數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程

第三章假設(shè)檢驗(yàn)§3.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念

1湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)這類問(wèn)題稱作假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題.總體分布已知，檢驗(yàn)關(guān)于未知參數(shù)的某個(gè)假設(shè)總體分布未知時(shí)的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題在本講中，我們將討論不同于參數(shù)估計(jì)的另一類重要的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題.這就是根據(jù)樣本的信息檢驗(yàn)關(guān)于總體的某個(gè)假設(shè)是否正確.2湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院讓我們先看一個(gè)例子.這一講我們討論對(duì)參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn).3湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院生產(chǎn)流水線上罐裝可樂(lè)不斷地封裝，然后裝箱外運(yùn).怎么知道這批罐裝可樂(lè)的容量是否合格呢？把每一罐都打開倒入量杯,看看容量是否合于標(biāo)準(zhǔn).這樣做顯然不行！罐裝可樂(lè)的容量按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)在350毫升和360毫升之間.4湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院每隔一定時(shí)間，抽查若干罐.如每隔1小時(shí)，抽查5罐，得5個(gè)容量的值X1，…，X5，根據(jù)這些值來(lái)判斷生產(chǎn)是否正常.如發(fā)現(xiàn)不正常，就應(yīng)停產(chǎn)，找出原因，排除故障，然后再生產(chǎn)；如沒(méi)有問(wèn)題，就繼續(xù)按規(guī)定時(shí)間再抽樣，以此監(jiān)督生產(chǎn)，保證質(zhì)量.通常的辦法是進(jìn)行抽樣檢查.5湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院很明顯，不能由5罐容量的數(shù)據(jù)，在把握不大的情況下就判斷生產(chǎn)

不正常，因?yàn)橥．a(chǎn)的損失是很大的.當(dāng)然也不能總認(rèn)為正常，有了問(wèn)題不能及時(shí)發(fā)現(xiàn)，這也要造成損失.如何處理這兩者的關(guān)系，假設(shè)檢驗(yàn)面對(duì)的就是這種矛盾.6湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院在正常生產(chǎn)條件下，由于種種隨機(jī)因素的影響，每罐可樂(lè)的容量應(yīng)在355毫升上下波動(dòng).這些因素中沒(méi)有哪一個(gè)占有特殊重要的地位.因此，根據(jù)中心極限定理，假定每罐容量服從正態(tài)分布是合理的.現(xiàn)在我們就來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題.罐裝可樂(lè)的容量按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)在350毫升和360毫升之間.7湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院它的對(duì)立假設(shè)是：稱H0為原假設(shè)（或零假設(shè)，解消假設(shè)）；稱H1為備選假設(shè)（或?qū)α⒓僭O(shè)）.在實(shí)際工作中，往往把不輕易否定的命題作為原假設(shè).H0：（=355）H1：這樣，我們可以認(rèn)為X1,…,X5是取自正態(tài)總體

的樣本，是一個(gè)常數(shù).當(dāng)生產(chǎn)比較穩(wěn)定時(shí)，現(xiàn)在要檢驗(yàn)的假設(shè)是：8湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院那么，如何判斷原假設(shè)H0

是否成立呢？較大、較小是一個(gè)相對(duì)的概念，合理的界限在何處？應(yīng)由什么原則來(lái)確定？由于

是正態(tài)分布的期望值，它的估計(jì)量是樣本均值，因此可以根據(jù)與

的差距來(lái)判斷H0

是否成立.-

||較小時(shí)，可以認(rèn)為H0是成立的；當(dāng)-

||生產(chǎn)已不正常.當(dāng)較大時(shí)，應(yīng)認(rèn)為H0不成立，即-

||9湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院?jiǎn)栴}歸結(jié)為對(duì)差異作定量的分析，以確定其性質(zhì).差異可能是由抽樣的隨機(jī)性引起的，稱為“抽樣誤差”或隨機(jī)誤差這種誤差反映偶然、非本質(zhì)的因素所引起的隨機(jī)波動(dòng).10湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院然而，這種隨機(jī)性的波動(dòng)是有一定限度的，如果差異超過(guò)了這個(gè)限度，則我們就不能用抽樣的隨機(jī)性來(lái)解釋了.必須認(rèn)為這個(gè)差異反映了事物的本質(zhì)差別，即反映了生產(chǎn)已不正常.這種差異稱作“系統(tǒng)誤差”11湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院?jiǎn)栴}是，根據(jù)所觀察到的差異，如何判斷它究竟是由于偶然性在起作用，還是生產(chǎn)確實(shí)不正常？即差異是“抽樣誤差”還是“系統(tǒng)誤差”所引起的？這里需要給出一個(gè)量的界限.12湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院?jiǎn)栴}是：如何給出這個(gè)量的界限？這里用到人們?cè)趯?shí)踐中普遍采用的一個(gè)原則：小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會(huì)發(fā)生.13湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院下面我們用一例說(shuō)明這個(gè)原則.小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會(huì)發(fā)生.這里有兩個(gè)盒子，各裝有100個(gè)球.一盒中的白球和紅球數(shù)99個(gè)紅球一個(gè)白球…99個(gè)另一盒中的白球和紅球數(shù)99個(gè)白球一個(gè)紅球…99個(gè)14湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會(huì)發(fā)生.現(xiàn)從兩盒中隨機(jī)取出一個(gè)盒子，問(wèn)這個(gè)盒子里是白球99個(gè)還是紅球99個(gè)？15湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會(huì)發(fā)生.我們不妨先假設(shè)：這個(gè)盒子里有99個(gè)白球.現(xiàn)在我們從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，發(fā)現(xiàn)是此時(shí)你如何判斷這個(gè)假設(shè)是否成立呢？16湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院假設(shè)其中真有99個(gè)白球，摸出紅球的概率只有1/100，這是小概率事件.這個(gè)例子中所使用的推理方法，可以稱為小概率事件在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，不能不使人懷疑所作的假設(shè).帶概率性質(zhì)的反證法不妨稱為概率反證法.小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會(huì)發(fā)生.17湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院它不同于一般的反證法概率反證法的邏輯是：如果小概率事件在一次試驗(yàn)中居然發(fā)生，我們就以很大的把握否定原假設(shè).一般的反證法要求在原假設(shè)成立的條件下導(dǎo)出的結(jié)論是絕對(duì)成立的，如果事實(shí)與之矛盾，則完全絕對(duì)地否定原假設(shè).18湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院現(xiàn)在回到我們前面罐裝可樂(lè)的例中：在提出原假設(shè)H0后，如何作出接受和拒絕H0的結(jié)論呢？在假設(shè)檢驗(yàn)中，我們稱這個(gè)小概率為顯著性水平，用表示.常取的選擇要根據(jù)實(shí)際情況而定。19湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院罐裝可樂(lè)的容量按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)在350毫升和360毫升之間.一批可樂(lè)出廠前應(yīng)進(jìn)行抽樣檢查，現(xiàn)抽查了n罐，測(cè)得容量為X1,X2,…,Xn，問(wèn)這一批可樂(lè)的容量是否合格？20湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院提出假設(shè)選檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量~N(0,1)H0：=355

H1：

≠355由于已知，它能衡量差異大小且分布已知.對(duì)給定的顯著性水平

，可以在N(0,1)表中查到分位點(diǎn)的值，使21湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院故我們可以取拒絕域?yàn)椋阂簿褪钦f(shuō),“”是一個(gè)小概率事件.W：如果由樣本值算得該統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測(cè)值落入?yún)^(qū)域W，則拒絕H0

；否則，不能拒絕H0.22湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院如果H0

是對(duì)的，那么衡量差異大小的某個(gè)統(tǒng)計(jì)量落入?yún)^(qū)域W(拒絕域)是個(gè)小概率事件.如果該統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測(cè)值落入W，也就是說(shuō)，H0成立下的小概率事件發(fā)生了，那么就認(rèn)為H0不可信而否定它.

否則我們就不能否定H0

（只好接受它）.這里所依據(jù)的邏輯是：23湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院不否定H0并不是肯定H0一定對(duì)，而只是說(shuō)差異還不夠顯著，還沒(méi)有達(dá)到足以否定H0的程度.所以假設(shè)檢驗(yàn)又叫“顯著性檢驗(yàn)”24湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院如果顯著性水平

取得很小，則拒絕域也會(huì)比較小.其產(chǎn)生的后果是：H0難于被拒絕.如果在很小的情況下H0仍被拒絕了，則說(shuō)明實(shí)際情況很可能與之有顯著差異.基于這個(gè)理由，人們常把時(shí)拒絕H0稱為是顯著的，而把在時(shí)拒絕H0稱為是高度顯著的.25湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院在上面的例子的敘述中，我們已經(jīng)初步介紹了假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和方法.下面，我們?cè)俳Y(jié)合另一個(gè)例子，進(jìn)一步說(shuō)明假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟.26湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院

例2

某工廠生產(chǎn)的一種螺釘，標(biāo)準(zhǔn)要求長(zhǎng)度是32.5毫米.實(shí)際生產(chǎn)的產(chǎn)品，其長(zhǎng)度X假定服從正態(tài)分布未知，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取6件,得尺寸數(shù)據(jù)如下:32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03問(wèn)這批產(chǎn)品是否合格?…分析：這批產(chǎn)品(螺釘長(zhǎng)度)的全體組成問(wèn)題的總體X.現(xiàn)在要檢驗(yàn)E(X)是否為32.5.27湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院提出原假設(shè)和備擇假設(shè)第一步：已知X~未知.第二步：能衡量差異大小且分布已知取一檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在H0成立下求出它的分布28湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院第三步：即“

”是一個(gè)小概率事件.小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會(huì)發(fā)生.對(duì)給定的顯著性水平=0.01，查表確定臨界值,使得否定域W:|t|>4.032229湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院得否定域W:|t|>4.0322故不能拒絕H0.第四步：將樣本值代入算出統(tǒng)計(jì)量t

的實(shí)測(cè)值,|t|=2.997<4.0322沒(méi)有落入拒絕域這并不意味著H0一定對(duì)，只是差異還不夠顯著,不足以否定H0.30湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院假設(shè)檢驗(yàn)會(huì)不會(huì)犯錯(cuò)誤呢？由于作出結(jié)論的依據(jù)是下述小概率原理小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會(huì)發(fā)生.不是一定不發(fā)生31湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院如果H0成立，但統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測(cè)值落入否定域，從而作出否定H0的結(jié)論，那就犯了“以真為假”的錯(cuò)誤.如果H0不成立，但統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測(cè)值未落入否定域，從而沒(méi)有作出否定H0的結(jié)論，即接受了錯(cuò)誤的H0，那就犯了“以假為真”的錯(cuò)誤.請(qǐng)看下表32湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院

假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤H0為真實(shí)際情況決定拒絕H0接受H0H0不真第一類錯(cuò)誤正確正確第二類錯(cuò)誤P{拒絕H0|H0為真}=,P{接受H0|H0不真}=.

犯兩類錯(cuò)誤的概率:顯著性水平為犯第一類錯(cuò)誤的概率.33湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院兩類錯(cuò)誤是互相關(guān)聯(lián)的，當(dāng)樣本容量固定時(shí)，一類錯(cuò)誤概率的減少導(dǎo)致另一類錯(cuò)誤概率的增加.要同時(shí)降低兩類錯(cuò)誤的概率，或者要在不變的條件下降低，需要增加樣本容量.34湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例3

某織物強(qiáng)力指標(biāo)X的均值=21公斤.改進(jìn)工藝后生產(chǎn)一批織物，今從中取30件，測(cè)得=21.55公斤.假設(shè)強(qiáng)力指標(biāo)服從正態(tài)分布且已知=1.2公斤，問(wèn)在顯著性水平=0.01下，新生產(chǎn)織物比過(guò)去的織物強(qiáng)力是否有提高?解:提出假設(shè):取統(tǒng)計(jì)量否定域?yàn)閃:=2.33是一小概率事件35湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院代入=1.2,n=30，并由樣本值計(jì)算得統(tǒng)計(jì)量U的實(shí)測(cè)值U=2.51>2.33故拒絕原假設(shè)H0.落入否定域解:提出假設(shè):取統(tǒng)計(jì)量否定域?yàn)閃:=2.33此時(shí)可能犯第一類錯(cuò)誤，犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01.36湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院

其它情況可參看書上表，否定域請(qǐng)自己寫出.注意：我們討論的是正態(tài)總體均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn)，或樣本容量較大，可用正態(tài)近似的情形.下面我們對(duì)本講內(nèi)容作簡(jiǎn)單小結(jié).37湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院

提出假設(shè)

根據(jù)統(tǒng)計(jì)調(diào)查的目的,提出原假設(shè)H0

和備選假設(shè)H1作出決策抽取樣本檢驗(yàn)假設(shè)

對(duì)差異進(jìn)行定量的分析，確定其性質(zhì)(是隨機(jī)誤差還是系統(tǒng)誤差.為給出兩者界限，找一檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T，在H0成立下其分布已知.）拒絕還是不能拒絕H0顯著性水平P(TW)=-----犯第一類錯(cuò)誤的概率，W為拒絕域總結(jié)38湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院3.2參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)一、單個(gè)總體參數(shù)的檢驗(yàn)二、兩個(gè)總體參數(shù)的檢驗(yàn)39湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院一、單個(gè)正態(tài)總體均值與方差的檢驗(yàn))U

,檢驗(yàn)的檢驗(yàn)關(guān)于為已知(.ms2140湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)定義知，因此，檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)槠渲袨榻y(tǒng)計(jì)量U的觀測(cè)值,這種利用U統(tǒng)計(jì)量來(lái)檢驗(yàn)的方法稱為U檢驗(yàn)法。41湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例1

某切割機(jī)在正常工作時(shí),切割每段金屬棒的平均長(zhǎng)度為10.5cm,標(biāo)準(zhǔn)差是0.15cm,今從一批產(chǎn)品中隨機(jī)的抽取15段進(jìn)行測(cè)量,其結(jié)果如下:假定切割的長(zhǎng)度X服從正態(tài)分布,且標(biāo)準(zhǔn)差沒(méi)有變化,試問(wèn)該機(jī)工作是否正常?解42湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院查表得43湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院44湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院由t分布分位數(shù)的定義知45湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院在實(shí)際中,正態(tài)總體的方差常為未知,所以我們常用t

檢驗(yàn)法來(lái)檢驗(yàn)關(guān)于正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)問(wèn)題.上述利用t

統(tǒng)計(jì)量得出的檢驗(yàn)法稱為t檢驗(yàn)法.46湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院如果在例1中只假定切割的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布,問(wèn)該機(jī)切割的金屬棒的平均長(zhǎng)度有無(wú)顯著變化?解查表得t分布表例247湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院3.方差已知時(shí)總體均值的單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)48湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院于是問(wèn)題就是檢驗(yàn):H0:μ=μ0

━━即新技術(shù)或新配方對(duì)于提高產(chǎn)品質(zhì)量無(wú)效果.還是H1:μ>μ0

━━即新技術(shù)或新配方確實(shí)有效,提高了產(chǎn)品質(zhì)量.解決問(wèn)題的思路:如果μ=μ0,即原假設(shè)成立時(shí),那么:就不應(yīng)該太大.反之,如果它過(guò)于大,那么想必是原假設(shè)不成立.49湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院

當(dāng)原假設(shè)H0:μ=μ0

成立時(shí),有:求解:拒絕域?yàn)?0湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院解

建立假設(shè)取統(tǒng)計(jì)量分布未知51湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院但由題設(shè)因而事件故在H0真實(shí)的前提下，由可知52湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院因而拒絕域查正態(tài)分布函數(shù)表知由于53湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院解

建立假設(shè)拒絕域應(yīng)取作由樣本求得故應(yīng)拒絕H0，不能接受這批玻璃紙.54湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院表:一個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)(顯著性水平為α)55湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院要檢驗(yàn)假設(shè):根據(jù)56湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院57湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院拒絕域?yàn)?58湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院解例3

某廠生產(chǎn)的某種型號(hào)的電池,其壽命長(zhǎng)期以來(lái)服從方差

=5000(小時(shí)2)的正態(tài)分布,現(xiàn)有一批這種電池,從它生產(chǎn)情況來(lái)看,壽命的波動(dòng)性有所變化.現(xiàn)隨機(jī)的取26只電池,測(cè)出其壽命的樣本方差=9200(小時(shí)2).問(wèn)根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動(dòng)性較以往的有顯著的變化?59湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院拒絕域?yàn)?可認(rèn)為這批電池的壽命的波動(dòng)性較以往的有顯著的變化.60湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院4方差的單邊假設(shè)檢驗(yàn)當(dāng)H0為真時(shí)有61湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院解

建立假設(shè)查表得拒絕域?yàn)楝F(xiàn)由樣本求得故可接受原假設(shè),在α=0.05水平上認(rèn)為這批導(dǎo)線的電阻波動(dòng)合格62湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院表:一個(gè)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)(顯著性水平為α)63湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院二、兩個(gè)正態(tài)總體均值與方差的檢驗(yàn)1.已知方差時(shí)兩正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)需要檢驗(yàn)假設(shè):上述假設(shè)可等價(jià)的變?yōu)?/p>

利用u檢驗(yàn)法檢驗(yàn).64湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院65湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院故拒絕域?yàn)橛蓸?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)的定義知66湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院67湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院68湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2.未知方差時(shí)兩正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)

利用t檢驗(yàn)法檢驗(yàn)具有相同方差的兩正態(tài)總體均值差的假設(shè).69湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院70湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院對(duì)給定的71湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院故拒絕域?yàn)?2湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例2有甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工相同的產(chǎn)品,從這兩臺(tái)機(jī)床加工的產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取若干件,測(cè)得產(chǎn)品直徑(單位:mm)為機(jī)床甲:20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.0,19.0,19.9機(jī)床乙:19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2,試比較甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工的產(chǎn)品直徑有無(wú)顯著差異?假定兩臺(tái)機(jī)床加工的產(chǎn)品直徑都服從正態(tài)分布,且總體方差相等.解73湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院即甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工的產(chǎn)品直徑無(wú)顯著差異.74湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院3方差未知時(shí)均值的單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)以例子說(shuō)明75湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院解

城市考生平均成績(jī)農(nóng)村考生平均成績(jī)且76湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院建立假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為查分布表得由于故接受H0，表示無(wú)充分的證據(jù)顯示來(lái)自城市的中學(xué)考生的平均成績(jī)比來(lái)自農(nóng)村的中學(xué)考生的平均成績(jī)要高一些.77湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院表:兩個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)(顯著性水平為α）78湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院需要檢驗(yàn)假設(shè):3.兩正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)（F檢驗(yàn)）79湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院80湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院為了計(jì)算方便,習(xí)慣上取81湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院檢驗(yàn)問(wèn)題的拒絕域?yàn)樯鲜鰴z驗(yàn)法稱為F檢驗(yàn)法.82湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院解某磚廠制成兩批機(jī)制紅磚,抽樣檢查測(cè)量磚的抗折強(qiáng)度(公斤),得到結(jié)果如下:已知磚的抗折強(qiáng)度服從正態(tài)分布,試檢驗(yàn):(1)兩批紅磚的抗折強(qiáng)度的方差是否有顯著差異?(2)兩批紅磚的抗折強(qiáng)度的數(shù)學(xué)期望是否有顯著差異?(1)檢驗(yàn)假設(shè):例383湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院查表7-3知拒絕域?yàn)?4湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院(2)檢驗(yàn)假設(shè):85湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院查表7-3知拒絕域?yàn)?6湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院4兩個(gè)正態(tài)總體方差的單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)對(duì)于假設(shè)選用統(tǒng)計(jì)量在假設(shè)H0成立時(shí)從而得H0的拒絕域?yàn)榈菑亩植嘉粗?7湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院解

設(shè)舊工藝的精度設(shè)新工藝的精度且X、Y相互獨(dú)立檢驗(yàn)的假設(shè)查表及計(jì)算得故拒絕H0,新工藝的精度比老工藝的精度顯著地好.88湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院表:兩個(gè)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)(顯著性水平為α）89湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院3.3參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一、區(qū)間估計(jì)基本概念二、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)三、小結(jié)90湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院

引言前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì).它是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù).但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒(méi)有反映出這個(gè)近似值的誤差范圍，使用起來(lái)把握不大.區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷.91湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院

譬如，在估計(jì)湖中魚數(shù)的問(wèn)題中，若我們根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚數(shù)N的極大似然估計(jì)為1000條.若我們能給出一個(gè)區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信N的真值位于其中.這樣對(duì)魚數(shù)的估計(jì)就有把握多了.實(shí)際上，N的真值可能大于1000條，也可能小于1000條.92湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院也就是說(shuō)，我們希望確定一個(gè)區(qū)間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.湖中魚數(shù)的真值[]這里所說(shuō)的“可靠程度”是用概率來(lái)度量的，稱為置信概率，置信度或置信水平.習(xí)慣上把置信水平記作，這里是一個(gè)很小的正數(shù).93湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院置信水平的大小是根據(jù)實(shí)際需要選定的.例如，通?？扇≈眯潘?0.95或0.9等.根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，由給定的置信水平，我小的區(qū)間，使們求出一個(gè)盡可能置信區(qū)間.稱區(qū)間為的置信水平為的94湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院尋找置信區(qū)間的方法,一般是從確定誤差限入手.使得稱

為與

之間的誤差限.我們選取未知參數(shù)的某個(gè)估計(jì)量，根據(jù)置信水平，可以找到一個(gè)正數(shù)

，只要知道的概率分布，確定誤差限并不難.95湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院下面我們就來(lái)正式給出置信區(qū)間的定義,并通過(guò)例子說(shuō)明求置信區(qū)間的方法.由不等式可以解出：這個(gè)不等式就是我們所求的置信區(qū)間.96湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院一、區(qū)間估計(jì)基本概念1.

置信區(qū)間的定義97湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院關(guān)于定義的說(shuō)明98湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例如99湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院

一旦有了樣本，就把估計(jì)在區(qū)間內(nèi).這里有兩個(gè)要求:由定義可見，對(duì)參數(shù)作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法找出兩個(gè)只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量)100湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2.估計(jì)的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間長(zhǎng)度盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則.1.要求以很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi)，就是說(shuō)，概率要盡可能大.即要求估計(jì)盡量可靠.可靠度與精度是一對(duì)矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.101湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2.

求置信區(qū)間的一般步驟(共3步)102湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院103湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院?jiǎn)螕魣D形播放/暫停ESC鍵退出單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出104湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院二、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)1.I單個(gè)總體的情況105湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院推導(dǎo)過(guò)程如下:106湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院107湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院這樣的置信區(qū)間常寫成其置信區(qū)間的長(zhǎng)度為108湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院包糖機(jī)某日開工包了12包糖,稱得重量(單位:克)分別為506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485.假設(shè)重量服從正態(tài)分布,解附表2-1例1109湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院110湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院附表2-2查表得111湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院推導(dǎo)過(guò)程如下:112湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院113湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院解有一大批糖果,現(xiàn)從中隨機(jī)地取16袋,稱得重量(克)如下:設(shè)袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布,試求總體均值附表3-1例2114湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院就是說(shuō)估計(jì)袋裝糖果重量的均值在500.4克與507.1克之間,這個(gè)估計(jì)的可信程度為95%.這個(gè)誤差的可信度為95%.115湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院解附表3-2例3(續(xù)例1)如果只假設(shè)糖包的重量服從正態(tài)分布116湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院解例4117湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院118湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院119湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院推導(dǎo)過(guò)程如下:根據(jù)II.120湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院121湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院進(jìn)一步可得:注意:在密度函數(shù)不對(duì)稱時(shí),習(xí)慣上仍取對(duì)稱的分位點(diǎn)來(lái)確定置信區(qū)間(如圖).122湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院

(續(xù)例2)

求例2中總體標(biāo)準(zhǔn)差

的置信度為0.95的置信區(qū)間.解代入公式得標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間附表4-1附表4-2例5123湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2、兩個(gè)總體的情況討論兩個(gè)總體均值差和方差比的估計(jì)問(wèn)題.124湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院推導(dǎo)過(guò)程如下:I.125湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院126湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院127湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院128湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例6機(jī)床廠某日從兩臺(tái)機(jī)床加工的零件中,分別抽取若干個(gè)樣品,測(cè)得零件尺寸分別如下(單位:cm):

第一臺(tái)機(jī)器6.2,5.7,6.5,6.0,6.3,5.85.7,6.0,6.0,5.8,6.0

第二臺(tái)機(jī)器5.6,5.9,5.6,5.7,5.86.0,5.5,5.7,5.5假設(shè)兩臺(tái)機(jī)器加工的零件尺寸均服從正態(tài)分布,且方差相等,試求兩機(jī)床加工的零件平均尺寸之差的區(qū)間估計(jì)129湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院解用表示第一臺(tái)機(jī)床加工的零件尺寸,用

表示第二臺(tái)機(jī)床加工的零件尺寸,由題設(shè)130湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院經(jīng)計(jì)算，得131湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院置信下限置信上限故所求的置信度為95%的置信區(qū)間為

[0.0912,0.5088].132湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院推導(dǎo)過(guò)程如下:II.133湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院根據(jù)F分布的定義,知134湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院135湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院解例7研究由機(jī)器A和機(jī)器B生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑,隨機(jī)抽取機(jī)器A生產(chǎn)的管子18只,測(cè)得樣本方差為均未知,求方差比區(qū)間.設(shè)兩樣本相互獨(dú)抽取機(jī)器B生產(chǎn)的管子13只,測(cè)得樣本方差為立,且設(shè)由機(jī)器A和機(jī)器B生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑分別服從正態(tài)分布信136湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院137湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院解例8的置甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工同一種零件,在機(jī)床甲加工的零件中抽取9個(gè)樣品,在機(jī)床乙加工的零件信區(qū)間.假定測(cè)量值都服從正態(tài)分布,方差分別為在置信度由所給數(shù)據(jù)算得0.98下,試求這兩臺(tái)機(jī)床加工精度之比中抽取6個(gè)樣品,并分別測(cè)得它們的長(zhǎng)度(單位:mm),138湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院139湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院三、單側(cè)置信區(qū)間上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的，但對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題，人們關(guān)心的只是參數(shù)在一個(gè)方向的界限.例如對(duì)于設(shè)備、元件的使用壽命來(lái)說(shuō)，平均壽命過(guò)長(zhǎng)沒(méi)什么問(wèn)題，過(guò)短就有問(wèn)題了.這時(shí)，可將置信上限取為+∞，而只著眼于置信下限，這樣求得的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間.140湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院于是引入單側(cè)置信區(qū)間和置信限的定義：滿足設(shè)是一個(gè)待估參數(shù)，給定若由樣本X1,X2,…Xn確定的統(tǒng)計(jì)量則稱區(qū)間是的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間.稱為單側(cè)置信下限.141湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院又若統(tǒng)計(jì)量滿足則稱區(qū)間是的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間.稱為單側(cè)置信上限.142湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布.求燈泡壽命均值的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限.

例4從一批燈泡中隨機(jī)抽取5只作壽命試驗(yàn)，測(cè)得壽命X（單位：小時(shí)）如下：1050，1100，1120，1250，1280由于方差未知，取樞軸量解：的點(diǎn)估計(jì)取為樣本均值143湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院對(duì)給定的置信水平

，確定分位數(shù)使即于是得到的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間為

144湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院將樣本值代入得的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限是1065小時(shí)的置信水平為的單側(cè)置信下限為即145湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院三、小結(jié)點(diǎn)估計(jì)不能反映估計(jì)的精度,故而本節(jié)引入了區(qū)間估計(jì).求置信區(qū)間的一般步驟(分三步).146湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院條件統(tǒng)計(jì)量置信區(qū)間μσ2σ2已知μ已知μ未知σ2未知單個(gè)正態(tài)總體期望與方差的1-α置信區(qū)間(小結(jié))147湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院兩個(gè)正態(tài)總體均值差與方差比的1-α置信區(qū)間(小結(jié))條件統(tǒng)計(jì)量置信區(qū)間σ12,σ22已知σ12=σ22未知μ1—μ2σ12/σ22μ1，μ2已知μ1，μ2未知P{|U|＜U1-α/2}=1-αP{|t|＜t1-α/2}=1-αP{Fα/2＜F＜F1-α/2}=1-α148湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)149湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院但n充分大時(shí)近似置信區(qū)間150湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院151湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院附表2-1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.60.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645152湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.091.61.71.81.92.02.12.22.32.42.52.62.72.82.93.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.96980.95150.96080.96860.97500.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.99320.99490.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98530.98900.99160.99360.99520.99640.99740.99810.99861.00001.96附表2-2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表153湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院附表3-1

=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.70624.30273.18242.77642.57062.44692.36462.30602.26222.22812.20102.17882.16042.14482.13152.119931.82076.96464.54073.74693.36493.14272.99802.89652.82142.76382.71812.68102.65032.62452.60252.583563.65749.92485.84094.60414.03223.70743.49953.35543.24983.16933.10583.05453.01232.97682.94672.9208分布表2.1315154湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院

=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.70624.30273.18242.77642.57062.44692.36462.30602.26222.22812.20102.17882.16042.14482.13152.119931.82076.96464.54073.74693.36493.14272.99802.89652.82142.76382.71812.68102.65032.62452.60252.583563.65749.92485.84094.60414.03223.70743.49953.35543.24983.16933.10583.05453.01232.97682.94672.92082.2010附表3-2分布表155湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院附表4-1=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.3232.7734.1085.3856.6267.8419.03710.21911.38912.54913.70114.84515.98417.11718.24519.3692.7064.6056.2517.7799.23610.64512.01713.36214.68415.98717.27518.54919.81220.06422.30723.5423.8415.9917.8159.48811.07112.59214.06715.50716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.2965.0247.3789.34811.14312.83314.44916.01317.53519.02320.48321.92023.33724.73626.11927.48828.8456.6359.21011.34513.27715.08616.81218.47520.09021.66623.20924.72526.21727.68829.14130.57832.0007.87910.59712.83814.86016.75018.54820.27821.95523.58925.18826.75728.29929.89131.31932.80134.267分布表27.488156湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院附表4-2=0.9950.990.9750.950.900.75123456789101112131415160.0100.0720.2070.4120.6760.9891.3441.7352.1562.6033.0743.5654.0754.6015.1420.0200.1150.2970.5540.8721.2391.6462.0882.5583.0533.5714.1074.6605.2295.8120.0010.0510.2160.4840.8311.2371.6902.1802.7003.2473.8164.4045.0095.6296.2626.9080.0040.1030.3520.7111.1451.6352.1672.7333.3253.9404.5755.2265.8926.5717.2617.9620.0160.2110.5841.0641.6102.2042.8333.4904.1684.8655.5786.3047.0427.7908.5479.3120.1020.5751.2131.9232.6753.4554.2555.0715.8996.7377.5848.4389.29910.16511.03711.912分布表6.262157湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院

從浩瀚無(wú)垠的宇宙到微小的分子、原子，從無(wú)機(jī)界到有機(jī)界，從自然到社會(huì)，無(wú)一事物不處在與其他事物的聯(lián)系之中.事物之間不僅存在著相互聯(lián)系，而且還具有一定的內(nèi)部規(guī)律.第四章線性回歸分析例②生產(chǎn)特點(diǎn)：①可人為改變(可控因素)化工產(chǎn)品苯酚的產(chǎn)率記為影響產(chǎn)率的五個(gè)主要因素有溫度

時(shí)間

壓力

催化劑種類

堿液用量、、、、隨各的變化而變化,即是因變量③即使各相同的值也不完全相同,故是即有問(wèn)題回歸分析對(duì)回歸函數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷一般地,

未知,如何確定？是普通函數(shù),表示與各之間的確定性關(guān)系不可觀測(cè)的隨機(jī)誤差

可用函數(shù)表示帶有隨機(jī)性,不能用確定的函數(shù)表示

人的身高與體重之間存在一定關(guān)系

人的年齡與血壓之間存在一定關(guān)系

某地溫度與濕度之間存在一定關(guān)系

廣告投入與銷量之間存在一定關(guān)系

復(fù)習(xí)時(shí)間與成績(jī)之間存在一定關(guān)系確定性關(guān)系變量之間的關(guān)系非確定性關(guān)系確定性關(guān)系特點(diǎn)：非確定性關(guān)系特點(diǎn)：

x、y之間存在一種隨機(jī)的相依關(guān)系例例例例例可以任意給定，或可以控制，或可以觀察的量隨著的變化而變化，即使對(duì)于相同的值，的取值也不相同，因而是r.v稱為自變量，或控制變量稱為因變量，或響應(yīng)變量研究自變量與因變量之間的相關(guān)關(guān)系。變量的特點(diǎn)回歸分析研究的內(nèi)容

從數(shù)量的角度去研究這種關(guān)系，是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)任務(wù).包括通過(guò)觀察和試驗(yàn)數(shù)據(jù)去判斷變量之間有無(wú)關(guān)系，對(duì)其關(guān)系大小作數(shù)量上的估計(jì)、推斷和預(yù)測(cè),等等.

回歸分析就是研究相關(guān)關(guān)系的一種重要的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法.變量之間既互相聯(lián)系但又不是完全確定的關(guān)系，稱為相關(guān)關(guān)系.最小二乘法產(chǎn)生的歷史最小二乘法最早稱為回歸分析法。由著名的英國(guó)生物學(xué)家、統(tǒng)計(jì)學(xué)家道爾頓（F.Gallton）——達(dá)爾文的表弟所創(chuàng)。早年，道爾頓致力于化學(xué)和遺傳學(xué)領(lǐng)域的研究。他研究父親們的身高與兒子們的身高之間的關(guān)系時(shí)，建立了回歸分析法。最小二乘法的地位與作用現(xiàn)在回歸分析法已遠(yuǎn)非道爾頓的本意已經(jīng)成為探索變量之間關(guān)系最重要的方法，用以找出變量之間關(guān)系的具體表現(xiàn)形式。后來(lái)，回歸分析法從其方法的數(shù)學(xué)原理——?dú)埐钇椒胶妥钚。ㄆ椒侥硕艘玻┏霭l(fā)，改稱為最小二乘法。父親們的身高與兒子們的身高之間

關(guān)系的研究1889年F.Gallton和他的朋友K.Pearson收集了上千個(gè)家庭的身高、臂長(zhǎng)和腿長(zhǎng)的記錄企圖尋找出兒子們身高與父親們身高之間關(guān)系的具體表現(xiàn)形式下圖是根據(jù)1078個(gè)家庭的調(diào)查所作的散點(diǎn)圖（略圖）160165170175180185140150160170180190200YX兒子們身高向著平均身高“回歸”，以保持種族的穩(wěn)定“回歸”一詞的由來(lái)從圖上雖可看出，個(gè)子高的父親確有生出個(gè)子高的兒子的傾向，同樣地，個(gè)子低的父親確有生出個(gè)子低的兒子的傾向。得到的具體規(guī)律如下：如此以來(lái)，高的伸進(jìn)了天，低的縮入了地。他百思不得其解，同時(shí)又發(fā)現(xiàn)某人種的平均身高是相當(dāng)穩(wěn)定的。最后得到結(jié)論：兒子們的身高回復(fù)于全體男子的平均身高，即“回歸”——見1889年F.Gallton的論文《普用回歸定律》。后人將此種方法普遍用于尋找變量之間的規(guī)律只有兩個(gè)變量的回歸分析,稱為一元回歸分析;超過(guò)兩個(gè)變量時(shí)稱為多元回歸分析.變量之間成線性關(guān)系時(shí),稱為線性回歸,變量間不具有線性關(guān)系時(shí),稱為非線性回歸.一元回歸多元回歸線性回歸非線性回歸它是處理兩個(gè)變量之間關(guān)系的最簡(jiǎn)單模型.從中可以了解到回歸分析的基本思想、方法和應(yīng)用.一元線性回歸第一節(jié)其中a和

b是未知常數(shù),稱為回歸系數(shù),

ε表示其它隨機(jī)因素的影響.y=a+bx+ε如果只研究x和y的關(guān)系,可以假定:

通常假定ε服從正態(tài)分布N(0,σ2),即未知

稱y=a+bx+ε,ε

～N(0,σ2)(1)

為一元線性回歸模型.由(1)得E(y)=a+bx

稱（2）為y關(guān)于x的一元線性回歸方程

.用E(y)作為y的估計(jì)得模型(1)中的變量x,y進(jìn)行n次獨(dú)立觀察,得樣本觀測(cè)值：(x1,y1),…,(xn,yn)

（3）由此樣本得方程組：這里εi是第

i次觀察時(shí)的隨機(jī)誤差，它是不可觀察的.

(4)式和(5)式結(jié)合，給出了樣本(x1,y1),…,(xn,yn)的概率性質(zhì).它是對(duì)理論模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析推斷的依據(jù).也常稱(4)+(5)為一元線性回歸模型.即由于各次觀察獨(dú)立，故有由于此方程的建立依賴于通過(guò)觀察或試驗(yàn)取得的數(shù)據(jù),故又稱其為經(jīng)驗(yàn)回歸方程或經(jīng)驗(yàn)公式.

回歸分析的任務(wù)是利用n組獨(dú)立觀察數(shù)據(jù)(x1,y1),…,(xn,yn)來(lái)估計(jì)a和b,以估計(jì)值和分別代替(2)式中的a和b,得回歸方程問(wèn)題：如何利用n組獨(dú)立觀察數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)a和b？1．用最小二乘法估計(jì)a,b

的值首先舉例說(shuō)明最小二乘法的思想：

假設(shè)為了估計(jì)某物體的重量,對(duì)它進(jìn)行了n次稱量,因稱量有誤差,故n次稱量結(jié)果x1,x2,…,xn有差異,現(xiàn)在用數(shù)去估計(jì)該物體的重量,則它與上述n次稱量結(jié)果的偏差的平方和為:估計(jì)原則:用這種方法作出的估計(jì)叫最小二乘估計(jì).

最小二乘法認(rèn)為,一個(gè)好的估計(jì),應(yīng)使這個(gè)平方和盡可能地小.尋找一個(gè)使上述平方和達(dá)到最小的，作為這個(gè)物體重量的估計(jì)值,這種方法稱為最小二乘法.對(duì)(x,y)作n次觀察(試驗(yàn)),得到n對(duì)數(shù)據(jù),要求找一條直線,盡可能好地?cái)M合這些數(shù)據(jù).yx

由回歸方程,當(dāng)x取值xi時(shí),應(yīng)取值a+bxi,而實(shí)際觀察到的為yi,這樣就形成了偏差依照最小二乘法的思想，提出目標(biāo)量Q(7)它是所有實(shí)測(cè)值yi與回歸值的偏差平方和.yx設(shè)法求出a,b的估計(jì)值,,使偏差平方和Q達(dá)到最小.由此得到的回歸直線

是在所有直線中偏差平方和Q最小的一條.

yx通常可采用微積分中求極值的辦法,求出使Q達(dá)到最小的,.即解方程：

得

(8)

其中

可以證明,用最小二乘法求出的估計(jì)分別是a,b的無(wú)偏估計(jì),即它們都是y1,y2,…,yn的線性函數(shù),而且在所有y1,y2,…,yn的線性函數(shù)中,最小二乘估計(jì)的方差最小.由于是從觀察值得到的回歸方程，它會(huì)隨觀察結(jié)果的不同而改變，并且它只反映了由x的變化引起的y的變化，并沒(méi)有包含誤差項(xiàng).由此引出兩個(gè)問(wèn)題:(1)回歸方程是否有意義?即自變量x的變化是否真的對(duì)因變量y有影響?因此有必要對(duì)回歸效果作出檢驗(yàn).(2)如果方程真有意義，用它預(yù)測(cè)y時(shí)，預(yù)測(cè)值與真值的偏差能否估計(jì)？下面討論這兩個(gè)問(wèn)題。

2.回歸方程的顯著性檢驗(yàn)對(duì)任意兩個(gè)變量的一組觀察因此需要考察y與x間是否確有線性相關(guān)關(guān)系,這就是回歸效果的檢驗(yàn)問(wèn)題.都可以用最小二乘法形式上求得y對(duì)x的回歸方程,如果y與x沒(méi)有線性相關(guān)關(guān)系,這種形式的回歸方程就沒(méi)有意義.(xi,yi)，i=1,2,…,n

注意到只反映了x對(duì)y的影響，所以回歸值就是yi中只受xi影響的那一部分,而

則是除去xi的影響后,受其它種種因素影響的部分,故將

稱為殘差.

于是觀測(cè)值yi可以分解為兩部分和,

并且也可分解為兩部分.y1,y2,…,yn

的總偏差為

(9)因此,可以證明(10)即可以分解為兩部分:回歸平方和與殘差平方和.

反映了由于自變量x的變化引起的因變量y的差異，體現(xiàn)了x對(duì)y的影響；

反映了其它因素對(duì)y的影響,這些因素沒(méi)有反映在自變量中,它們可作為隨機(jī)因素看待.

可見,／為x的影響部分與隨機(jī)因素影響部分的相對(duì)比值.其作用和隨機(jī)因素的作用相當(dāng),于是由數(shù)據(jù)得到的回歸方程就沒(méi)有什么意義.若該比值不是顯著地大,表明我們所選的x

并不是一個(gè)重要的因素.通?？杉僭O(shè)H0

：y和x沒(méi)有線性相關(guān)關(guān)系，對(duì)回歸方程是否有意義進(jìn)行顯著性檢驗(yàn).(11)因此用

易證:~F(1，n-2)(12)的關(guān)系式中b=0時(shí),有當(dāng)來(lái)檢驗(yàn)b的絕對(duì)值是否顯著大于0(或者說(shuō)檢驗(yàn)回歸方程是否有意義).給定顯著性水平,通過(guò)查F分布分位數(shù)表,求出否定域,便可判斷回歸方程是否有意義.拒絕域?yàn)椋?/p>

由上面的討論可知,要問(wèn)回歸方程是否有意義,就是要檢驗(yàn)假設(shè)H0:b=0;H1:b≠0使用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為:~F(1，n-2)(14)(13)回歸平方和與殘差平方和的計(jì)算：

當(dāng)檢驗(yàn)認(rèn)為回歸方程確有意義.則可用來(lái)進(jìn)行予測(cè)或控制,這也是建立回歸方程的重要目的.3．預(yù)測(cè)對(duì)給定的x值，由回歸方程就可得的值.小結(jié)y=a+bx+ε一元線性回歸模型:回歸系數(shù)一元線性回歸方程:無(wú)偏估計(jì)下面討論多元線性回歸.它是處理多個(gè)變量之間關(guān)系的模型.多元線性回歸第二節(jié)一般地，設(shè)影響試驗(yàn)結(jié)果的因素為

x1，……，xp

，它們是可以精確測(cè)量或可控制的一般變量，y是可觀測(cè)的隨機(jī)變量，ε～N(0,σ2)是不可測(cè)的隨機(jī)誤差。p元線性回歸模型為y=β0+β1

x1+…+βp

xp+εyi=β0+β1

xi1+…+βp

xip+εi,(i=1,2,…,n)若獲得了n組獨(dú)立觀測(cè)樣本值：

(yi；xi1，…，xip)，（i=1,…,n），則有εi～i.i.d.N(0,σ2)對(duì)p元線性回歸模型，研究以下三個(gè)問(wèn)題：1)據(jù)樣本觀測(cè)值估計(jì)未知參數(shù)β0

,β1

,…,βp

;σ2

。建立y與x1,…,xp的數(shù)量關(guān)系式（回歸方程）；2)對(duì)此數(shù)量關(guān)系式的可信度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn);3)檢驗(yàn)各變量x1,…,xp分別對(duì)指標(biāo)y是否有顯著影響1.參數(shù)估計(jì),為此令得正規(guī)方程組稱此方程組的解為未知參數(shù)

β0

,β1

,…,βp

的最小二乘估計(jì)。

為方便起見，設(shè)結(jié)構(gòu)矩陣

則上述正規(guī)方程組可改寫為X′X稱為系數(shù)矩陣，是(p+1)×(p+1)方陣

X′Y

稱為常數(shù)項(xiàng)矩陣，是(p+1)×1

的列向量殘差:

殘差(列)向量:

殘差平方和

（剩余平方和）殘差平方和性質(zhì)：至此，第一個(gè)問(wèn)題已得到解決，即下面看第二個(gè)問(wèn)題：回歸方程的顯著性檢驗(yàn)2.回歸方程的顯著性檢驗(yàn)平方和分解：其中檢驗(yàn)問(wèn)題：說(shuō)明得到的回歸方程是顯著的。3.回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)即認(rèn)為第j個(gè)變量xj對(duì)指標(biāo)值y的影響顯著。

例鐵水的總含碳量在不斷降低。一爐鋼在冶煉初期總的去碳量y與所加的二種礦石的量x1,x2及熔化時(shí)間x3有關(guān)。經(jīng)實(shí)測(cè)某號(hào)平爐得如下表的49組數(shù)據(jù)。由經(jīng)驗(yàn)知y與x1,x2及x3之間有數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式

y=β0+β1x1+β2x2+β3x3+ε，ε~N(0,σ2)。求β0、β1、β2、β3的最小二乘估計(jì)，寫出回歸方程，并求出σ2的估計(jì)。編號(hào)x1槽x2槽x35分鐘y噸編號(hào)x1槽x2槽x35分鐘y噸1218504.33022696392.7066279403.648527125515.63143514464.48328613415.81524123435.54682912747549730024615.3916312403.112531512374.45337317645.118232415494.6569865393.875933020454.5212978374.6734616424.86510023554.953635417485.356611316605.00636104484.609812018495.270137414362.38151384505.377238513363.8746編號(hào)x1槽x2槽x35分鐘y噸編號(hào)x1槽x2槽x35分鐘y噸14614515.48493998514.591915021514.59640613545.158816314515.664541581005.437317712566.079542511443.99618160483.21944386634.39719616455.807644213554.062220015524.73064578502.29052190404.680546410454.71152246323.127247105404.53123017472.610448317645.36372490443.717449415726.077125216393.8946解：由所測(cè)的數(shù)據(jù)計(jì)算得正規(guī)方程組解得最小二乘估計(jì)為由此得回歸方程為故回歸方程高度顯著

故三個(gè)變量的作用均顯著4.回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì)對(duì)置信水平

的置信區(qū)間為5.利用回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)對(duì)給定的預(yù)測(cè)區(qū)間

對(duì)y0的區(qū)間估計(jì)方法可用于給出已知數(shù)據(jù)殘差ei

服從均值為零的正態(tài)分布，所以若某個(gè)ei

的置信區(qū)間不包含零點(diǎn)，則認(rèn)為這個(gè)數(shù)據(jù)是異常的，可予以剔除。

的置信區(qū)間，預(yù)測(cè)值第五章：方差分析方差分析方差分析是英國(guó)大統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇爾（R.A.Fisher）在20世紀(jì)20年代創(chuàng)立的．起初用于農(nóng)田間試驗(yàn)結(jié)果的分析，隨后迅速發(fā)展完善，被廣泛應(yīng)用于在工、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，經(jīng)濟(jì)、管理領(lǐng)域，工程技術(shù)和科學(xué)研究中．方差分析與回歸分析方法有許多相似之處，但又有本質(zhì)區(qū)別，回歸分析研究?jī)蓚€(gè)或多個(gè)數(shù)值型變量之間的關(guān)系，而方差分析是研究分類變量對(duì)數(shù)值型變量的影響，從形式上看，方差分析是比較多個(gè)總體均值是否相等，但本質(zhì)上它所研究的是變量之間的關(guān)系.本章學(xué)習(xí)單因素方差分析和雙因素方差分析的基本理論和方法.方差分析【營(yíng)銷策略問(wèn)題】某蘋果汁廠家開發(fā)了一種新產(chǎn)品