（大學課件）隨機變量及其分布：隨機變量函數(shù)的分布

一、離散型隨機變量函數(shù)的分布

二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布

§2.4

隨機變量函數(shù)的分布

內容：已知X的概率分布，求其函數(shù)Y=g（X）的概率分布。

已知球的半徑X的分布，考慮球的體積：Y=4/3πX3

；當X～N(μ,σ2)時，Y～N(0,1)一、X為離散型隨機變量二、X為連續(xù)型隨機變量如§2.4隨機變量函數(shù)的分布設y=g(x)

為x的函數(shù)，X為隨機變量,則Y=g(X)也是一個隨機變量，且當X取值x時，Y取值y=g(x)。

若X是離散型的，則Y=g（X）也是離散型隨機變量，且它的取值為yk=g（xk），其分布可以直接由X的分布求得。

例1

設隨機變量X的概率分布為X-2-10123P0.050.150.200.250.20.15

求Y=2X+1和Z=X2

解將X所有可能的取值一一代入函數(shù)，求得Y相應的取值和概率為Y=2X+1-3-11357P0.050.150.200.250.20.15一、離散型隨機變量函數(shù)的分布Z=X2可能取的值為0，1，4，9，相應的概率值為：

同理，

即Z的概率分布為

通過例題可總結出計算離散型隨機變量函數(shù)的分布的方法：Z=X20149P0.200.400.250.15首先將的取值代入函數(shù)關系，求出隨機變量Y相應的取值如果yi(i=1,2,…)的值各不相等，則Y的概率分布為Yy1y2…yi…Pp1p2…pi…如果yi=(xi)(i=1,2,…)中出現(xiàn)m(≥2)個相同的函數(shù)值，即存在則在Y的分布列中，取的概率為使

一般地，若已知X的概率密度為fX(x),求其函數(shù)Y=g(X)的概率密度fY(y)分兩個步驟：

10

根據(jù)分布函數(shù)的定義求Y的分布函數(shù)FY(y);

20

由fY(y)=F

(y)求出fY(y)

例2設隨機變量X的概率密度為fX(x)，求線性函數(shù)Y=aX+b(a,b是常數(shù)，且a≠0)的概率密度fY(y)。1.分布函數(shù)法二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布

解FY(y)=，a＜0，a＞0

，a＜0，a＞0=例2對數(shù)正態(tài)分布隨機變量求Y=ex的分布解當y>0時，當y≤0時即Y的密度函數(shù)為則FY(y)=P{Y≤y}=P{2X+8≤y}所以于是

Y的分布函數(shù)為FY(y)，解：設X的分布函數(shù)為F

(x)，求隨機變量的概率密度概率密度為fY(y)例3：設隨機變量X具有密度二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布

定理設連續(xù)型隨機變量X的概率密度是fX（x）

，函數(shù)y=g（x）單調可導，其反函數(shù)x=h（y）滿足h’(y)恒不為零。對于fX（x）

＞0的x，y=g（x）的值域為[α，β]，則隨機變量Y的概率密度為2.公式法

由于y=sinx在（-π/2，π/2）是x

的單調可導函數(shù)，其反函數(shù)x=arcsiny存在、可導且導數(shù)恒不為零。而

h(y)=arcsiny,h’(y)=于是fY(y)=|h’(y)|fX[h(y)]=

例4

設X～U(-π/2，π/2)，求Y=sinX的概率密度。

解

X的概率密度為

例5

設，求隨機變量（a,b均為常數(shù)，且）的概率密度.解:

由于X～N(μ,σ2)，所以X的概率密度函數(shù)為顯然函數(shù)y=g(x)=ax+b在區(qū)間(-∞,+∞)內單調、可導，且g’(x)=a．若a>0，則g(x)單調遞增，若a<0，則g(x)單調遞減.取α=min{g(-∞),g(+∞)}=-∞,β=max{g(-∞),g(+∞)}=