間斷有限元方法

2016年夏季學(xué)期研究生課程考核（讀書報告、研究報告）考核科目:間斷有限元方法及其應(yīng)用學(xué)生所在院（系）:理學(xué)院數(shù)學(xué)系學(xué)生所在學(xué)科:學(xué)生姓名:學(xué)號學(xué)生類別考核結(jié)果閱卷人1．引言間斷Galerkin(DG)方法兼有有限元與有限體積方法的特征。如同一般有限元方法那樣，DG方法利用單元多項式空間作為近似解和檢驗函數(shù)空間，但是與傳統(tǒng)的有限元方法不同,有限元函數(shù)空間基函數(shù)都是完全間斷的分片多項式，各個單元之間的通信也需要像有限體積方法那樣通過在單元邊界上構(gòu)造合適的數(shù)值流通量來實現(xiàn)。因此DG方法既保持了一般有限元方法和有限體積方法的優(yōu)點，又克服了各自的不足。該方法可采用局部高階插值的方法構(gòu)造基函數(shù)，具有靈活處理邊界條件以及可顯式求解間斷問題的能力，克服了一般有限元方法不適于間斷問題的缺點,以及有限體積方法必須通過擴大模板進行重構(gòu)來提高精度的不足。因此間斷Galerkin(DG)方法的出現(xiàn)拓展了傳統(tǒng)有限元方法的應(yīng)用范圍，改善了人們對傳統(tǒng)有限元方法的認(rèn)識。2．DG的基本概念間斷Galerkin方法最早由Reed和Hill在1973年為解決中子輸運方程問題而提出。隨后眾多學(xué)者對間斷有限元方法提出了改進和發(fā)展特別是90年代以來，以Cockbum和舒其望為代表提出了Runge-Kutta間斷Galerkin(RKDG)方法，該方法結(jié)合TVD(TVD:TotalVariationDiminishing)Runge-Kutta時間離散方法和間斷有限元求解一維雙曲守恒律方程(組)以至于高維雙曲守恒律方程(組)，能夠適合復(fù)雜計算區(qū)域和邊界條件，可以精確的捕捉激波和接觸間斷。它不但在光滑區(qū)域可以保證高精度，而且在間斷區(qū)域可以保持?jǐn)?shù)值無振蕩，分辨率高，可以證明收斂到熵解。這些優(yōu)點使得RKDG成為計算流體力學(xué)流行的方法之一，并被廣泛應(yīng)用到氣象學(xué)、海洋學(xué)、湍流、電磁學(xué)、石油勘探、水動力學(xué)等離子物理和圖像處理等領(lǐng)域。同樣是在20世紀(jì)70年代,內(nèi)懲罰(IP:InteriorPenalty)類方法被獨立地提出來求解摘圓和拋物方程。內(nèi)懲罰方法后來也被歸為間斷Galerkin方法一種，本文記為內(nèi)懲罰間斷Galerkin(IPDG)方法。內(nèi)懲罰間斷有限元的發(fā)展與同時代求解雙曲守恒律的間斷有限元方法保持相對對立，該方法的側(cè)重點在于選擇合適的懲罰項保持格式的穩(wěn)定性，而不在于如何構(gòu)造數(shù)值流通量?；贒G方法求解雙曲守恒律的巨大成功，許多學(xué)者考慮運用DG方法的思想求解擴散方程，但如果只是簡單地將DG方法推廣到擴散方程得到的數(shù)值格式并不準(zhǔn)確。例如考慮一維熱傳導(dǎo)方程。u—utxx將求解區(qū)域Q剖分為網(wǎng)格I=[x ,x],j=1,...N,其中心點的坐標(biāo)為j j-丄j+丄221x=(x +x)，網(wǎng)格步長Ax=x-x，記為u+和u-為u在x處的左j2 j-1 j+1 j j+1 j-1 j+1 j+丄 j+12222J222，定義單元端點處的跳躍和均值分別為：[u]二u+-u-,1u=丄(u++u-)。注意，在不引起混淆的情況下，我們?nèi)匀挥胾表示數(shù)值解。選取有限元空間為Pk匕)為在單元1上的k次多項式。定義方程⑴的DG弱解形式為：求uGV，對VvGV，使得hhhu為數(shù)值流量，舒其望己經(jīng)證明數(shù)值流量，簡單的取在端點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)均值u=1(u++u-)會導(dǎo)致解不穩(wěn)定,數(shù)值解與精確解是不相容的，與真解有0(1)的誤x2xx差，稱之為“subtleinconsistency"。3．求解擴散方程的各種DG方法的構(gòu)造LDG方法LDG方法是Cockbum和舒其望在1998年提出的,其思想來源于F.Bassi和S.Rebay求解可壓縮Navier-Stokes方程的文章。LDG通過引入輔助變量將含有高階導(dǎo)數(shù)的微分方程寫成只含有一階導(dǎo)數(shù)的偏微分方程組,然后用DG方法進行空間離散。引入輔助變量q=u將方程(1)重新寫為u=q，q=utxx然后應(yīng)用DG得到下列格式：求u,qgV，對Vv,wgV，使得hh(4)正確的設(shè)計數(shù)值流量u,q是得到穩(wěn)定和高精度方法的關(guān)鍵，可以證明u,q［礙皿+［鄧放―(和〕心+(和)咕=0Jqwdjc十Juyv(4)正確的設(shè)計數(shù)值流量u,q是得到穩(wěn)定和高精度方法的關(guān)鍵，可以證明u,q交替地選取左右極限值u=u-,q=q+，或者u=u+,q=q-均可以保證格式穩(wěn)定而且達到最優(yōu)收斂階。當(dāng)LDG格式(4)中基函數(shù)取為每個單元上的局部基函數(shù)時輔助變量q是局部可解的，這正是該方法被稱為“局部”間斷Galerkin方法的由來。Baumann-OdenDG方法Baumann-OdenDG方法并不引入輔助變量，而是通過在弱形式(3)的單元邊界上添加懲罰項以保證穩(wěn)定性。其格式為求uGV，對VvGV，使得hh小)，.&)這里的數(shù)值流量u直接取為端點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)均值u=1(u++u-)就可以保證xx2xx該格式的穩(wěn)定性。實際上Baumann-Oden方法也可以認(rèn)為是一種內(nèi)懲罰類方法。dGRPDG方法Gassner等將雙曲守恒律中的黎曼問題推廣到擴散方程。對方程(1)兩端同時乘以檢驗函數(shù)v，在時空區(qū)域Q=[xi .1乘以檢驗函數(shù)v，在時空區(qū)域Q=[xi .1,x]X[tn,tn+1]求積分，通過分部積分可得j-j+22dGRPDG格式，求ugV對VvgV，使得hh其中u，u是數(shù)值流量，通過求解擴散方程的廣義黎曼問題而得到。Cheng-ShuDG方法Cheng-ShuDG方法在熱傳導(dǎo)方程（1）兩邊同時乘以檢驗函數(shù)v，在單元I上j積分，通過多次的分部積分將近似解上的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)移到檢驗函數(shù)上，在界面上設(shè)計合適的數(shù)值流量得到Cheng-ShuDG格式：求ugV，對VvgV，使得hh必-[叫血+（D_&+（昴;）出_伽；）心=0 （7）其中數(shù)值流量定義為u=p[u]+u-,u=u+。該DG方法最大的優(yōu)勢是可以x0△xx推廣到具有高階導(dǎo)數(shù)的偏微分方程，例如KDV方程，而且該方法求解高階偏導(dǎo)數(shù)的波動方程時,數(shù)值流量的構(gòu)造更為簡單。4.總結(jié)盡管上述的DG方法在各自的應(yīng)用范圍具有各自的優(yōu)勢，但是作為DG類方法它們共同的優(yōu)勢在于：DG方法具有一致的高精度,可以通過在每個單元上提高單元插值多項式的次數(shù)來實現(xiàn)高階精度，而不用像