正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)2010

1.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)思考：如何畫(huà)出正弦曲線、余弦曲線的圖象？yxo1-1y=sinx，x[0,2]y=cosx，x[0,2]五點(diǎn)作圖法正弦線法-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxyxyO1-1y=cosx探究：根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，你能說(shuō)出它們具有哪些性質(zhì)嗎？性質(zhì)1：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域均為_(kāi)________.性質(zhì)2：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域均為_(kāi)________.性質(zhì)3：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)具有周期性.觀察上圖,正弦曲線每相隔

個(gè)單位重復(fù)出現(xiàn)..誘導(dǎo)公式其理論依據(jù)是什么？-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxy當(dāng)自變量x的值增加2π的整數(shù)倍時(shí)，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn).數(shù)學(xué)上，用周期性這個(gè)概念來(lái)定量地刻畫(huà)這種“周而復(fù)始”的變化規(guī)律.周期函數(shù)的定義：對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有，那么函數(shù)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T就叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

思考：周期函數(shù)的周期是否是唯一的？正弦函數(shù)的周期可以是哪些？答：周期函數(shù)的周期不止一個(gè).正弦函數(shù)的周期可以是…事實(shí)上，任何一個(gè)常數(shù)都是它的周期.最小正周期:

如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),則這個(gè)最小正數(shù)叫做的最小正周期.思考：正弦函數(shù)有沒(méi)有最小正周期？如果有，是多少？如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.答：正弦函數(shù)存在最小正周期，是

.思考：通過(guò)以上的探究，你能得到正弦函數(shù)在周期性方面的什么結(jié)論？余弦函數(shù)呢？結(jié)論：正弦函數(shù)是周期函數(shù)，都是它的周期，最小正周期是.

余弦函數(shù)也是周期函數(shù)，都是它的周期，最小正周期是

.例1求下列函數(shù)的周期：解：（1）因?yàn)椋杂芍芷诤瘮?shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為.（2）因?yàn)?，所以由周期函?shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為.（3）因?yàn)?，所以由周期函?shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為.思考：你能從例1的解答過(guò)程中歸納一下這些函數(shù)的周期與解析式中哪些量有關(guān)嗎？一般地，函數(shù)（其中）的最小正周期.2.求下列函數(shù)的周期：解:所以原函數(shù)的周期為.所以原函數(shù)的周期為.所以原函數(shù)的周期為.所以原函數(shù)的周期為.例2已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＋f(x)=0，試判斷f(x)是否為周期函數(shù)？解：由已知有：f(x＋2)=-f(x)∴f(x+4)=

即f(x＋4)=f(x)∴由周期函數(shù)的定義知，f(x)是周期函數(shù).f(x)=-[-f(x)]=-f(x＋2)f[(x＋2)+2]=一、奇偶性探究1.觀察正弦曲線和余弦曲線的對(duì)稱性，你有什么發(fā)現(xiàn)？xyo--1234-2-31

正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)o對(duì)稱yxo--1234-2-31

余弦曲線關(guān)于軸對(duì)稱2.根據(jù)圖象的特點(diǎn)，猜想正余弦函數(shù)分別有什么性質(zhì)？如何從理論上驗(yàn)證？sin(-x)=-sinx(xR)

y=sinx(xR)是奇函數(shù)cos(-x)=cosx(xR)

y=cosx(xR)是偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱二、單調(diào)性探究1.當(dāng)時(shí)，正弦函數(shù)在哪些區(qū)間上是增函數(shù)？在哪些區(qū)間上是減函數(shù)？xyo--1234-2-31

y=sinx增區(qū)間:減區(qū)間：xyo--1234-2-31

y=sinx2.由上面的正弦曲線你能得到哪些正弦函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間？怎樣把它們整合在一起？增區(qū)間：減區(qū)間：周期性xyo--1234-2-31

y=sinx3.正弦函數(shù)有多少個(gè)增區(qū)間和減區(qū)間？觀察正弦函數(shù)的各個(gè)增區(qū)間和減區(qū)間，函數(shù)值的變化有什么規(guī)律？正弦函數(shù)有無(wú)數(shù)多個(gè)增區(qū)間和減區(qū)間.在每個(gè)增區(qū)間，函數(shù)值從增大到，在每個(gè)減區(qū)間，函數(shù)值從減小到.

正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間上都是增函數(shù)，其值從-1增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間上都是減函數(shù)，其值從1減小到-1.4.余弦函數(shù)可以得到怎樣相似的結(jié)論呢？在每個(gè)區(qū)間______________________上都是減函數(shù)，

yxo--1234-2-31

在每個(gè)區(qū)間______________________上都是增函數(shù)，其值從____增大到____其值從____減小到____正弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)______________時(shí)取得最大值___當(dāng)且僅當(dāng)_____________時(shí)取得最小值___三、最大值和最小值探究xyo--1234-2-31

余弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)______________時(shí)取得最大值___當(dāng)且僅當(dāng)_____________時(shí)取得最小值___三、最大值和最小值探究yxo--1234-2-31

例1下列函數(shù)有最大值、最小值嗎？如果有，請(qǐng)寫(xiě)出取最大值、最小值時(shí)自變量x的集合，并說(shuō)出最大值、最小值分別是多少.解：這兩個(gè)函數(shù)都有最大值、最小值.(1)使函數(shù)取得最大值的的集合為

使函數(shù)取得最小值的的集合為最大值為最小值為解：（2）令，由得，

使函數(shù)取得最大值的的集合是因此使函數(shù)取得最大值的的集合為最大值為3.想一想：最小值的的集合怎么求？解：同理使函數(shù)取得最小值的的集合為最小值為-3.例2根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大小：

(1)sin()與sin()(2)cos()與cos()

解：（1）因?yàn)橛?/p>

y=sinx在上是增函數(shù),

sin()>sin().所以解:(2)cos()=cos=cos

cos()=cos=cos

因?yàn)閏os>cos所以又

y=cosx在上是減函數(shù)

cos()>cos().即例3求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.解：令函數(shù)的遞增區(qū)間是由得設(shè)可得所以原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為1.觀察正弦曲線和余弦曲線，寫(xiě)出滿足下列條件的區(qū)間:2.求使下列函數(shù)取得最大值、最小值的自變量的集合，并寫(xiě)出最大值、最小值各是多少.最大