中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破（全國通用）：專題19 378與578模型（原卷版）

專題19378與578模型模型的概述：邊長為3、7、8或5、7、8的三角形。問題一：如圖所示，當(dāng)兩個(gè)三角形的邊長為3、7、8和5、7、8時(shí)，求這兩個(gè)三角形面積。思路：1）過點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M設(shè)BM=x則AM=3+x在Rt?ACM中AM2+CM2=AC2即CM2=AC2-AM2在Rt?BCM中BM2+CM2=BC2即CM2=BC2-BM2∴AC2-AM2=BC2-BM2即82-（3+x）2=72-x2解得x=1∴CM=43∴S?ABC=12AB?CM=12?3?432）過點(diǎn)F作FN⊥DE于點(diǎn)N設(shè)DN=x則NE=5-x在Rt?DNF中DN2+NF2=DF2即NF2=DF2-DN2在Rt?ENF中NE2+NF2=EF2即NF2=EF2-NE2∴DF2-DN2=EF2-NE2即72-x2=82-（5-x）2解得x=1∴NF=43∴S?DEF=12DE?NF=12?5?43=10問題二：如圖所示,已知?ABC為等邊三角形，AC=8，AD=3,BD=5,CH為高求?ACD、?BCD面積思路：根據(jù)勾股定理/銳角三角函數(shù)可求得CH=43所以S?ACD12AD?CH=12?3?43S?BCD=12BD?CH=12?5?43=總結(jié)：1）邊長為3、7、8和5、7、8的兩個(gè)三角形可以構(gòu)成一個(gè)邊長為8的等邊三角形，且該等邊三角形的高(CH)即為兩個(gè)三角形的高。2）邊長為3、7、8和5、7、8的兩個(gè)三角形中邊長為7所對的角為60°?！九鄡?yōu)過關(guān)練】1．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，則∠C＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°2．（2023秋·浙江溫州·九年級?？计谀┻呴L為5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（

）．A．90° B．150° C．135° D．120°3．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，則∠B＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°4．（2021·全國·八年級專題練習(xí)）在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，則△ABC的面積為（

）A．24 B．56 C．48 D．1125．（2017·湖北武漢·中考真題）已知一個(gè)三角形的三邊長分別為5，7，8．則其內(nèi)切圓的半徑為（

）A． B． C． D．6．（2019春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）已知△ABC的邊長分別為5，7，8，則△ABC的面積是（）A．20 B．10 C．10 D．28二、填空題7．（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA的長度分別為3，7，8，則△ABC的內(nèi)切圓Ⅰ的半徑為_________．8．（2019秋·河北·八年級?？茧A段練習(xí)）若△ABC的三邊長分別為5，7，8，△DEF的三邊長分別為5，2x，3x－5，若這兩個(gè)三角形全等，則△DEF的周長為______________，x的值為_______________．9．（2018·廣西柳州·校考一模）已知△ABC的三邊長分別為5，7，8，△DEF的三邊分別為5，2x，3x﹣5，若兩個(gè)三角形全等，則x=__．10．（2019秋·上?！ぞ拍昙壭？茧A段練習(xí)）已知與是相似形，如果三邊分別長為5，7，8，的最長邊與最短邊的差為6，那么的周長是_________．11．（2018秋·上海黃浦·九年級格致中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知與相似，若的三邊分別為，的最長邊與最短邊之差為則_________________．12．（2021·山西·九年級專題練習(xí)）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，三斜即指三角形的三條邊長，可以用該方法求三角形面積．若改用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言表示，其形式為：設(shè)為三角形三邊，為面積，則，這是中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶之一．而在文明古國古希臘，也有一個(gè)數(shù)學(xué)家海倫給出了求三角形面積的另一個(gè)公式，若設(shè)（周長的一半），則（1）嘗試驗(yàn)證．這兩個(gè)公式在表面上形式很不一致，請你用以為三邊構(gòu)成的三角形，分別驗(yàn)證它們的面積值；（2）問題探究．經(jīng)過驗(yàn)證，你發(fā)現(xiàn)公式①和②等價(jià)嗎？若等價(jià)，請給出一個(gè)一般性推導(dǎo)過程（可以從或者）；（3）問題引申．三角形的面積是數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)幾何度量值，很多數(shù)學(xué)家給出了不同形式的計(jì)算公式．請你證明如下這個(gè)公式：如圖，的內(nèi)切圓半徑為，三角形三邊長為，仍記，為三角形面積，則．13．（2019春·山東淄博·八年級淄博市臨淄區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┪覈糯鷶?shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形的三邊長，求它的面積