反射變換及旋轉(zhuǎn)變換

反射變換【問(wèn)題引入】在平面直角坐標(biāo)系中，第一象限有一點(diǎn)，將它做關(guān)于軸，軸和坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)的變換，分別得到點(diǎn).由題意知：假設(shè)三個(gè)變換分別為，對(duì)應(yīng)的變換矩陣分別為，則有：，，，1.反射變換概念：像，，這樣將一個(gè)平面圖形變?yōu)殛P(guān)于定直線(xiàn)或定點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的平面圖形的變換矩陣，稱(chēng)之為反射變換矩陣，對(duì)應(yīng)的變換叫做反射變換，相應(yīng)地，前者稱(chēng)作軸反射，后者稱(chēng)做中心反射，其中定直線(xiàn)稱(chēng)為反射軸，定點(diǎn)稱(chēng)做反射點(diǎn).2.反射變換的分類(lèi)：與矩陣對(duì)應(yīng)的變換是關(guān)于軸的軸反射變換.與矩陣對(duì)應(yīng)的變換是關(guān)于軸的軸反射變換.與矩陣對(duì)應(yīng)的變換是關(guān)于原點(diǎn)的中心反射變換.與矩陣對(duì)應(yīng)的變換是關(guān)于直線(xiàn)的中心反射變換.3.線(xiàn)性變換的概念：一般地，二階非零矩陣對(duì)應(yīng)的變換把直線(xiàn)變成直線(xiàn)，這種把直線(xiàn)變?yōu)橹本€(xiàn)的變換，通常叫做線(xiàn)性變換.考察點(diǎn)1：有關(guān)反射變換的問(wèn)題求直線(xiàn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換下所得的圖形的表達(dá)式.求出曲線(xiàn)在矩陣作用下變換得到的曲線(xiàn)的表達(dá)式.求曲線(xiàn)在矩陣對(duì)應(yīng)的反射變換作用下得到的圖形的周長(zhǎng)例4：研究直線(xiàn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下變成曲線(xiàn)的表達(dá)式解：任取直線(xiàn)的一點(diǎn)，它在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)?，則有，故即又因?yàn)辄c(diǎn)P在直線(xiàn)上，所以即有從而直線(xiàn)在矩陣作用下變成直線(xiàn)。旋轉(zhuǎn)變換【問(wèn)題引入】假設(shè)大風(fēng)車(chē)的葉片在同一個(gè)平面轉(zhuǎn)動(dòng)，以旋轉(zhuǎn)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，在大風(fēng)車(chē)的葉片上任取一點(diǎn)，它圍繞中心點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角后得到另外一點(diǎn)，則旋轉(zhuǎn)前后葉片上的點(diǎn)的位置變化也可以看做是一個(gè)幾何變換，怎樣用矩陣來(lái)刻畫(huà)這一變換呢？設(shè)與軸正向夾角為，，則有，.將代入有由題意知：即所以得到變換矩陣為.旋轉(zhuǎn)變換的概念：矩陣通常稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)變換矩陣，對(duì)應(yīng)的變換稱(chēng)做旋轉(zhuǎn)變換，其中角叫做旋轉(zhuǎn)角，定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心.知識(shí)擴(kuò)展當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)且逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角時(shí)，旋轉(zhuǎn)變換的變換矩陣為；當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)用順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角時(shí)，旋轉(zhuǎn)變換的矩陣為.旋轉(zhuǎn)變換只改變幾何圖形的相對(duì)位置，不改變幾何圖形的形狀和大小.圖形的旋轉(zhuǎn)由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)的角度共同決定.顯然，繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的變換相當(dāng)于關(guān)于原點(diǎn)的中心反射變換.【典例剖析】考察點(diǎn)1：有關(guān)旋轉(zhuǎn)變換的問(wèn)題例1：，求矩形繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的圖形的頂點(diǎn)坐標(biāo).例2：將雙曲線(xiàn)C：上點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到新圖形，試求的方程。解：由題意，得旋轉(zhuǎn)變換矩陣M=，任意選取雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，它在變換TM作用下變?yōu)?，則有M﹒，故，又因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線(xiàn)上，所以，即有?！嗨蟮姆匠虨椤！咀晕以u(píng)價(jià)】點(diǎn)和點(diǎn)，求向量在矩陣對(duì)應(yīng)的反射變換作用下得到的向量的坐標(biāo).求直線(xiàn)在矩陣對(duì)應(yīng)的反射變換作用下得到的圖形的方程.橢圓在經(jīng)過(guò)矩陣對(duì)應(yīng)的變換后所得的曲線(xiàn)是什么圖形？點(diǎn)在軸反射變換下的新坐標(biāo)為.求該反射變換所對(duì)應(yīng)的變換矩陣；求曲線(xiàn)在此變換作用下所得的圖形的表達(dá)式，