2023-2024學(xué)年湘教版必修第二冊(cè) 　 向量的數(shù)乘 課件（41張）

1.通過實(shí)例分析，掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算，理解其幾何意義，理解兩個(gè)平面向量共線的含義.2.了解平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求利用向量數(shù)乘運(yùn)算的形成過程，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象在概念及性質(zhì)的產(chǎn)生、發(fā)展過程中的作用，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動(dòng)分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識(shí)探究11.向量的數(shù)乘(1)定義：求向量的實(shí)數(shù)倍的運(yùn)算稱為向量的數(shù)乘，記作：λa，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a(a≠0)的方向______；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向______.③當(dāng)λ＝0或a＝0時(shí)，λa＝0.相同相反(2)向量數(shù)乘的幾何意義向量數(shù)乘的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或a的反方向____________.(3)向量的線性運(yùn)算向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為________________.向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)______.放大或縮小向量的線性運(yùn)算向量2.共線向量(1)定義：當(dāng)非零向量a，b方向____________時(shí)，就稱a，b共線，也稱a，b平行，記作________，并規(guī)定零向量與所有的向量平行.(2)共線定理a∥b?存在實(shí)數(shù)λ，使得_______________

(a，b為非零向量).相同或相反a∥bb＝λa或a＝λb點(diǎn)睛(1)平行向量與共線向量：共線向量就是平行向量.有了“相等向量”的概念之后，可知任意一組平行向量都可以移到同一直線上，因此平行向量就是共線向量.共線向量中“共線”的含義不是平面幾何中“共線”的含義.共線向量中的“共線”對(duì)應(yīng)平面幾何中的兩種情況：①表示向量的有向線段在同一條直線上；②表示向量的有向線段所在直線是兩條平行直線.(2)相等向量與共線向量：相等的向量方向相同且長(zhǎng)度相等，故相等向量是共線向量，但是共線向量不一定是相等向量.3.向量a與b的夾角∠AOB＝θ(2)顯然，當(dāng)θ＝0時(shí)，a與b______；當(dāng)θ＝π時(shí)，a與b______.同向反向點(diǎn)睛4.單位向量5.數(shù)乘運(yùn)算律一般地，設(shè)a，b是任意向量，x，y是任意實(shí)數(shù)，則：(1)對(duì)實(shí)數(shù)加法的分配律：(x＋y)a＝_________.(2)對(duì)實(shí)數(shù)乘法的結(jié)合律：x(ya)＝_______.(3)對(duì)向量加法的分配律：x(a＋b)＝________.xa＋ya(xy)axa＋xb1.思考辨析，判斷正誤×(1)若向量b與a共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ使b＝λa.(

)提示當(dāng)b＝0，a＝0時(shí)，實(shí)數(shù)λ不唯一.當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，不存在實(shí)數(shù)λ.(2)若b＝λa，則a與b共線(其中λ為實(shí)數(shù)).()提示由共線向量定理可知其正確.(3)若λa＝0，則a＝0(其中λ為實(shí)數(shù)).(

)提示若λa＝0，則a＝0或λ＝0.√×2.已知非零向量a，b滿足a＝4b，則(

) A.|a|＝|b| B.4|a|＝|b| C.a與b的方向相同 D.a與b的方向相反解析∵a＝4b，4>0，∴|a|＝4|b|.∵4b與b的方向相同，∴a與b的方向相同.CC又∵兩向量有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線.B課堂互動(dòng)題型剖析2`題型一向量的線性運(yùn)算向量線性運(yùn)算的基本方法(1)類比法：向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，例如，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的數(shù)乘中同樣適用，但是這里的“同類項(xiàng)”“公因式”是指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù).(2)方程法：向量也可以通過列方程來(lái)解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解方程的方法求解，同時(shí)在運(yùn)算過程中要多注意觀察，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算.思維升華

(2)原式＝2ma－na－mb－m(a－b)＋n(a－b)＝2ma－na－mb－ma＋mb＋na－nb＝ma－nb.角度1判定向量共線或三點(diǎn)共線【例2】

已知非零向量e1，e2不共線.題型二向量共線的判定及應(yīng)用(1)解∵b＝6a，∴a與b共線.(1)向量共線的判斷(證明)是把兩向量用共同的已知向量來(lái)表示，進(jìn)而互相表示，從而判斷共線.(2)利用向量共線定理證明三點(diǎn)共線，一般先任取兩點(diǎn)構(gòu)造向量，從而將問題轉(zhuǎn)化為證明兩向量共線，需注意的是，在證明三點(diǎn)共線時(shí)，不但要利用b＝λa(a≠0)，還要說明向量a，b有公共點(diǎn).思維升華角度2利用向量共線求參數(shù)值【例3】

已知非零向量e1，e2不共線，欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定k的值.

解∵ke1＋e2與e1＋ke2共線， ∴存在實(shí)數(shù)λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，

則(k－λ)e1＝(λk－1)e2.利用向量共線定理，即b與a(a≠0)共線?b＝λa，既可以證明點(diǎn)共線或線共線問題，也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值.思維升華1∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.題型三用已知向量表示其他向量用已知向量表示其他向量的兩種方法(1)直接法思維升華(2)方程法當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程.D解析如圖所示，課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3

一、選擇題1.下列說法中正確的是(

) A.λa與a的方向不是相同就是相反(λ為實(shí)數(shù)) B.若a，b共線，則b＝λa(λ為實(shí)數(shù)) C.若|b|＝2|a|，則b＝±2a D.若b＝±2a，則|b|＝2|a|

解析顯然當(dāng)b＝±2a時(shí)，必有|b|＝2|a|.DBBAD38.已知e1，e2是兩個(gè)非零不共線的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a與b是共線向量，則實(shí)數(shù)k的值為________.

解析∵a與b是共線向量，∴a＝λb， ∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，－2三、解答題9.如圖，