2021年滬教版必修二數學期末復習-上海期末真題50題（大題壓軸版）學生版

上海期末真題精選50題（大題壓軸版）

1.（2021?上海高一單元測試）用a,b,c分別表示AABC的三個內角A,8,C所對邊的邊長,

R表示AABC的外接圓半徑.

（1）R=2,a=2,3=45。，求A3的長；

（2）在AAbC中，若NC是鈍角，求證：a2+b2<4/?2；

（3）給定三個正實數其中問滿足怎樣的關系時，以。力為邊長，R為

外接圓半徑的AA6c不存在，存在一個或存在兩個（全等的三角形算作同一個）？在AA6c

存在的情況下，用a,"R表示c.

2.（2021?上海高一專題練習）對于定義域為碘函數y=/（x）,部分x與丁的對應關系如

表：

X一2-1012345

y02320-102

（1）求/｛/[/（O）]｝：

（2）數列｛玉｝滿足a=2,且對任意〃€/^,點（乙,乙+1）都在函數丫=/（X）的圖象上，求

X]+工2+%3+....+X4n

(3)若y=/(1)=Asin(69x+0)+b,其中A>0,?！锤?V。〈肛O<〃v3,求此函數

的解析式，并求/(I)+/(2)+…+/(3〃)5eN*).

3.(2021?上海高一單元測試)設函數

f(x)=5cosOsinx—5sin(x一夕)+(4tan。-3)sinx—5sin。為偶函數.

(1)求tan6的值；

(2)若/(x)的最小值為-6,求f(x)的最大值及此時x的取值；

(3)在(2)的條件下，設函數g(x)=4/3x+]),其中；1>0,少>0.已知y=g(x)

在x=今處取得最小值并且點[號,3-3/1)是其圖象的一個對稱中心，試求4+。的最小值.

4.(2021?上海高一課時練習)如圖，數軸的交點為。，夾角為。，與x軸、y軸正向

同向的單位向量分別是由平面向量基本定理，對于平面內的任一向量oQ，存在唯一的

有序實數對(X,y),使得麗=癡+丁公，我們把(X,y)叫做點P在斜坐標系xQy中的坐標(以

下各點的坐標都指在斜坐標系X?！分械淖鴺?.

(1)若6=90°,而為單位向量，且而與1的夾角為120。，求點P的坐標;

(2)若6=45°,點尸的坐標為求向量而與1的夾角.

5.(2021?上海高一課時練習)借助三角比及向量知識，可以方便地討論平面上點及圖象的

旋轉問題.試解答下列問題.

（I、

（1）在直角坐標系中，點AV3+-,^-l,將點A繞坐標原點。按逆時針方向旋轉丁到

22o

\7

n

點、B,如果終邊經過點A的角記為a,那么終邊經過點8的角記為2+a.試用三角比知識,

6

求點8的坐標；

（2）如圖，設向量加=（〃,左），把向量而按逆時針方向旋轉6角得向量近1,試用力、k、

。表示向量前的坐標；

（3）設A（a,a）、8（〃?,〃）為不重合的兩定點，將點8繞點A按逆時針方向旋轉。角得點C,

判斷C是否能夠落在直線上，若能，試用。、〃八”表示相應。的值，若不能，說明理

由.

6.（2021?上海高一專題練習）在AABC中，已知c=8,A=3O°,試討論a的值以確定三角

形解的個數.

7.（2016?上海市復興高級中學高一月考）（1）如圖，在平行四邊形ABCO中，點E是對

角線D?的延長線上一點，且=記麗=/而=5,試用向量心5表示荏.

（2）若正方形力比B邊長為1,點的線段運動，求而.（而+兩）的取值范圍;

DC

⑶設函=1,麗=5,已知無石=卜—同=2,當AAQ8的面積最大時，求NAOB的大小.

8.（2017?上海格致中學高一期中）已知集合"是滿足下列性質的函數/（力的全體：存在

實數〃,女優(yōu)力0）,對于定義域內的任意X,均有/（x+a）=切（O—X）成立，稱數對（。,女）為

函數”X）的“伴隨數對”.

（1）判斷函數/（力=》2是否屬于集合M，并說明理由；

（2）試證明：假設g（x）為定義在R上的函數，且g（x）e",若其"伴隨數對"（。㈤滿足

網"，求證:g（x）=O恒成立；

（3）若函數〃（x）=sinxeM,求滿足條件的函數〃（x）的所有“伴隨數對”.

9.（2017?上海市復旦中學高一月考）若AABC的三個內角A3,C滿足

cos2A-cos26=2sin2。試判斷AABC的形狀.（提示:如果需要，也可以直接利用19題閱

讀材料及結論）

10.（2019?上海市青浦高級中學高一月考）在平面直角坐標系xOy中，先將線段6!^繞原點0

按逆時針方向旋轉角6,再將。冰I長度伸長為原來的「（夕＞0）倍,得至I」。耳，我們把這個過程稱

為對點破行一次T,（e,0）變換得到點%例如對點戶（叫進行一次7信3）變換,得到點

爪0,3）.

⑴試求對點A（l，g）進行一次?。?，1）變換后得到點Ai的坐標；

⑵已知對點3（8,6）進行一次7（，，夕）換后得到點耳卜3四,-4&）,求對點耳再進行一次

T（e,夕）變換后得到點反的坐標.

11.（2021?上海高一課時練習）A4BC的內角A,B,C所對邊分別為。，b,c.已知

A+C

asin=/?sin（fi+C）.

⑴求3；

（2）若AABC為銳角三角形，且c=2,求AABC面積的取值范圍。

12.（2021?上海高一專題練習）如圖是一景區(qū)的截面圖，A3是可以行走的斜坡，已知AB=2

百米，是沒有人行路（不能攀登）的斜坡，CO是斜坡上的一段陡峭的山崖.假設你（看

做一點）在斜坡A5上，身上只攜帶著量角器（可以測量以你為頂點的角）.

（1）請你設計一個通過測量角可以計算出斜坡8C的長的方案，用字母表示所測量的角，計

算出8C的長，并化簡；

（2）設6。=3百米，AC=M百米，QBA=%,NBAO=arccos】g，求山崖CO的長.

（精確到米）

13.（2021?上海高一課時練習）如圖是一個“蝴蝶形圖案（陰影區(qū)域）"，其中AC、BD

是過拋物線y=f的兩條互相垂直的弦（點在第二象限），且AC、就＞交于點

點E為丁軸上一點，ZEFA^a,其中a為銳角

（1）設線段AF的長為加，將m表示為關于a的函數

（2）求“蝴蝶形圖案”面積的最小值，并指出取最小值時a的大小

（sina+sin。=人

14.（2019?上海市行知中學高一月考）已知《°

Icos?+cosp-a

(1)求cos(a-77)；

(2)若6=l,a=0,求cos(c+1)cos(a-￡)；

(3)求si”(a+/?),cos(a+/?).

15.（2018?上海交大附中高一開學考試）已知函數/'（X）,如果存在給定的實數對（。力），

使得/（a+x>/（a-x）=8恒成立，則稱/（力為“S-函數”.

（1）判斷函數J；（x）=x,力（x）=3*是否是“S—函數”;

（2）若后（x）=tanx是一個“S-函數”，求出所有滿足條件的有序實數對（。力）；

（3）若定義域為R的函數“X）是“S-函數”，且存在滿足條件的有序實數對（0,1）和（1,4）,

當xe[0,l]時，/（力的值域為[L2],求當xe[—2018,2018]時函數〃力的值域.

16.（2021?上海高一專題練習）對于集合4=但,彷,…,4｝和常數4,定義：

〃=8s"⑹+渥世-幻+…+腐儲,-%）為集合人相對練的，，余弦方差，，.

n

IIT7EI

（1）若集合A=卜4=0,求集合A相對縹的“余弦方差”；

(2)求證：集合A=1三,與,，相對任何常數縹的“余弦方差”是一個與。。無關的定值，

并求此定值；

(3)若集合A=｛：a，4,ae[0,7i),尸耳兀,2兀)，相對任何常數緣的“余弦方差”是一

個與為無關的定值，求出a、B.

17.(2021?上海高一專題練習)通常用。、b、c分別表示AABC的三個內角A、B、C所

對的邊長，R表示AABC的外接圓半徑.

(1)如圖，在以。為圓心，半徑為2的圓。中，BC、AB是圓。的弦，其中BC=2,

Z4BC=45。，角A是銳角，求弦45的長；

222

(2)在A4BC中，若NC是鈍角，求證：a+b<4/?；

(3)給定三個正實數a、b、R,其中方Wa,問。、b、R滿足怎樣的關系時，以。、b為

邊長，R為外接圓半徑的AABC不存在、存在一個或存在兩個(全等的三角形算作同一個)？

在AABC存在的情況下，用。、b、R表示c.

1+cosx-sinxl-cosx-sinx

18.（2021?上海高一）已知/（x）--------------------1--------------------

1-cosx-sinx1+cosx-sinx

(1)化簡f（x）；

是否存在X,使得tan|/（使與1+tan：相等？若存在,求x的值；若不存在，請說

(2)

sinx

明理由.

19.（2021?上海高一專題練習）如圖，學校升旗儀式上，主持人站在主席臺前沿〃處，測得

旗桿頂部的仰角為a,俯角最后一排學生郁?俯角為力,最后一排學生4則得旗桿頂部的仰角

為7,旗桿底部與學生在一個水平面上，并且不計學生身高.

（1）設8=X米，試用a、0、/和x表示旗桿的高度力8（米）；

（2）測得x=5寂米，a=30。，〃=15。，/=60。,若國歌長度約為50秒，國旗班升旗手應以多

大的速度勻速升旗才能是國旗到達旗桿頂點時師生的目光剛好停留在6處？

20.（2019?上海高一期末）已知角a的頂點在坐標原點，始邊與x軸的正半軸重合，終邊

3*

經過點（八九）,"m工0,且cos（4一萬）=x7r</3<,求sin（a-￡）（用含拉、”、x的

形式表示）.

21.（2021?上海高一專題練習）某興趣小組測量電視塔AE的高度11（單位m）,如示意圖，垂

直放置的標桿BC高度h=4m,仰角NABE=a,ZADE=3

D—*I'A

t,_____d---------

⑴該小組已經測得一組a、B的值，tana=1.24,tan6=1.20,,請據此算出H的值

（2）該小組分析若干測得的數據后，發(fā)現適當調整標桿到電視塔的距離d（單位m），使a與

8之差較大，可以提高測量精確度，若電視塔實際高度為125nl，問d為多少時，a-B最大

22.(2017?上海市金山中學高一月考)已知函數/(x)=(sinx+cosx)2-1,xeR

(1)若函數g(x)=/(x)-2V3cos2x,試把函數g(x)化為g(x)=Asin(wx+@)+b的形式,其

,71.71：

中—°<5；

（2）若/20）-（：052》262一機一7對于％611恒成立，試求實數”2的取值范圍.

23.(2021?上海高一)如圖，甲船以每小時30上海里的速度向正北方航行，乙船按固定

方向勻速直線航行，當甲船位于A處時，乙船位于甲船的北偏西105方向的用處，此時兩船

相距20海里，當甲船航行20分鐘到達4處時.，乙船航行到甲船的北偏西120。方向的員處，

此時兩船相距10上海里，問乙船每小時航行多少海里？

24.(2019?上海市建平中學高一期中)如圖，C、。是兩個小區(qū)所在地，C、。到一條公

路A3的垂直距離分別為C4=lAm,DB=2km,A8兩端之間的距離為6Am.

(1)某移動公司將在AB之間找一點尸，在P處建造一個信號塔，使得P對A、C的張角與

尸對8、O的張角相等，試確定點尸的位置.

(2)環(huán)保部門將在A8之間找一點。，在。處建造一個垃圾處理廠，使得。對C、。所張

角最大，試確定點。的位置.

25.(2021?上海高一單元測試)

已知函數/(元)，如果存在給定的實數對使得/(a+x)"(a—勸=。恒成立，則稱f(x)

為為-函數”.

(1)判斷函數工(x)=x,1(x)=3*是否是“S-函數”；

(2)若力(x)=tanx是一個“S-函數”，求出所有滿足條件的有序實數對(凡勿；

(3)若定義域為H的函數/(x)是“S-函數”，且存在滿足條件的有序實數對(0,1)和(1,4),

當無€[0,1]時?，/(x)的值域為[1,2],求當xw]-2012,2012]時函數/(x)的值域.

26.(2020?上海市七寶中學高一期中)數列｛%｝滿足。/“+必“+2=4+。向+4+2

(44,+/,且q=l,%=2.規(guī)定的｛q｝通項公式只能用Asin?x+0)+c

(A工0,0>0,網<])的形式表示.

(1)求生的值；

(2)證明3為數列｛%｝的一個周期，并用正整數上表示。；

(3)求｛““｝的通項公式.

333

27.(2016?上海高一期末)已知函數/(%)=cos-xcos—(x+2%)sin—(x+3/r),x￡R.

442

(1)試用周期函數的定義證明函數/(X)是周期函數，并指出該函數的一個周期；

(2)若函數/(X)在(0,+8)上取最大值、最小值時，所對應的x的值按從小到大依次記為

試求X,,關于〃(/1€N*)的函數關系式；

(3)在滿足(2)的條件下，y?=sinxnsinxn+isinxn+2(neN''),求證：.

28.(2015?上海曹楊二中高一期末)已知函數/(x)=sin(azx+e)-百cos(@x+e),(0>O)

為偶函數.

(D求夕的取值集合；

(2)若3=2,且在xe[0,2%)上，函數丁=|/。)|與丁=機的圖像有且僅有8個交點，求實

數而]取值范圍；

(3)設集合A={x"(x)=O},若Ac[—1]含有10個元素，求0的取值范圍.

29.(2016?上海市行知中學高一月考)已知函數/(x)=2sinx-cosx+J^cos2x-J^sin2x.

jr57r

(1)當xe-y，—時,求函數的值域；

⑵當xw[0,乃]時,求函數的單調遞增區(qū)間;

⑶當xe三二時，/(x)的反函數為尸(x)，求廣,(百)的值.

30.(2017?上海復旦附中高一期中)已知函數〃力，g(x)滿足關系g(x)=/(x>(x+：］.

(1)設f(x)=cosx+sinx,求g(x)的解析式；

(2)當/(x)=binX+cosx時，存在占、x2&R,對任意xeR,g(%)〈g(x)〈g(x2)恒

成立，求|石-目的最小值.

31.(2017?上海市復興高級中學高一期中)己知集合

M={/(X)I/(X)+/(X+2)=〃X+1)”H},g(x)=sin手

(1)判斷g(x)與集合M的關系，并說明理由；

(2)用中的元素是否都是周期函數，證明結論；

(3)M中的元素是否都是奇函數，證明你的結論.

32.(2016?上海市復興高級中學高一月考)已知函數

f(x)=2sin2x+2>/3sinxcosx-1(xe/?).

(1)試說明函數/(x)的圖象是由函數N=sinx的圖象經過怎樣的變換得到的；

I7T17T

(2)若函數g(x)=：|/(x+m)|+；|/(x+W)|(xwR),試判斷函數g(x)的奇偶性，并用

反證法證明函數g(x)的最小正周期是一；

4

(3)求函數g(x)的單調區(qū)間和值域.

33.(2017?上海市大同中學高一月考)已知函數/(x)=J§cos2x+sinxcosx,

(1)若/(a)=]+，,求。；

(2)如果關于x的方程|/(刈=加在區(qū)間(0,萬)上有兩個不同的實數根，求實數〃，的取值范

圍

34.(2020?上海中學高一期中)某公司要在一條筆直的道路邊安裝路燈，要求燈柱48與底

面垂直，燈桿況與燈柱力斷在的平面與道路走向垂直，路燈C采用錐形燈罩，射出的管線與平

面/比部分截面如圖中陰影所示，/48。=差,44。。=￡,路寬/1介24米，設

33

(1)求燈柱/弼高方(用。表示)；

(2)此公司應該如何設置，的值才能使制作路燈燈柱16和燈桿式所用材料的總長度最??？最

小值為多少？

35.(2018?上海曹楊二中高一期中)我們把平面直角坐標系中，函數y=f(x),xe。上的

點尸(x,y),若滿足：xwN*”N*,則稱點P(x,y)為函數y=/(x)的“整格點”.

(1)請你選取一個勿的值，使函數f(x)=sin〃ix,xwR的圖像上有整格點，并寫出函數的一

個整格點坐標；

(2)若函數/(x)=sin皿,機w(1,2),xeR與函數g(x)=1gx的圖像有整格點交點，求力的值,

并寫出兩個函數圖像的交點總個數；

(3)對于(2)中的砸，則函數/(x)=sin〃ir,xe0,焉時，不等式log”x>sinmx恒成立,

求實數a的取值范圍.

36.(2018?上海高一期末)已知函數

/；(x)=4sin(0x+9j+a2sin?x+sj+…+a“sin(s+%)(0>O),其中數列｛4,｝是公比為2的

1T

等比數列，數列｛0“｝是公差為］的等差數列.

(1)若q=l,6分別寫出數列｛%｝和數列｛仁｝的通項公式；

(2)若人(x)是奇函數，且4w(O,兀)，求名;

(3)若函數/,*)的圖像關于點(］,0)對稱，且當％=萬時，函數￡,(x)取得最小值，求⑷的

最小值.

37.(2018?上海市七寶中學高一期中)已知函數/(x)=2sin(ox),其中常數口〉0.

(1)令/=2,將函數y=/(x)的圖像向左平移?個單位，再向上平移1個單位，得到函數

y=g(x),求函數y=g(x)的解析式；

(2)若y=/(x)在［-彳TT,2爺乃］上單調遞增，求。的取值范圍；

(3)在(1)的條件下的函數y=g(x)的圖像，區(qū)間5,旬(q/eR且。<勿滿足：y=g(x)

在口,切上至少含有30個零點，在所有滿足上述條件的3,用中，求b-。的最小值.

38.(2019?上海市向明中學高一期中)如圖，點力，8單位圓。上的兩點，點提圓。與x軸正

半軸的交點，將銳角a的終邊以按逆時針方向旋轉(到加

(1)若點貓坐標為m求產學的值;

<55)1+cos2a

(2)若AABC的面積為巫，求銳角。的大小；

4

(3)用銳角a表示忸C|,并求|BC|的取值范圍.

39.(2018?上海曹楊二中高一期中)已知函數/(x)=cosg卜ing+6cos3.

(D將/(x)化為Asin(5+0)+“(A>O,co>0,的形式，并寫出其最小正周

期和圖象對稱軸方程,并判斷函數的奇偶性(不需證明)；

(2)若三角形三邊a、b、c?滿足〃=〃,，b所對為8,求解)范圍；

(3)在(2)的條件下，求/(B)的取值范圍.

40.(2018?上海曹楊二中高一期中)已知函數/(x)=sin(2tyx+。b1,加>0.

⑴當0=g時,求函數/(x)的單調遞減區(qū)間；

⑵對于xe(a,a+7r],a為任意實數，關于x的方程〃x)=-1恰好有兩個不等實根，求實

數0的值；

⑶在⑵的條件下，若不等式|/("+，]＜1在》€(wěn)O.y內恒成立，求實數f的取值范圍.

TT

41.(2019?上海復旦附中高一期末)設函數/(x)=5sin(azx+。)，其中(y〉0,^e(0,y).

(1)設/=2,若函數/(x)的圖象的一條對稱軸為直線x=學37r，求夕的值；

(2)若將/(x)的圖象向左平移T!T個單位，或者向右平移乃個單位得到的圖象都過坐標原點,

2

求所有滿足條件的。和9的值；

(3)設。=4,0=2，已知函數/。)=/。)一3在區(qū)間。64]上的所有零點依次為

6

x1,x2,x3,---,xn,且內＜々＜芻＜…〈七一＜X“，nwN*,求

%+2X2+2占+…2xn_,+2xn_,+%”的值.

42.(2019?上海市大同中學高一期中)已知等差數列｛%｝的公差de(0,加，數列｛"｝滿足

%=sin(a“)，集合S=｛x[x=d，〃eN*｝.

(1)若4=0,1=K，求集合S；

(2)若4=],求d使得集合S恰有兩個元素；

(3)若集合S恰有三個元素，bn+T=bn,隰不超過5的正整數，求的所有可能值，并寫出與

之相應的一個等差數列｛4｝的通項公式及集合S.

43.(2019?上海中學高一期中)已知函數/(x)=sin(2x+協((X?！慈f)，其圖像的一個對

稱中心是(吱，0)，將的圖像向左平移2個單位長度后得到函數g(x)的圖像.

⑴求函數g(x)的解析式；

⑵若對任意%,“2?°，4當占<%2時，都有/(5)一/(x2)Vg(xJ-g(x2)，求實數,的最

大值；

TT1

⑶若對任意實數a，y=g(ox)(q>0)在a,a+-上與直線y=《的交點個數不少于6個

且不多于10個，求正實數。的取值范圍.

44.(2017?上海高一期末)若函數/(力滿足〃x)=;1卜且

+=一x)(xeR)，則稱函數/(x)為“M函數”.

4

(1)試判斷“力二五白^是否為函數”，并說明理由；

(2)函數/(x)為“M函數"，且當xe-,7t時，f(x)=sinx,求y=的解析式，

34

并寫出在0,y上的單調遞增區(qū)間；

jr3k7T

(3)在⑵的條件下，當xw一子丁+萬(左eN)時，關于x的方程〃x)=a(a為常數)有

解,記該方程所有解的和為s(k),求S小).

45.(2017?上海高一期中)已知函數./'(x)=sin(＜yx+0)(。＞0,0＜。＜萬)的最小正周期為

TT

萬，其圖象的一個