次的結(jié)果，（e）端點，(f)在（a）的條件下端點的膨脹，（g）裁剪后的圖像。圖9—19裁剪的例子連續(xù)對A運用等式(9—47)三次將生成圖9—19(d)中的集合。下一步將是把字符“恢復(fù)”到最初的形狀，同時將寄生的成分去除。這首先需要建立包含圖9—19(e)所有邊緣信息的集合，

(9—48)

(9—49)

最后，X3和X1的并生成了最后的結(jié)果：(9—50)正如圖9—19(g)中所示。

在更復(fù)雜的情況下，使用公式(9—49)有時可以撿拾一些寄生分枝的“尖端”。如果分支端點離骨骼較近時，這種情況便會發(fā)生。盡管可以通過等式(9—47)減少，但是由于它們是A中的有效點而在膨脹處理中再次出現(xiàn)。

除非只有所有的寄生元素再次獲得的情況下（當這些寄生元素與字符筆畫相比不夠長時，這將是一種出現(xiàn)機率非常少的情況），如果寄生元素處在非連接區(qū)域，那末檢測和減少寄生元素才會變得容易一些。

在這一點上一種自然而然的想法就是必須有一種方法來解決這個問題。例如，我們可以通過運用公式(9—47)，僅僅對被刪除點進行跟蹤和對所有的留下的端點進行再連接。這樣的選擇是正確的，它的優(yōu)點是使用簡單的形態(tài)結(jié)構(gòu)來解決所有的問題。表9—1總結(jié)了前邊討論的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法及其結(jié)果，圖9.20示出了所使用的基本結(jié)構(gòu)元素。表9—1形態(tài)學(xué)結(jié)論和特性的總結(jié)表9—1形態(tài)學(xué)結(jié)論和特性的總結(jié)（續(xù)）

表9—1形態(tài)學(xué)結(jié)論和特性的總結(jié)（續(xù)）

表9—1形態(tài)學(xué)結(jié)論和特性的總結(jié)（續(xù)）

圖9—20基本形態(tài)學(xué)結(jié)構(gòu)元素9.4灰度圖像的形態(tài)學(xué)處理

前邊針對二值圖像的形態(tài)學(xué)處理的基本運算作了系統(tǒng)的介紹，這些基本算法可方便地推廣至灰度圖像的處理。這一節(jié)我們將討論對灰度圖像的基本處理，即：膨脹、腐蝕、開運算、閉運算。由此建立一些基本的灰度形態(tài)運算法則。

這一節(jié)的重點是運用灰度形態(tài)學(xué)提取描述和表示圖像的有用成分。特別是，我們將通過形態(tài)學(xué)梯度算子開發(fā)一種邊緣提取和基于紋理的區(qū)域分割算法。同時，我們將討論在預(yù)處理及后處理步驟中非常有用的平滑及增強處理算法。與前邊二值圖像形態(tài)學(xué)處理理論不同的是在以下的討論中我們將處理數(shù)字圖像函數(shù)而不是集合。設(shè)f(x,y)

是輸入圖像，b(x,y)

是結(jié)構(gòu)元素，它可被看作是一個子圖像函數(shù)。如果Z表示實整數(shù)的集合，同時假設(shè)(x,y)是來自ZXZ的整數(shù)，f和b是對坐標為(x,y)像素灰度值的函數(shù)（來自實數(shù)集R的實數(shù)）。如果灰度也是整數(shù)，則Z可由整數(shù)R所代替。9.4.1膨脹

9.4.2腐蝕

9.4.3開和閉運算

9.4.4灰度形態(tài)學(xué)的應(yīng)用

(9—51)

位移參數(shù)(s-x)和(t-y)必須包含在函數(shù)f的定義域內(nèi)，此時它模仿二值膨脹運算定義。在這里兩個集合必須至少有一個元素相交疊。還可以注意到，公式(9—51)很類似與二維卷積公式，同時，在這里用“最大”代替卷積求和并以“相加”代替相乘。

下面我們將用一維函數(shù)來解釋公式(9-51)中的運算原理。對于僅有一個變量的函數(shù)，公式(9-51)可以簡化為(9-52)

在卷積中，f(-x)僅是f(x)關(guān)于x軸原點的映射，正象卷積運算那樣，相對于正的s，函數(shù)f(s-x)將向右移，對于-s，函數(shù)f(s-x)將向左移。

其條件是(s-x)必須在f的定義域內(nèi)，x的值必須在b的定義域內(nèi)。這意味著f和b將相覆蓋，即b應(yīng)包含在f內(nèi)。這和二值圖像膨脹定義要求的情形是類似的，即倆個集合至少應(yīng)有一個元素是相互覆蓋的。最后，與二值圖像的情況不同，不是結(jié)構(gòu)元素b而是f平移。

圖9—21灰度膨脹圖例

由于膨脹操作是由結(jié)構(gòu)元素形狀定義的鄰域中選擇f+b的最大值，因而通常對灰度圖像的膨脹處理方法可得到兩種結(jié)果：（1）如果所有的結(jié)構(gòu)元素都為正，則輸出圖像將趨向比輸入圖像亮；（2）黑色細節(jié)減少或去除取決于在膨脹操作中結(jié)構(gòu)元素相關(guān)的值和形狀。9.4.1膨脹

9.4.2腐蝕

9.4.3開和閉運算

9.4.4灰度形態(tài)學(xué)的應(yīng)用

與二元腐蝕的定義類似，所有的結(jié)構(gòu)元素將完全包含在與被腐蝕的集合內(nèi)。還應(yīng)注意到公式(9-53)的形式與二維相關(guān)公式相似，只是用“最小”取代求和，用減法代替乘積。

如果只有一個變量時，我們可以用一維的腐蝕來說明公式(9—53)的原理。此時，表達式可簡化為:

不同于二值圖像腐蝕定義，操作中是f在平移,而不是結(jié)構(gòu)元素b在平移。公式(9—53)可以把b寫成平移函數(shù)，由于f在b上滑動同b在f上滑動在概念上是一致的。圖9—22展示了通過圖9—22(b)的結(jié)構(gòu)元素腐蝕圖9—22(a)函數(shù)的結(jié)果。圖9—22灰度腐蝕圖例

正如公式(9—53)所示，腐蝕是在結(jié)構(gòu)元素定義的領(lǐng)域內(nèi)選擇(f-b)的最小值，因而，通常對灰度圖像的膨脹處理可得到兩種結(jié)果：（1）如果所有的結(jié)構(gòu)元素都為正，則輸出圖像將趨向比輸入圖像暗；（2）在比結(jié)構(gòu)元素還小的區(qū)域中的明亮細節(jié)經(jīng)腐蝕處理后其效果將減弱。減弱的程度取決于環(huán)繞亮度區(qū)域的灰度值以及結(jié)構(gòu)元素自身的形狀和幅值。與求補、映射相關(guān)的膨脹、腐蝕是有互補性的，即：

（9—55）

其中:

9.4.1膨脹

9.4.2腐蝕

9.4.3開和閉運算

9.4.4灰度形態(tài)學(xué)的應(yīng)用

圖像的開和閉運算有一個簡單的幾何解釋。

假設(shè)看到一個三維的圖像函數(shù)f(x,y)（象一個地貌地圖），x和y是空間坐標軸，第三坐標軸是亮度坐標軸（即：f的值）。在重現(xiàn)中，圖像作為一個平面顯示，其中的任意點(x,y)是f在該點坐標值。

假設(shè)我們想用球形結(jié)構(gòu)元素b對f作開運算，這時可將b看作“滾動的球”。B對f的開運算處理在幾何上可解釋為讓“滾動球”沿f的下沿滾動，經(jīng)這一“滾動”處理，所有的比“小球”直徑小的峰都磨平了。圖9—23解釋了這一概念。圖9—23(a)為解釋簡單把灰度圖像簡化為連續(xù)函數(shù)剖面線。9—23(b)顯示了“滾動球”在不同的位置上滾動，9—23(c)顯示了沿函數(shù)剖面線結(jié)構(gòu)元素b對f開運算處理的結(jié)果。所有小于球體直徑的波峰值、尖銳度都減小了。

在實際運用中，開運算處理常用于去除較小的亮點（相對結(jié)構(gòu)元素而言），同時保留所有的灰度和較大的亮區(qū)特征不變。腐蝕操作去除較小的亮的細節(jié)，同時使圖像變暗。如果再施以膨脹處理將增加圖像的亮度而不再引入已去除的部分。圖9—23開和閉運算的圖例

圖9—23(d)顯示了結(jié)構(gòu)元素b對f的閉操作處理。此時，小球（結(jié)構(gòu)元素）在函數(shù)剖面上沿滾動，圖9—23(e)給出了處理結(jié)果，只要波峰的最窄部分超過小球的直徑則波峰保留原來的形狀。

在實際運用中，閉運算處理常用于去除圖像中較小的暗點（較結(jié)構(gòu)元素而言），同時保留原來較大的亮度特征。最初的膨脹運算去除較小暗細節(jié)，同時也使圖像增亮。隨后的腐蝕運算將圖像調(diào)暗而不重新引入已去除的部分。

這些表達式的使用類似于對應(yīng)的二值表達式。正如在二值情況下，對開運算處理和閉運算處理性質(zhì)(ii)和性質(zhì)(iii)被分別稱作單調(diào)增加和等冪。9.4.1膨脹

9.4.2腐蝕

9.4.3開和閉運算

9.4.4灰度形態(tài)學(xué)的應(yīng)用

根據(jù)前邊討論的灰度形態(tài)學(xué)的基本運算，下邊介紹一些簡單的形態(tài)學(xué)實用處理算法，這些處理都是針對灰度圖像進行的。(1)形態(tài)學(xué)圖像平滑一種獲得平滑的方法是將圖像先進行閉運算處理然后再進行開運算處理，處理結(jié)果將去除或消減亮斑和暗斑。(2)形態(tài)學(xué)圖像梯度除了前面對去除亮點和暗斑處理外，膨脹和腐蝕處理常用于計算圖像的形態(tài)梯度，梯度用g表示，則：(9-60)(a)(b)

圖9-24形態(tài)學(xué)梯度處理的結(jié)果。(a)原圖像，(b)形

態(tài)學(xué)梯度圖像。

經(jīng)過形態(tài)學(xué)梯度處理，使輸入圖像灰度變化更加尖銳，與利用象Sobel算子這樣的一類處理方法所獲得的梯度圖像相反，運用對稱結(jié)構(gòu)元素獲得的形態(tài)學(xué)梯度將較少受邊緣方向的影響，這一優(yōu)點的獲得是以運算量顯著增加為代價的。（3）頂帽（Top-hat）變換.

所謂的圖像形態(tài)頂帽（Top-hat）變換用h來表示，其定義為：(9-61)公式中f是輸入圖像，b是結(jié)構(gòu)元函數(shù)。這一變換的最初命名是由于用平頂圓柱和平行六面體作為結(jié)構(gòu)元函數(shù)，因此，得名Top-hat（頂帽）變換，它常被用于陰影的細節(jié)增強處理。

(4)

底帽(bottom-hat)變換f的底帽變換定義為f的閉操作減去f：

(9-62)頂帽變換用于暗背景上的亮目標，而底帽變換則用于相反的情況。當涉及到這兩個變換時，常常分別稱為白頂帽變換和黑底帽變換。頂帽變換的一個重要用途是校正不均勻光照的影響。（5）紋理分割.

圖9—25(a)是一幅包含兩個紋理區(qū)的圖像。我們的目的是分割出兩個紋理區(qū)并提取兩個區(qū)域的邊界。由于閉運算可去除圖