次數(shù)分布和統(tǒng)計(jì)特征數(shù)

次數(shù)分布和統(tǒng)計(jì)特征數(shù)FrequencyDistributionandStatisticalIndex

正確地進(jìn)行資料的分類是資料整理的前提。在調(diào)查或試驗(yàn)中，由觀察、測(cè)量所得的數(shù)據(jù)按其性質(zhì)的不同，一般可以分為數(shù)量性狀資料和質(zhì)量性狀資料兩大類。

一、數(shù)量性狀資料第一節(jié)資料的分類

數(shù)量性狀(quantitativecharacter)是指能夠以測(cè)量或計(jì)數(shù)的方式表示其特征的性狀。觀察測(cè)定數(shù)量性狀而獲得的數(shù)據(jù)就是數(shù)量性狀資料(dataofquantitativecharacteristics)。數(shù)量性狀資料的獲得有測(cè)量和計(jì)數(shù)兩種方式，因而數(shù)量性狀資料又分為計(jì)量資料和計(jì)數(shù)資料兩種。

（一）計(jì)量資料指用測(cè)量方式獲得的數(shù)量性狀資料，即用度、量、衡等計(jì)量工具直接測(cè)定獲得的數(shù)量性狀資料。這種資料的各個(gè)觀測(cè)值不一定是整數(shù)，兩個(gè)相鄰的整數(shù)間可以有帶小數(shù)的任何數(shù)值出現(xiàn)，其小數(shù)位數(shù)的多少由度量工具的精度而定，它們之間的變異是連續(xù)性的。因此，計(jì)量資料也稱為連續(xù)性變異資料。

（二）計(jì)數(shù)資料指用計(jì)數(shù)方式獲得的數(shù)量性狀資料。在這類資料中，它的各個(gè)觀察值只能以整數(shù)表示，在兩個(gè)相鄰整數(shù)間不得有任何帶小數(shù)的數(shù)值出現(xiàn)。這些觀察值只能以整數(shù)來(lái)表示，各觀察值是不連續(xù)的，因此該類資料也稱為不連續(xù)性變異資料或間斷性變異資料。

二、質(zhì)量性狀資料

質(zhì)量性狀(qualitativecharacter)是指能觀察到而不能直接測(cè)量的性狀，如顏色、性別、生死等。這類性狀本身不能直接用數(shù)值表示，要獲得這類性狀的數(shù)據(jù)資料，須對(duì)其觀察結(jié)果作數(shù)量化處理，其方法有以下兩種：

（一）統(tǒng)計(jì)次數(shù)法

在一定的總體或樣本中，根據(jù)某一質(zhì)量性狀的類別統(tǒng)計(jì)其次數(shù)，以次數(shù)作為質(zhì)量性狀的數(shù)據(jù)。例如1.調(diào)查早豐番茄的裂果情況;2.100株南瓜上雌花與雄花的比率。表2-1100株南瓜上雌花與雄花的比率性別次數(shù)（f）頻率（％）雌花2819.6雄花11580.4合計(jì)143100.0

這種由質(zhì)量性狀數(shù)量化得來(lái)的資料又叫

次數(shù)資料。

（二）評(píng)分法

對(duì)某一質(zhì)量性狀，因其類別不同，分別給予評(píng)分。例如，調(diào)查紅富士蘋果的著色情況，將依據(jù)蘋果果面的著色面積分別給予1

5分的評(píng)分，以便統(tǒng)計(jì)分析。

色澤分級(jí)代表值207個(gè)果實(shí)中各級(jí)果數(shù)全紅104514>2/3紅2134361/3~2/3紅322397<1/3紅431253全綠54017例如，紅富士蘋果果色調(diào)查資料：第二節(jié)資料的整理

一、資料的檢查與核對(duì)

檢查和核對(duì)原始資料的目的在于確保原始資料的完整性和正確性。

所謂完整性是指原始資料無(wú)遺缺或重復(fù)。

所謂正確性是指原始資料的測(cè)量和記載無(wú)差錯(cuò)或未進(jìn)行不合理的歸并。檢查中要特別注意特大、特小和異常數(shù)據(jù)（可結(jié)合專業(yè)知識(shí)作出判斷）。對(duì)于有重復(fù)、異?；蜻z漏的資料，應(yīng)予以刪除或補(bǔ)齊；對(duì)有錯(cuò)誤、相互矛盾的資料應(yīng)進(jìn)行更正，必要時(shí)進(jìn)行復(fù)查或重新試驗(yàn)。

二、資料的整理方法

當(dāng)觀測(cè)值不多(n≤30)時(shí)，不必分組，直接進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。當(dāng)觀測(cè)值較多(n>30)時(shí)，宜將觀測(cè)值分成若干組，以便統(tǒng)計(jì)分析。將觀測(cè)值分組后，制成次數(shù)分布表，即可看到資料的集中和變異情況。

（一）計(jì)數(shù)資料的整理

現(xiàn)以100株黃瓜單株結(jié)瓜數(shù)為例，說(shuō)明計(jì)數(shù)資料的整理。

表2-2100株黃瓜單株結(jié)瓜數(shù)1815171916152018191717181716182019171618171817161820191716181716171918181717171818151618181817201918171915171717161718181719191719171816181717191616171717161716181918181919201516191817182019171817171615161817181617191917黃瓜單株結(jié)瓜數(shù)在15-20個(gè)范圍內(nèi)變動(dòng)，有6個(gè)不同的觀察值。用各個(gè)不同觀察值進(jìn)行分組，共分為6組，可得表2-3形式的次數(shù)分布表。表2-3100株黃瓜單株結(jié)瓜數(shù)的次數(shù)分布表每株瓜數(shù)劃記號(hào)數(shù)次數(shù)（f）15正一616正正正1517正正正正正正T3218正正正正2519正正正T1720正5合計(jì)100

有些計(jì)數(shù)資料，觀察值較多，變異范圍較大，若以每一觀察值為一組，則組數(shù)太多，而每組內(nèi)包含的觀察值太少，資料的規(guī)律性顯示不出來(lái)。對(duì)于這樣的資料，可擴(kuò)大為以幾個(gè)相鄰觀察值為一組，適當(dāng)減少組數(shù)，這樣資料的規(guī)律性就較明顯，對(duì)資料進(jìn)一步計(jì)算分析也比較方便。例2：200個(gè)甘藍(lán)單株一級(jí)分枝的結(jié)莢數(shù)次數(shù)分布表每株莢數(shù)（X）次數(shù)（f）26-30131-35336-401041-452145-503251-554156-603861-652566-701671-75876-80381-852c.i=5,n=200

(二)計(jì)量資料的整理

計(jì)量資料在分組前需要確定全距、組數(shù)、組距、組中值及組限，然后將全部觀測(cè)值歸組。步驟：數(shù)據(jù)排序（sort）求極差（range）確定組數(shù)和組距確定組限和組中點(diǎn)值（組值）原始資料的各個(gè)觀察值歸組實(shí)例：今測(cè)得100株湘菊梨的單株產(chǎn)量如表2-4，其次數(shù)分布表的制作方法如下：1.排序

1、求全距

全距是資料中最大值與最小值之差，又稱為極差(range)，用R表示，即R＝max｛xi｝-min｛xi｝

本例：R＝73.7-47.9=25.8(kg)

2、確定組數(shù)

組數(shù)的多少視樣本含量及資料的變動(dòng)范圍大小而定，一般以達(dá)到既簡(jiǎn)化資料又不影響反映資料的規(guī)律性為原則。組數(shù)要適當(dāng)，不宜過(guò)多，亦不宜過(guò)少。分組越多所求得的統(tǒng)計(jì)量越精確，但增大了運(yùn)算量；若分組過(guò)少，資料的規(guī)律性就反映不出來(lái)，計(jì)算出的統(tǒng)計(jì)量的精確性也較差。一般組數(shù)的確定，可參考表2-5。表2-5樣本容量大小與組數(shù)的關(guān)系樣本內(nèi)觀察值的個(gè)數(shù)分組時(shí)的組數(shù)505-101008-1620010-2030012-2450015-30100020-40本例中，n＝100，根據(jù)表2-5，初步確定組數(shù)為9組。3、確定組距

每組最大值與最小值之差稱為組距，記為i。分組時(shí)要求各組的組距相等。組距的計(jì)算公式為：為了便于計(jì)算，組距一般取整數(shù)。組距（i）＝全距（R）／組數(shù)

本例R＝２5.8，分為9組，故組距:（i）=25.8/9=2.9≈3.0（kg）

4、確定組限及組中值

各組的最大值與最小值稱為組限。最小值稱為下限，最大值稱為上限。每一組的中點(diǎn)值稱為組中值，它是該組的代表值。組中值與組限、組距的關(guān)系如下：組中值＝（組下限＋組上限）/2＝組下限＋1/2組距＝組上限－1/2組距。由于相鄰兩組的組中值間的距離等于組距，所以當(dāng)?shù)谝唤M的組中值確定以后，加上組距就是第二組的組中值，第二組的組中值加上組距就是第三組的組中值，其余類推。

組距確定后，首先要選定第一組的組中值。在分組時(shí)為了避免第一組中觀察值過(guò)多，一般第一組的組中值以接近或等于資料中的最小值為好。第一組組中值確定后，該組組限即可確定，其余各組的組中值和組限也可相繼確定。注意，最末一組的上限應(yīng)大于資料中的最大值。

表2-4中，最小值為47.9，第一組的組中值取48.5，因組距已確定為3.0，所以第一組的下限為：

48.5-(1/2)×3.0＝47.0；第一組的上限也就是第二組的下限為：

47.0+3.0=50.0；第二組的上限也就是第三組的下限為：

50.0+3.0=53.0，……，以此類推，一直到某一組的上限大于資料中的最大值為止。于是可分組為：

47.0

50.0，50.0

53.0，……。

為了使恰好等于前一組上限和后一組下限的數(shù)據(jù)能確切歸組，約定將其歸入上一組。第一組記為47.01

50.0，第二組記為50.01

53.0，

……

5、歸組劃線計(jì)數(shù)，作次數(shù)分布表

分組結(jié)束后，將資料中的每一觀測(cè)值逐一歸組，劃線計(jì)數(shù)，然后制成次數(shù)分布表。

100株想湘菊梨單株產(chǎn)量的次數(shù)分布表

在歸組劃線時(shí)應(yīng)注意，不要重復(fù)或遺漏，歸組劃線后將各組的次數(shù)相加，結(jié)果應(yīng)與樣本含量相等，如不等，證明歸組劃線有誤，應(yīng)予糾正。

在分組后所得實(shí)際組數(shù)，有時(shí)和最初確定的組數(shù)不同，如第一組下限和資料中的最小值相差較大或?qū)嶋H組距比計(jì)算的組距為小，則實(shí)際分組的組數(shù)將比原定組數(shù)多；反之則少。第三節(jié)常用統(tǒng)計(jì)表與統(tǒng)計(jì)圖

一、統(tǒng)計(jì)表

（一）統(tǒng)計(jì)表的結(jié)構(gòu)和要求

統(tǒng)計(jì)表由標(biāo)題、橫標(biāo)目、縱標(biāo)目、線條、數(shù)字及合計(jì)構(gòu)成，其基本格式如下表:

表號(hào)標(biāo)題編制統(tǒng)計(jì)表的總原則：結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，層次分明，內(nèi)容安排合理，重點(diǎn)突出，數(shù)據(jù)準(zhǔn)確，便于理解和比較分析。具體要求如下：

1、標(biāo)題

標(biāo)題要簡(jiǎn)明扼要、準(zhǔn)確地說(shuō)明表的內(nèi)容，有時(shí)須注明時(shí)間、地點(diǎn)。

2、標(biāo)目

標(biāo)目分橫標(biāo)目和縱標(biāo)目?jī)身?xiàng)。橫標(biāo)目列在表的左側(cè)，用以表示被說(shuō)明事物的主要標(biāo)志；縱標(biāo)目列在表的上端，說(shuō)明橫標(biāo)目各統(tǒng)計(jì)指標(biāo)內(nèi)容，并注明計(jì)算單位，如％、kg、cm等等。

3、數(shù)字

一律用阿拉伯?dāng)?shù)字，數(shù)字以小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，小數(shù)位數(shù)一致，無(wú)數(shù)字的用“─”表示，數(shù)字是“0”的，則填寫“0”。

4、線條

表的上下兩條邊線略粗，縱、橫標(biāo)目間及合計(jì)用細(xì)線分開，表的左右邊線可省去，表的左上角一般不用斜線。

(二)統(tǒng)計(jì)表的種類

統(tǒng)計(jì)表可根據(jù)縱、橫標(biāo)目是否有分組分為簡(jiǎn)單表和復(fù)合表兩類。

1、簡(jiǎn)單表

由一組橫標(biāo)目和一組縱標(biāo)目組成，縱橫標(biāo)目都未分組。此類表適于簡(jiǎn)單資料的統(tǒng)計(jì)，如表2-6。

表2-6100株南瓜上雌花與雄花的比率性別次數(shù)（f）頻率（％）雌花2819.6雄花11580.4合計(jì)143100.0

2、復(fù)合表

由兩組或兩組以上的橫標(biāo)目與一組縱標(biāo)目結(jié)合而成，或由一組橫標(biāo)目與兩組或兩組以上的縱標(biāo)目結(jié)合而成，或由兩組或兩組以上的橫、縱標(biāo)目結(jié)合而成。此類表適用于復(fù)雜資料的統(tǒng)計(jì)，如表2-7。

二、統(tǒng)計(jì)圖

常用的統(tǒng)計(jì)圖有條形圖

(bardiagram)、餅圖(piediagram)、方柱形圖(histogram)和

多邊形圖(polygon)等。一般情況下，計(jì)數(shù)資料、質(zhì)量性狀資料常用條形圖、餅圖，計(jì)量資料采用方柱形圖和多邊形圖。

（一）統(tǒng)計(jì)圖繪制的基本要求

1、標(biāo)題簡(jiǎn)明扼要，列于圖的下方。

2、縱、橫兩軸應(yīng)有刻度，注明單位。

3、橫軸由左至右、縱軸由下而上，數(shù)值由小到大；圖形長(zhǎng)寬比例約5：4或6：5。

4、圖中需用不同顏色或線條代表不同事物時(shí)，應(yīng)有圖例說(shuō)明。

（二）常用統(tǒng)計(jì)圖及其繪制方法

1、條形圖

它用等寬長(zhǎng)條的長(zhǎng)短或高低表示按某一研究指標(biāo)劃分屬性種類或等級(jí)的次數(shù)或頻率分布。如果只涉及一項(xiàng)指標(biāo)，則采用單式長(zhǎng)條圖；如果涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的指標(biāo)，則采用復(fù)式長(zhǎng)條圖。

在繪制長(zhǎng)條圖時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）縱軸尺度從“0”開始，間隔相等，標(biāo)明所表示指標(biāo)的尺度及單位。（2）橫軸是長(zhǎng)條圖的共同基線，應(yīng)標(biāo)明各長(zhǎng)條的內(nèi)容。長(zhǎng)條的寬度要相等，間隔相同。間隔的寬度可與長(zhǎng)條寬度相同或者是其一半。（3）在繪制復(fù)式長(zhǎng)條圖時(shí)，將同一屬性種類、等級(jí)的兩個(gè)或兩個(gè)以上指標(biāo)的長(zhǎng)條繪制在一起，各長(zhǎng)條所表示的指標(biāo)用圖例說(shuō)明，同一屬性種類、等級(jí)的各長(zhǎng)條間不留間隔。圖2-2解凍溫度對(duì)禪寺丸花粉超低溫保存后活力的影響2、餅圖

用于表示計(jì)數(shù)資料、質(zhì)量性狀資料的構(gòu)成比。所謂構(gòu)成比，就是各類別、等級(jí)的觀測(cè)值個(gè)數(shù)(次數(shù))與觀測(cè)值總個(gè)數(shù)(樣本含量)的百分比。把園圖的全面積看成100%，按各類別、等級(jí)的構(gòu)成比將園面積分成若干分，以扇形面積的大小表分別表示各類別、等級(jí)的比例。

圖2-3世界柑桔產(chǎn)量情況

3、方柱形圖

對(duì)計(jì)量資料，可根據(jù)次數(shù)分布表作出直方圖以表示資料的分布情況。其作法是：在橫軸上標(biāo)記組限，縱軸標(biāo)記次數(shù)（f），在各組上作出其高等于次數(shù)的矩形，即得次數(shù)分布直方圖。

20151050圖2-4100株湘菊梨單株產(chǎn)量方柱形圖47.050.053.056.059.062.065.068.071.074.0

方柱形圖（histogram）：適用于表示連續(xù)性變數(shù)的次數(shù)分布。4、多邊形圖

對(duì)于計(jì)量資料，還可根據(jù)次數(shù)分布表作出次數(shù)分布多邊形圖。其作法是：在橫軸上標(biāo)記組中值，縱軸上標(biāo)記次數(shù)，以各組組中值為橫坐標(biāo)，次數(shù)為縱坐標(biāo)描點(diǎn)，用線段依次連接各點(diǎn)，即可得次數(shù)分布多邊形圖。圖2-5100株湘菊梨單株產(chǎn)量方柱形圖48.551.554.557.560.563.566.569.572.5

20151050·····

····次數(shù)f

適用于計(jì)量資料的次數(shù)分布圖，且在同一圖上可比較直觀地比較兩組以上資料。

平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最常用的統(tǒng)計(jì)量，用來(lái)表明資料中各觀測(cè)值相對(duì)集中較多的中心位置。平均數(shù)主要包括有：

算術(shù)平均數(shù)（arithmeticmean）幾何平均數(shù)（geometricmean）中位數(shù)（median）眾數(shù)（mode）第四節(jié)平均數(shù)

一、算術(shù)平均數(shù)

算術(shù)平均數(shù)是指資料中各觀測(cè)值的總和除以觀測(cè)值個(gè)數(shù)所得的商，簡(jiǎn)稱平均數(shù)或均數(shù)，記為。

算術(shù)平均數(shù)可根據(jù)樣本大小及分組情況而采用直接法或加權(quán)法計(jì)算。

(一)直接法

主要用于樣本含量n≤30以下、未經(jīng)分組資料平均數(shù)的計(jì)算。

設(shè)某一資料包含n個(gè)觀測(cè)值：

x1、x2、…、xn，則樣本平均數(shù)可通過(guò)下式計(jì)算：【例3.1】測(cè)得某果園的10株湘菊梨的單株產(chǎn)量（Kg/株）分別為57.3、67.2、52.8、59.1、56.4、49.7、73.7、61.2、55.5、53.9（kg），求其平均數(shù)。

由于Σx=57.3+67.2+52.8+59.1+56.4+49.7+73.7+61.2+55.5+53.9=587n=10即10株湘菊梨的平均單產(chǎn)為58.7kg。（二）加權(quán)法

對(duì)于樣本含量n≥30以上且已分組的資料，可以在次數(shù)分布表的基礎(chǔ)上采用加權(quán)法計(jì)算平均數(shù)，計(jì)算公式為：x—組中值f—各組次數(shù)【例3.2】在100株湘菊梨次數(shù)分布表的基礎(chǔ)上，計(jì)算其平均單株產(chǎn)量。

由于Σx=48.5×3+51.5×6+54.5×10+57.5×18+60.5×21+63.5×17+66.5×14+69.5×7+72.5×4=6092n=100即100株湘菊梨的平均單產(chǎn)為60.9kg。若利用直接法計(jì)算Σx=

6101.4

加權(quán)法應(yīng)用于質(zhì)量性狀資料求平均數(shù)?！纠?.3】利用加權(quán)法調(diào)查某200棵果樹的平均受病害情況。病情分級(jí)一（<5%）二（5～25%）三（25～50%）四（50～75%）五（>75%）

各級(jí)株數(shù)f2030804030病情分級(jí)代表值

各級(jí)株數(shù)fx1x2x3一（<5%）15020二（5～25%）24130三（25～50%）33280四（50～75%）42340五（>75%）51430平均受害程度：平均數(shù)的基本性質(zhì)：離均差的代數(shù)和等于零離均差的平方和最小二、幾何平均數(shù)

n個(gè)觀測(cè)值相乘之積開n次方所得的方根，稱為幾何平均數(shù)，記為G。它主要應(yīng)用于園藝植物的生產(chǎn)動(dòng)態(tài)分析和藥物效價(jià)的統(tǒng)計(jì)分析。如園藝植物的增長(zhǎng)率，農(nóng)藥的效價(jià)等，用幾何平均數(shù)比用算術(shù)平均數(shù)更能代表其平均水平。其計(jì)算公式如下：

幾何平均數(shù)常用于求增長(zhǎng)率這類資料的平均數(shù)。例：番茄遺傳試驗(yàn)中從兩親本果重預(yù)測(cè)F1果重親本果重P1=10.36g，P2=0.45g實(shí)際測(cè)到的F1果重2.33克。第五節(jié)變異數(shù)極差方差標(biāo)準(zhǔn)差變異系數(shù)（一）、變異數(shù)的意義

用平均數(shù)作為樣本的代表，其代表性的強(qiáng)弱受樣本資料中各觀測(cè)值變異程度的影響。僅用平均數(shù)對(duì)一個(gè)資料的特征作統(tǒng)計(jì)描述是不全面的，還需引入一個(gè)表示資料中觀測(cè)值變異程度大小的統(tǒng)計(jì)量。1、全距（極差）是表示資料中各觀測(cè)值變異程度大小最簡(jiǎn)便的統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)資料很多而又要迅速對(duì)資料的變異程度作出判斷時(shí)，可以利用全距這個(gè)統(tǒng)計(jì)量。極差大，平均數(shù)代表性差；相反，代表性較好。但極差只由兩個(gè)極端觀察值決定，不能精確表示資料的變異度。用其代表整個(gè)樣本的變異是有缺陷的。

為了準(zhǔn)確地表示樣本內(nèi)各個(gè)觀測(cè)值的變異程度，人們首先會(huì)考慮到以平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求出各個(gè)觀測(cè)值與平均數(shù)的離差，（），稱為離均差。

雖然離均差能表示一個(gè)觀測(cè)值偏離平均數(shù)的性質(zhì)和程度，但因?yàn)殡x均差有正、有負(fù)，離均差之和為零，因而不能用來(lái)表示資料中所有觀測(cè)值的總偏離程度。二、方差和標(biāo)準(zhǔn)差

為了解決離均差有正、有負(fù)，離均差之和為零的問(wèn)題，可以采用離均差平方的辦法來(lái)解決。先將各個(gè)離均差平方，即()2

，再求

離均差平方和，即，簡(jiǎn)稱平方和，記為SS；由于離差平方和常隨樣本大小而改變，為了消除樣本大小的影響，用平方和除以樣本大小，即，求出離均差平方和的平均數(shù)；

為了使所得的統(tǒng)計(jì)量是相應(yīng)總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量，統(tǒng)計(jì)學(xué)證明，在求離均差平方和的平均數(shù)時(shí)，分母不用樣本含量n，而用自由度

n-1，于是，我們采用統(tǒng)計(jì)量表示樣本的變異程度。