適用于老高考新教材2023屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)搶分練2含解析

Page4搶分練2(時(shí)間:30分鐘,滿分:24分)1.(12分)已知橢圓C1:x2a2+y2b2=(1)求橢圓C1的方程;(2)已知B,A分別為橢圓C1的左、右頂點(diǎn),P為橢圓C1上不同于A,B的任一點(diǎn),在拋物線C2:y2=2px(p>0)上存在兩點(diǎn)Q,R,使得四邊形AQPR為平行四邊形,求p的最小值.2.(12分)(2022·廣東二模)已知函數(shù)f(x)=xenx-nx(n∈N*且n≥2)的圖象與x軸交于P,Q兩點(diǎn),且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè).(1)求點(diǎn)P處的切線方程y=g(x),并證明:當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥g(x);(2)若關(guān)于x的方程f(x)=t(t為實(shí)數(shù))有兩個(gè)正實(shí)根x1,x2,證明:|x1-x2|<2t

搶分練21.解(1)由題意,得e=ca=32,ab=2,a2=(2)由(1)知A(2,0),設(shè)Q(x1,y1),R(x2,y2),P(x3,y3),如圖,連接AP,QR,交于點(diǎn)D(x0,y0).∵四邊形AQPR為平行四邊形,∴D為AP,QR的中點(diǎn)且QR與x軸既不垂直也不平行.設(shè)QR:y=kx+m(k≠0),與C2的方程聯(lián)立消y得k2x2+2(km-p)x+m2=0,Δ=4(km-p)2-4k2m2>0,即-2km+p>0,①∴x∴x0=x1+x22=-km-pk又x0=x3+22,y0∴x3=2x0-2=-2(km-p)k2-2,y3∴P-2(km-p)k∵點(diǎn)P在曲線C1上,代入可得[-2(km-p)k2-2]

24+2pk2=1,即令2pk=sinθ,②km-pk由②得k=2psinθ,代入③,得代入①得-2km+p=-2p+8p21+cosθ+p>0,解得p>1+cosθ8,∵sinθ≠0,∴cosθ<1,∴1+cos∴p的最小值為142.(1)解令f(x)=0,得xenx-nx=0,所以x=0或enx=n,即x=0或x=lnn因?yàn)辄c(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè),所以P(0,0),Qlnn因?yàn)閒'(x)=(nx+1)enx-n,所以f'(0)=1-n.得點(diǎn)P處的切線方程為y=(1-n)x,即g(x)=(1-n)x.當(dāng)x≥0時(shí),f(x)-g(x)=xenx-nx-(1-n)x=x(enx-1),因?yàn)閤≥0,n∈N*且n≥2,所以nx≥0,所以enx≥1,即enx-1≥0.所以x(enx-1)≥0,所以f(x)≥g(x).(2)證明不妨設(shè)x1≤x2,且只考慮x≥0的情形.因?yàn)閒'(x)=(nx+1)enx-n,所以f'lnnn=nlnnn+1elnn所以點(diǎn)Q處的切線方程為y=nlnnx-lnnn=(nlnn)x-(lnn)2,記h(x)=(nlnn)x-(ln令F(x)=f(x)-h(x)=xenx-nx-[(nlnn)x-(lnn)2]=xenx-(n+nlnn)x+(lnn)2,x≥0,設(shè)G(x)=F'(x)=(nx+1)enx-(n+nlnn),則G'(x)=n(nx+2)enx>0,所以G(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增.又因?yàn)镕'lnnn=nlnnn+1elnn所以當(dāng)x∈0,lnnn時(shí),F'(當(dāng)x∈lnnn,+∞時(shí),F'(所以F(x)在0,lnnn所以F(x)在x=lnn即F(x)≥Flnnn=lnnnelnn-(n+nlnn)lnn所以當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥h(x).設(shè)方程h(x)=t的根為x'2,則x'2=t+易知h(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,由h(x2)≤f(x2)=t=h(x'2),所以x2≤x'2.對(duì)于(1)中g(shù)(x)=(1-n)x,設(shè)方程g(x)=t的根為x'1,則x'1=t1易知g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,由(1)知g(x1)≤f(x1)=t=g(x'1),所以x'1≤x1.所以x2-x1≤x'2-x'1=t+(lnn)2n因?yàn)閚lnn-(n-1)=n(lnn-1)+1,易知當(dāng)n≥3時(shí),lnn-1>0,故n(lnn-1)+1>0(n≥3);當(dāng)n=2時(shí),2(ln2-1)+1=ln4-1>0.所以nlnn>n-1>0,所以0<1nlnn記φ(x)=f'(x)=(nx+1)enx-n,x≥0,則φ'(x)=n(nx+2)enx>0恒成立.所以φ(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,因?yàn)閒'(0)=1-n<0,f'lnnn=nlnn>0,所以存在x0∈0,lnnn使得f'(所以當(dāng)x∈[0,x0)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),f'(x)>0.所以f(x)在[0,