新高考2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破精練第47講概率分布教師版

第47講概率分布一．選擇題（共13小題）1．（2021春?陽(yáng)東縣校級(jí)期中）若，，其中，則等于A． B． C． D．【解答】解：．故選：．2．（2021春?故城縣校級(jí)期中）如果隨機(jī)變量，且，，則等于A． B． C． D．【解答】解：隨機(jī)變量，且，，，，解得．故選：．3．（2021春?興慶區(qū)校級(jí)期末）變量的分布列如又圖所示，其中，，成等差數(shù)列，若，則的值是01A． B． C． D．【解答】解：，，成等差數(shù)列，，由變量的分布列，知：，解得，，，．故選：．4．（2021?浙江一模）甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的期望為A． B． C． D．【解答】解：依題意知，的所有可能值為2，4，6，設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠?，則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為．若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒(méi)有影響．從而有，，，故．故選：．5．（2021春?館陶縣校級(jí)期中）已知，隨機(jī)變量的分布列如下，則當(dāng)增大時(shí)01A．增大，增大 B．減小，增大 C．增大，減小 D．減小，減小【解答】解：，當(dāng)增大時(shí)，減小，，在上隨的增大而增大，故選：．6．（2021?榆林一模）設(shè)，隨機(jī)變量的分布01則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，A．增大，增大 B．增大，減小 C．減小，增大 D．減小，減小【解答】解：當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，減小，數(shù)據(jù)分布整體變小，數(shù)據(jù)更集中，所以減小，減小，故選：．7．（2021?柯橋區(qū)二模）已知隨機(jī)變量滿足，，，，2若，則A．， B．， C．， D．，【解答】解：由數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)可知：，，則，，因?yàn)椋?，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，，則，，所以，因?yàn)樗?，，故選：．8．（2021春?菏澤期中）拋擲2顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和是一個(gè)隨機(jī)變量，則等于A． B． C． D．【解答】解：拋擲2顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和是一個(gè)隨機(jī)變量，基本事件總數(shù)，包含的基本事件有：，，，，，，共6個(gè)，．故選：．9．（2021春?故城縣校級(jí)期末）已知隨機(jī)變量的分布列為，，2，，則等于A． B． C． D．【解答】解：隨機(jī)變量的分布列為，，2，，則．故選：．10．（2021春?林芝地區(qū)期末）已知隨機(jī)變量的分布列為130.160.440.40則A．1.32 B．1.71 C．2.94 D．7.64【解答】解：由隨機(jī)變量的分布列，得：，．故選：．11．（2021?浙江模擬）已知，隨機(jī)變量，的分布列如下：01210則下列正確的是A． B． C． D．【解答】解：，恒成立，，依題意，，與不能說(shuō)明大小關(guān)系．所以．同理：．，故選：．12．（2021?西湖區(qū)校級(jí)模擬）已知，為實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量，的分布列如下：0101若，隨機(jī)變量滿足，其中隨機(jī)變量相互獨(dú)立，則取值范圍的是A． B． C．， D．【解答】解：，，又，解得：，．，，．．隨機(jī)變量滿足，其中隨機(jī)變量相互獨(dú)立，．．則．故選：．13．（2021春?濱湖區(qū)校級(jí)期中）已知隨機(jī)變量的分布列是：0123當(dāng)變化時(shí)，下列說(shuō)法正確的是A．，均隨著的增大而增大 B．，均隨著的增大而減小 C．隨著的增大而增大，隨著的增大而減小 D．隨著的增大而減小，隨著的增大而增大【解答】解：；；又因?yàn)?，即，所以隨著的增加而增加，隨著的增加而增大．故選：．二．多選題（共1小題）14．已知甲盒中僅有1個(gè)球且為紅球，乙盒中有個(gè)紅球和個(gè)藍(lán)球，，且，，從乙盒中隨機(jī)抽取個(gè)球放入甲盒中．（a）放入個(gè)球后，甲盒中含有的紅球的個(gè)數(shù)記為；（b）放入個(gè)球后，從甲盒中取1個(gè)球是紅球的概率記為．則A． B． C． D．【解答】解：，，故，故，即對(duì)錯(cuò)；，，則，故，故錯(cuò)對(duì)；故選：．三．填空題（共3小題）15．（2021春?大荔縣期末）設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，，2，3，則的值為【解答】解：隨機(jī)變量的分布列為，，2，3，，，，由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)得：，解得．故答案為：．16．（2021春?岳麓區(qū)校級(jí)月考）設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，則的值為．【解答】解：因?yàn)殡S機(jī)變量的分布列為，所以根據(jù)分布列的性質(zhì)有，所以，解得．故答案為：．17．（2021?溫嶺市校級(jí)期中）已知，隨機(jī)變量的分布列如表．若時(shí)，；在的變化過(guò)程中，的最大值為．012【解答】解：；，時(shí)，取最大值，此時(shí)．故答案為：，2．四．解答題（共12小題）18．（2013春?北辰區(qū)校級(jí)期中）甲、乙兩人進(jìn)行某項(xiàng)對(duì)抗性游戲，采用“七局四勝”制，即先贏四局者為勝，若甲、乙兩人水平相當(dāng)，且已知甲先贏了前兩局，求：（1）乙取勝的概率；（2）比賽進(jìn)行完七局的概率．（3）記比賽局?jǐn)?shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）乙取勝有兩種情況一是乙連勝四局，其概率二是第三局到第六局中乙勝三局，第七局乙勝，其概率，所以乙勝概率為．（2）比賽進(jìn)行完7局有兩種情況：一是甲勝，第3局到第6局中甲勝一局，第7局甲勝，其概率．二是乙勝，同（1）中第二種情況，，比賽進(jìn)行完七局的概率為：．（3）由題意得，5，6，7，，，，，所以的分布列為4567．19．（2021春?濰坊期中）甲、乙兩個(gè)乒乓球選手進(jìn)行比賽，他們每一局獲勝的概率均為，且每局比賽互補(bǔ)影響，規(guī)定“七局四勝”，即先贏四局者勝，若已知甲先贏了前兩局，求：（Ⅰ）乙取勝的概率；（Ⅱ）設(shè)比賽局?jǐn)?shù)為，求的分布列．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)甲先勝了前兩局時(shí)，乙取勝的性質(zhì)有兩種：第一種是乙連勝三局，第二種是在第三局到第六局，乙勝了三局，第七局乙勝，第一種情況下乙取勝的概率為：，第二種情況下乙取值的概率為：，甲先贏了前兩局，乙取勝的概率：．（Ⅱ）由已知得的可能取值為4，5，6，7，，，，，的分布列為：456720．（2013秋?贛州期末）甲、乙兩名教師進(jìn)行乒乓球比賽，采用七局四勝制（先勝四局者獲勝）．若每一局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為．現(xiàn)已賽完兩局，乙暫時(shí)以領(lǐng)先．（1）求甲獲得這次比賽勝利的概率；（2）設(shè)比賽結(jié)束時(shí)比賽的總局?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解答】解（1）甲獲得這次比賽勝利情況有二，一是比賽六局結(jié)束，甲連續(xù)贏了四局，一是比賽了七局，甲在后五局中贏了四局，且最后一局是甲贏，由此得甲獲得這次比賽勝利的概率為，甲獲得這次比賽勝利的概率．（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為4，5，6，7，，，，．隨機(jī)變量的分布列為4567隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為．21．（2021春?東城區(qū)期末）甲，乙二人進(jìn)行乒乓球比賽，已知每一局比賽甲勝乙的概率是，假設(shè)每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（Ⅰ）比賽采用三局兩勝制，即先獲得兩局勝利的一方為獲勝方，這時(shí)比賽結(jié)束．求在一場(chǎng)比賽中甲獲得比賽勝利的概率；（Ⅱ）比賽采用三局兩勝制，設(shè)隨機(jī)變量為甲在一場(chǎng)比賽中獲勝的局?jǐn)?shù)，求的分布列和均值；（Ⅲ）有以下兩種比賽方案：方案一，比賽采用五局三勝制；方案二，比賽采用七局四勝制．問(wèn)哪個(gè)方案對(duì)甲更有利．（只要求直接寫(xiě)出結(jié)果）【解答】解：（Ⅰ）甲獲得比賽勝利包含二種情況：①甲連勝二局；②前二局甲一勝一負(fù)，第三局甲勝．甲獲得比賽勝利的概率為：．（Ⅱ）由已知得的可能取值為0，1，2，，，．隨機(jī)變量的分布列為：012數(shù)學(xué)期望．（Ⅲ）方案一，比賽采用五局三勝制；方案二，比賽采用七局四勝制．方案二對(duì)甲更有利．22．（2021?浙江模擬）一個(gè)袋中有大小相同的標(biāo)有1，2，3，4，5，6的6個(gè)小球，某人做如下游戲，每次從袋中拿一個(gè)球（拿后放回），記下標(biāo)號(hào)．若拿出球的標(biāo)號(hào)是3的倍數(shù)，則得1分，否則得分．（1）求拿4次至少得2分的概率；（2）求拿4次所得分?jǐn)?shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）設(shè)拿出球的號(hào)碼是3的倍數(shù)的為事件，則（A），拿4次至少得2分包括2分和4分兩種情況．，（5分）（2）的可能取值為，，0，2，4，則；，分布列為024（14分）23．（2008?西城區(qū)一模）盒內(nèi)有大小相同的9個(gè)球，其中2個(gè)紅色球，3個(gè)白色球，4個(gè)黑色球．規(guī)定取出1個(gè)紅色球得1分，取出1個(gè)白色球得0分，取出1個(gè)黑色球得分．現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個(gè)球．（Ⅰ）求取出的3個(gè)球顏色互不相同的概率；（Ⅱ）求取出的3個(gè)球得分之和恰為1分的概率；（Ⅲ）設(shè)為取出的3個(gè)球中白色球的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解答】（Ⅰ）解：由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件為從9個(gè)球中任取3個(gè)球有種結(jié)果，而滿足條件取出的3個(gè)球顏色互不相同有種結(jié)果，記“取出1個(gè)紅色球，1個(gè)白色球，1個(gè)黑色球”為事件，由古典概型公式得到．（Ⅱ）解：由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件為從9個(gè)球中任取3個(gè)球有種結(jié)果，而滿足條件取出的3個(gè)球得分之和恰為1分有兩種種結(jié)果，包括取出1個(gè)紅色球，2個(gè)白色球和取出2個(gè)紅色球，1個(gè)黑色球記“取出1個(gè)紅色球，2個(gè)白色球”為事件，有種結(jié)果．“取出2個(gè)紅色球，1個(gè)黑色球”為事件，有種結(jié)果，其中它們之間是互斥事件，．（Ⅲ）解：可能的取值為0，1，2，3．，，，．的分布列為：的數(shù)學(xué)期望．24．（2014?南開(kāi)區(qū)二模）已知暗箱中開(kāi)始有3個(gè)紅球，2個(gè)白球（所有的球除顏色外其它均相同）．現(xiàn)每次從暗箱中取出一個(gè)球后，再將此球以及與它同色的5個(gè)球（共6個(gè)球）一起放回箱中．（Ⅰ）求第二次取出紅球的概率；（Ⅱ）求第三次取出白球的概率；（Ⅲ）設(shè)取出白球得5分，取出紅球得8分，求連續(xù)取球3次得分的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)第次取出白球、紅球的概率分別為，，第二次取出紅球的概率．（Ⅱ）三次取的過(guò)程共有以下情況：白白白、白紅白、紅白白、紅紅白，第三次取出白球的概率是：．（Ⅲ）連續(xù)取球三次，得分的情況共有8種：，，，，，，，，，，，，的分布列為：15182124．25．（2016?汕頭模擬）一個(gè)袋中有若干個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球．已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是．（Ⅰ）若袋中共有10個(gè)球，求白球的個(gè)數(shù)；從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．（Ⅱ）求證：從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)黑球的概率不大于．并指出袋中哪種顏色的球個(gè)數(shù)最少．【解答】解：（Ⅰ）記“從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球”為事件，設(shè)袋中白球個(gè)數(shù)為，則（A），解得，白球個(gè)數(shù)是5個(gè)．隨機(jī)變量的取值為0，1，2，3，，，，，的分布列為：0123．證明：（Ⅱ）設(shè)袋中有個(gè)球，其中個(gè)黑球，由題意，得，，，，記“從袋中任意取出兩個(gè)球，至少有1個(gè)黑球”為事件，則（B），白球的個(gè)數(shù)比黑球多，白球個(gè)數(shù)多于，黑球個(gè)數(shù)少于，故袋中紅球個(gè)數(shù)最少．26．（2021?洛陽(yáng)期末）袋子中裝有形狀，大小完全相同的小球若干，其中紅球個(gè)，黃球個(gè)，藍(lán)球個(gè)；現(xiàn)從中隨機(jī)取球，規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分．（1）若從該袋子中任取一個(gè)球，所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望和方差分別為和，求；（2）在（1）的條件下，當(dāng)袋子中球的總數(shù)最少時(shí)，從該袋中一次性任取3個(gè)球，求所得分?jǐn)?shù)之和大于等于6的概率．【解答】解：（1）由已知得的分布列為：123故，①，，②由①②解得，，．（2）結(jié)合（1）知，當(dāng)袋子中球的總數(shù)量少時(shí)，紅、黃、藍(lán)球的個(gè)數(shù)分別是3，2，1，共6個(gè)球，從中任取3個(gè)，得分之和記為，則，，．27．（2013?天元區(qū)校級(jí)模擬）某公司是否對(duì)某一項(xiàng)目投資，由甲、乙、丙三位決策人投票決定，他們?nèi)硕加小巴狻薄ⅰ爸辛ⅰ?、“反?duì)”三類票各一張，投票時(shí)，每人必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為，他們的投票相互沒(méi)有影響，規(guī)定：若投票結(jié)果中至少有兩張“同意”票，則決定對(duì)該項(xiàng)目投資；否則，放棄對(duì)該項(xiàng)目的投資．（1）求該公司決定對(duì)該項(xiàng)目投資的概率；（2）求該公司放棄對(duì)該項(xiàng)目投資且投票結(jié)果中最多有一張“中立”票的概率．【解答】解：（1）該公司決定對(duì)該項(xiàng)目投資的概率為．（2）該公司放棄對(duì)該項(xiàng)目投資且投票結(jié)果中最多有一張“中立”票，有以下四種情形：“同意”票張數(shù)“中立”票張數(shù)“反對(duì)”票張數(shù)事件003事件102事件111事件012（A），（B），（C），（D），、、、互斥，（A）（B）（C）（D）．28．（2021?長(zhǎng)沙月考）有編號(hào)為1，2，3的三只小球和編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子，將三只小球逐個(gè)隨機(jī)地放入四個(gè)盒子中，每只球的放置相互獨(dú)立．（1）求三只小球恰在同一個(gè)盒子中的概率；（2）求三只小球在三個(gè)不同盒子且每只球編號(hào)與所在盒子編號(hào)不同的概率；（3）記錄所有至少有一只球的盒子，以表示這些盒子編號(hào)的最小值，求．【解答】解：（1）記“三只小球恰在同一個(gè)盒子”為事件，則（A）；（2）記“三只小球在三個(gè)不同盒子中，且每只球的編號(hào)與所在盒子編號(hào)不同”為事件，則，，事件，互斥，（B）；（3）的可能取值為1，2，3，4，，，，，則．29．（2021?江陰市校級(jí)月考）濰坊市為切實(shí)保障疫情防控期間全市食品質(zhì)量安全，采取食品安全監(jiān)督抽檢和第三方托管快檢室相結(jié)合的方式，全面加強(qiáng)食品安全檢驗(yàn)檢測(cè)據(jù)了解，灘坊市市場(chǎng)監(jiān)管部門(mén)組織開(kāi)展對(duì)全市部分生產(chǎn)企業(yè)、