試講拉格朗日中值定理

試講拉格朗日中值定理部門：xxx時(shí)間：xxx整頓范文，僅供參考，可下載自行編輯講授課題拉格朗日中值定理教學(xué)目的純熟掌握中值定理，特別是拉格朗日中值定理的分析意義和幾何意義；能應(yīng)用拉格朗日中值定理證明不等式；理解拉格朗日中值定理的推論1和推論2；重點(diǎn)難點(diǎn)拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的應(yīng)用拉格朗日中值定理證明中輔助函數(shù)的引入3、運(yùn)用拉格朗日中值定理證明不等式的技巧教學(xué)方法啟發(fā)式講授法教具使用作業(yè)布置習(xí)題3-16,3-17教學(xué)設(shè)計(jì)1背景及回想2新課解說(shuō)2.1拉格朗日中值定理2.2拉格朗日中值定理的證明2.3拉格朗日中值定理的應(yīng)用3課堂小結(jié)4課后作業(yè)…………裝…………裝………訂………線…………1、背景及回想在前面，我們引進(jìn)了導(dǎo)數(shù)的概念，具體地討論了計(jì)算導(dǎo)數(shù)的辦法。這樣一來(lái)，類似于求已知曲線上點(diǎn)的切線問(wèn)題已獲完美解決。但是如果想用導(dǎo)數(shù)這一工具去分析、解決復(fù)雜某些的問(wèn)題，那么，只懂得如何計(jì)算導(dǎo)數(shù)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，而要以此為基礎(chǔ)，發(fā)展更多的工具。另首先，我們注意到：<1）函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)是兩個(gè)不同的函數(shù)；<2）導(dǎo)數(shù)只是反映函數(shù)在一點(diǎn)的局部特性；<3）我們往往要理解函數(shù)在其定義域上的整體性態(tài)，需要在導(dǎo)數(shù)及函數(shù)間建立起聯(lián)系——搭起一座橋，這個(gè)“橋”就是微分中值定理。由此我們學(xué)習(xí)了極值點(diǎn)的概念、費(fèi)馬定理、特別是羅爾定理，我們簡(jiǎn)樸回想一下羅爾定理的內(nèi)容：若函數(shù)滿足下列條件：=1\*GB3①在閉區(qū)間持續(xù)=2\*GB3②在開區(qū)間可導(dǎo)=3\*GB3③…………裝………訂………線…………則在…………裝………訂………線…………2、新課解說(shuō)1797年，法國(guó)出名的數(shù)學(xué)家拉格朗日又給出了一種微分中值定理，史稱拉格朗日中值定理或微分中值定理，但未證明。拉格朗日中值定理含有根本的重要性，在分析中是許多定理賴以證明的工具，是導(dǎo)數(shù)若干個(gè)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，我們首先看一下拉格朗日中值定理的內(nèi)容：2.1拉格朗日中值定理若函數(shù)滿足下列條件：=1\*GB3①在閉區(qū)間持續(xù)=2\*GB3②在開區(qū)間可導(dǎo)則在開區(qū)間內(nèi)最少存在一點(diǎn)，使得…………裝…………………裝………訂………線…………注意：<1）深刻認(rèn)識(shí)定理，是兩個(gè)條件，而羅爾定理是三個(gè)條件。<2）若加上，則即，拉格朗日定理變?yōu)榱_爾定理，換句話說(shuō)羅爾定理是拉格朗日定理的特例。<3）形象認(rèn)識(shí)<幾何意義），易知為過(guò)兩點(diǎn)的割線的斜率，為曲線上過(guò)點(diǎn)的切線的斜率：若即是說(shuō)割線的斜率等于切線的斜率。幾何意義：若在閉區(qū)間上有一條連續(xù)的曲線，曲線上每一點(diǎn)都存在切線，則曲線上最少有一點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)的切線平行于割線。它表明“一種可微函數(shù)的曲線段，必有一點(diǎn)的切線平行于曲線…………裝…………裝………訂………線…………2.2拉格朗日中值定理的證明下面我們證明一下該定理。分析：如何來(lái)證明該定理呢？由于羅爾定理是拉格朗日定理的特例，我們考慮與否可將拉格朗日定理的證明轉(zhuǎn)化到羅爾定理上來(lái)，為此需要構(gòu)造一種輔助函數(shù)，使它滿足羅爾定理的條件。注意羅爾定理的成果是，對(duì)應(yīng)拉格朗日定理的成果是，即，事實(shí)上就是，即是說(shuō)，兩邊積分得，注意要滿足羅爾定理的三個(gè)條件，故取證明：作輔助函數(shù)易知在閉區(qū)間持續(xù)，在開區(qū)間可導(dǎo)，又，根據(jù)羅爾定理，在內(nèi)最少存在一點(diǎn)，使得，而，于…………裝………訂…………………裝………訂………線…………命題得證。注意：<1）本定理的證明提供了一種用構(gòu)造函數(shù)法證明數(shù)學(xué)命題的精彩典范；同時(shí)通過(guò)巧妙地?cái)?shù)學(xué)變換，將普通化為特殊，將復(fù)雜問(wèn)題化為簡(jiǎn)樸問(wèn)題的論證思想，也是數(shù)學(xué)分析的重要而慣用的數(shù)學(xué)思維的體現(xiàn)，其中構(gòu)造函數(shù)中的其實(shí)就是過(guò)兩點(diǎn)的割線方程。拉格朗日中值定理的中值點(diǎn)是開區(qū)間內(nèi)的某一點(diǎn)，而非區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)或指定一點(diǎn)。換言之，這個(gè)中值定理都僅“定性”地指出了中值點(diǎn)的存在性，而非“定量”地指明的具體數(shù)值。拉格朗日中值定理的其它體現(xiàn)形式：1）。當(dāng)時(shí)也成立。2），在與之間2.3拉格朗日中值定理的應(yīng)用例1驗(yàn)證函數(shù)在區(qū)間上與否滿足拉格…………裝………訂………線…………朗日中值定理的條件，若滿足，求使定理成立的的值。解：由于，在…………裝………訂………線…………而，由得：在驗(yàn)證拉格朗日中值定理時(shí)，必須注意：該函數(shù)與否滿足定理的兩個(gè)條件。與否存在一點(diǎn)，使得成立。例2證明當(dāng)時(shí)，。分析：此題難下列手，由此考慮到使用拉格朗日中值定理。證明：設(shè)，易知在上滿足拉格朗日中值定理的條件，故，又，，由上式得：…………裝…………裝………訂………線…………則，即，命題得證。小結(jié)：用拉格朗日中值定理證明不等式，核心是選用適宜的函數(shù)，并且該函數(shù)滿足中值定理的條件。便得到，再根據(jù)放大或縮小，證出不等式。推論1如果在區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒等于零，那么在內(nèi)恒等于一種常數(shù)。證明：在區(qū)間內(nèi)任意取兩點(diǎn)，<設(shè)），則在上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件。故有：，<），由于是在內(nèi)任意取的兩點(diǎn)，因此在區(qū)間內(nèi)函數(shù)值總是相等的，這表明在區(qū)間內(nèi)恒為一種常數(shù)。推論2若有，則有。…………裝………訂………線…………裝………訂………線…………根據(jù)推論1知，也即。3、課堂小結(jié)<1）拉格朗日定理的內(nèi)容<2）拉格朗日定理的幾何意義<3）拉格朗日定理的證明過(guò)程——構(gòu)造函數(shù)法<4）拉格朗日定理的應(yīng)用4、課后作業(yè)習(xí)題3-16，習(xí)題3-17…………裝…………裝………訂………線……………………裝…………裝………訂………線………………