中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破（全國(guó)通用）：專題24 特殊的平行四邊形-矩形（原卷版）

專題24特殊的平行四邊形-矩形【考查題型】【知識(shí)要點(diǎn)】矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。矩形的性質(zhì)：1）矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2）矩形的四個(gè)角都是直角；3）對(duì)角線互相平分且相等；4）矩形既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形。矩形的對(duì)稱中心是矩形對(duì)角線的交點(diǎn)；矩形有兩條對(duì)稱軸，矩形的對(duì)稱軸是過(guò)矩形對(duì)邊中點(diǎn)的直線；矩形的對(duì)稱軸過(guò)矩形的對(duì)稱中心。【推論】1）在直角三角形中斜邊的中線，等于斜邊的一半。2）直角三角形中，30度角所對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半。矩形的判定：1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；

2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。矩形的面積公式：面積=長(zhǎng)×寬考查題型一利用矩形的性質(zhì)求解典例1．（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）一塊直角三角板按如圖所示方式放置在一張長(zhǎng)方形紙條上，若，則的度數(shù)為（

）A．28° B．56° C．36° D．62°變式1-1．（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD為一個(gè)正在倒水的水杯的截面圖，杯中水面與CD的交點(diǎn)為E，當(dāng)水杯底面BC與水平面的夾角為27°時(shí)，∠AED的大小為（

）A．27° B．53° C．57° D．63°變式1-2．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）兩個(gè)矩形的位置如圖所示，若，則（

）A． B． C． D．變式1-3．（2022·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，為上的點(diǎn)，，，則______．變式1-4．（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）“美麗鄉(xiāng)村”建設(shè)使我市農(nóng)村住宅舊貌變新顏，如圖所示為一農(nóng)村民居側(cè)面截圖，屋坡，分別架在墻體的點(diǎn)，處，且，側(cè)面四邊形為矩形，若測(cè)得，則_________．變式1-5．（2021·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，分別為，的中點(diǎn)，以為斜邊作，，連接，．若，則________．考查題型二利用矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)典例2．（2022·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，分別以點(diǎn)A和C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N，作直線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．變式2-1（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，分別以A，C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，作直線MN分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AF，若BF＝3，AE＝5，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC C．AB＝4 D．AC＝2AB變式2-2．（2022·貴州銅仁·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，則D的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．變式2-3．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，連接BD，分別以B、D為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于P、Q兩點(diǎn)，作直線PQ，分別與AD、BC交于點(diǎn)M、N，連接BM、DN．若，．則四邊形MBND的周長(zhǎng)為（

）A． B．5 C．10 D．20變式2-4．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E、F分別為、的中點(diǎn)，、相交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)H，則線段的長(zhǎng)度是（

）A． B．1 C． D．變式2-5．（2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)B和D為圓心，以大于BD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E和F；②作直線EF分別與DC，DB，AB交于點(diǎn)M，O，N．若DM＝5，CM＝3，則MN＝_____．變式2-6．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點(diǎn)E、F分別是AB、DC上的動(dòng)點(diǎn)，EF∥BC，則AF+CE的最小值是_____．變式2-7．（2022·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線上，且，連接．若，則__________．變式2-8．（2021·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，E為的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)E作的垂線交于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接CF．已知，，則_________．變式2-9．（2021·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以點(diǎn)B為圓心、BC的長(zhǎng)為半徑畫弧交AD于點(diǎn)E，再分別以點(diǎn)C，E為圓心、大于CE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，作射線BF交CD于點(diǎn)G，則CG的長(zhǎng)為__________________．變式2-10．（2021·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，點(diǎn)在上，，且，垂足為．（1）求證：；（2）若，求四邊形的面積．考查題型三利用矩形的性質(zhì)求面積典例3．（2022·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)垃圾填埋場(chǎng)，它在地面上的形狀為長(zhǎng)，寬的矩形，有污水從該矩形的四周邊界向外滲透了，則該垃圾填埋場(chǎng)外圍受污染土地的面積為（

）A． B． C． D．變式3-1．（2022·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）已知矩形的一邊長(zhǎng)為，一條對(duì)角線的長(zhǎng)為，則矩形的面積為_________．變式3-2．（2021·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形與均為矩形，點(diǎn)分別在線段上．若，矩形的周長(zhǎng)為，則圖中陰影部分的面積為___________．變式3-3．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，，以B為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)E．則圖中陰影部分的面積為_________．（結(jié)果保留）變式3-4．（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，是邊上一點(diǎn)，且，與相交于點(diǎn)，若的面積是，則的面積是______．變式3-5．（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）為落實(shí)國(guó)家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》，某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻（墻長(zhǎng)）和長(zhǎng)的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動(dòng)實(shí)踐基地．某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種方案（除圍墻外，實(shí)線部分為籬笆墻，且不浪費(fèi)籬笆墻），請(qǐng)根據(jù)設(shè)計(jì)方案回答下列問(wèn)題：(1)方案一：如圖①，全部利用圍墻的長(zhǎng)度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個(gè)寬度的水池且需保證總種植面積為，試分別確定、的長(zhǎng)；(2)方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請(qǐng)問(wèn)應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？此時(shí)最大面積為多少？考查題型四利用矩形的性質(zhì)證明典例4（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）我們知道，矩形的面積等于這個(gè)矩形的長(zhǎng)乘寬，小明想用其驗(yàn)證一個(gè)底為a，高為h的三角形的面積公式為．想法是：以為邊作矩形，點(diǎn)A在邊上，再過(guò)點(diǎn)A作的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證三角形全等，由全等圖形面積相等來(lái)得到驗(yàn)證．按以上思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)過(guò)點(diǎn)A作的垂線交于點(diǎn)D．（只保留作圖痕跡）在和中，∵，∴．∵，∴______①____．∵，∴______②_____．又∵_(dá)___③______．∴（）．同理可得：_____④______．．變式4-1．（2022·山西·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AC是對(duì)角線．(1)實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)作線段AC的垂直平分線，垂足為點(diǎn)O，交邊AD于點(diǎn)E，交邊BC于點(diǎn)F（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母），(2)猜想與證明：試猜想線段AE與CF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．變式4-2（2022·山東威?！そy(tǒng)考中考真題）如圖:(1)將兩張長(zhǎng)為8，寬為4的矩形紙片如圖1疊放．①判斷四邊形AGCH的形狀，并說(shuō)明理由；②求四邊形AGCH的面積．(2)如圖2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2，BC＝7，CF＝，求四邊形AGCH的面積．考查題型五矩形折疊問(wèn)題典例5．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，將一矩形紙片沿AB折疊，已知，則（

）A．48° B．66° C．72° D．78°變式5-1．（2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）矩形紙片中，E為的中點(diǎn)，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長(zhǎng)是（

）A．3 B． C． D．變式5-2．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，將沿BD折疊到位置，DE交AB于點(diǎn)F，則的值為（

）A． B． C． D．變式5-3．（2022·遼寧營(yíng)口·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，點(diǎn)M在邊上，把沿直線折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)E處，連接，過(guò)點(diǎn)B作，垂足為F，若，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．變式5-4．（2021·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片ABCD的兩個(gè)直角進(jìn)行折疊，使CB，AD恰好落在對(duì)角線AC上，B′，D′分別是B，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，折痕分別為CF，AE．若AB＝4，BC＝3，則線段的長(zhǎng)是（）A． B．2 C． D．1變式5-5．（2021·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形AOBC的頂點(diǎn)A、B在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(﹣10，8)，點(diǎn)D在AC上，將BCD沿BD翻折，點(diǎn)C恰好落在OA邊上點(diǎn)E處，則tan∠DBE等于（）A． B． C． D．變式5-6（2022·山東濰坊·中考真題）小瑩按照如圖所示的步驟折疊A4紙，折完后，發(fā)現(xiàn)折痕AB′與A4紙的長(zhǎng)邊AB恰好重合，那么A4紙的長(zhǎng)AB與寬AD的比值為___________．變式5-7．（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，將沿DE翻折得到，點(diǎn)F落在AE上．若，，則______cm．變式5-8．（2022·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，把一張矩形紙片沿對(duì)角線折疊，若BC＝9，CD＝3，那么陰影部分的面積為_____．變式5-9．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片ABCD沿CE折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)F處．若點(diǎn)E在邊AB上，AB＝3，BC＝5，則AE＝________．變式5-10．（2021·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖是一張矩形紙片，點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，把沿直線折疊，使點(diǎn)落在對(duì)角線上的點(diǎn)處，連接，．若，則_____度．變式5-11．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．變式5-12．（2022·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），將△ACB沿AC對(duì)折到△ACE的位置，AE和CD交于點(diǎn)F．(1)求證：△CEF≌△ADF；(2)求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．考查題型六添加一個(gè)條件判定矩形典例6．（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）在下列條件中，能夠判定為矩形的是（

）A． B． C． D．變式6-1．（2021·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）已知平行四邊形ABCD，下列條件中，不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形的是（）A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC變式6-2．（2022·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，，在不添加任何輔助線的前提下，要想四邊形成為一個(gè)矩形，只需添加的一個(gè)條件是_______________．變式6-3．（2021·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形是平行四邊形，從①，②，③中選擇一個(gè)作為條件，補(bǔ)充后使四邊形成為菱形，則其選擇是___（限填序號(hào)）．變式6-4．（2021·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)你添加一個(gè)條件______________，使平行四邊形是矩形．．考查題型七矩形的證明典例7．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以相同的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s），下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，四邊形ABMP為矩形B．當(dāng)時(shí)，四邊形CDPM為平行四邊形C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，或6s變式7-1．（2021·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，D、E、F分別是各邊中點(diǎn)，則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．和的面積相等B．四邊形是平行四邊形C．若，則四邊形是菱形D．若，則四邊形是矩形變式7-2．（2022·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接OE，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF．(1)求證：≌；(2)判定四邊形AODF的形狀并說(shuō)明理由．變式7-3．（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，相交于點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由．變式7-4．（2021·上?！そy(tǒng)考中考真題）已知：在圓O內(nèi)，弦與弦交于點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)，當(dāng)時(shí)，求證：四邊形為矩形．考查題型八矩形性質(zhì)與判定綜合典例8．（2022·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形中，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，垂直交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若，則菱形的邊長(zhǎng)是（

）A．3 B．4 C．5 D．變式8-1．（2022·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點(diǎn)，H為AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB，交HM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長(zhǎng)的最小值是（）A．24 B．22 C．20 D．18變式8-2．（2022·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）如圖，等腰△ABC的面積為2，AB=AC，BC=2．作A