基于多個(gè)歸一化頻率估計(jì)的概率自治系統(tǒng)

基于多個(gè)歸一化頻率估計(jì)的概率自治系統(tǒng)

工程中的許多信號(hào)，包括電能系統(tǒng)波形和間波形、機(jī)械振動(dòng)和語(yǔ)音信號(hào)，通?？梢愿爬閹追N頻率未知的正交信號(hào)形成的總周期函數(shù)。時(shí)間頻率分析的主要目標(biāo)是確定每個(gè)正交組件的頻率和振幅，并跟蹤矯正分量本身。近年來(lái)，這種類型的泄漏濾波（anf）逐漸被應(yīng)用于這些分析[1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、14、15、16、17、18、19、20和21]。本文所討論的這類ANF算法,先由Regalia提出了離散時(shí)間形式以估計(jì)單個(gè)正弦信號(hào)的未知頻率,后由Bodson等將其改寫為連續(xù)時(shí)間形式用以消除未知頻率的正弦擾動(dòng).接著Hsu等指出正弦信號(hào)的幅值與頻率是高度耦合的,使得有些頻率估計(jì)算法的暫態(tài)響應(yīng)速度受輸入幅值大小的影響稱之為非歸一化算法,而把收斂速度基本不受幅值大小影響的算法稱為歸一化頻率估計(jì)算法.他們提出了全局收斂的非歸一化算法和歸一化算法:非歸一化算法采用常數(shù)頻率自適應(yīng)增益,計(jì)算簡(jiǎn)單,改進(jìn)了暫態(tài)響應(yīng)性能,擴(kuò)大了穩(wěn)定域;歸一化算法的頻率自適應(yīng)增益通過(guò)一個(gè)多達(dá)5個(gè)參數(shù)的公式計(jì)算得到計(jì)算復(fù)雜且不易調(diào)整參數(shù).Mojiri等沿用了常數(shù)頻率自適應(yīng)增益的非歸一化算法計(jì)算簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn),改善了暫態(tài)性能以及更加便于實(shí)現(xiàn)正弦信號(hào)跟隨在文獻(xiàn)的非歸一化算法中,除頻率自適應(yīng)增益以外,還有一個(gè)參數(shù)是阻尼系數(shù).基于最小方差原則與梯度下降算法,KarimiGhartemani等提出幅值、相位模型(Amplitudephasemodel,APM)與幅值、相位、頻率模型(Amplitudephasefrequencymodel,APFM)兩種非線性時(shí)變強(qiáng)耦合濾波器,分別跟蹤已知和未知頻率的單個(gè)正弦信號(hào).APFM方法屬于非歸一化頻率估計(jì)算法.這兩種算法的兩個(gè)參數(shù)μ1和μ2與正弦幅值U之間只有保持μ1=μ2U,才能使得算法近似于線性時(shí)不變系統(tǒng),從而達(dá)到最優(yōu)的暫態(tài)性能.而在文獻(xiàn)的算法中,以一個(gè)參數(shù)?取代兩個(gè)參數(shù)μ1和μ2的作用,這使得APFM算法關(guān)于信號(hào)幅值變換的魯棒性相對(duì)較差.基于內(nèi)模原理,Brown等提出了歸一化的頻率估計(jì)算法,用以辨識(shí)未知頻率的周期信號(hào)或者消除未知頻率的周期擾動(dòng),隨后又對(duì)該算法進(jìn)行簡(jiǎn)化處理,進(jìn)一步應(yīng)用于指數(shù)衰減正弦信號(hào)的跟隨中.在沿用了文獻(xiàn)的最小方差原則與梯度下降方法的基礎(chǔ)上,增加旋轉(zhuǎn)變換,可導(dǎo)出只有一個(gè)參數(shù)μ的二維線性正弦跟蹤算法(Linearsinusoidtracker,LST),用以提取給定頻率的正弦信號(hào)、分析諧波和間諧波幅值以及檢測(cè)電壓閃變.在LST算法中參數(shù)μ在數(shù)值上等于幅值傳遞函數(shù)的-3dB帶寬,與APM算法相比,LST算法參數(shù)物理意義更加明確且較易調(diào)整,暫態(tài)響應(yīng)平穩(wěn),暫態(tài)性能受幅值變化影響較小.基于LST方法,可提出非歸一化與歸一化兩種頻率估計(jì)算法,準(zhǔn)確跟隨單個(gè)正弦信號(hào)的頻率和幅值.非歸一化頻率估計(jì)算法改進(jìn)了文獻(xiàn)的同類算法的收斂速度受制于輸入頻率數(shù)值的不足;暫態(tài)響應(yīng)相當(dāng)于文獻(xiàn)的APFM算法的參數(shù)始終保持在μ1=μ2U條件下最優(yōu)性能,且參數(shù)較少、魯棒性較好.歸一化頻率估計(jì)算法是基于估計(jì)頻率的導(dǎo)數(shù),而不是估計(jì)頻率的偏移量.上述針對(duì)單個(gè)正弦信號(hào)的跟蹤算法,被推廣用于多種信號(hào)的分析.文獻(xiàn)[16-17]推廣到三相電力系統(tǒng)的諧波和間諧波分析中.文獻(xiàn)分析基波頻率未知、諧波和間諧波次數(shù)已知的多個(gè)正弦成分疊加的概周期信號(hào),實(shí)現(xiàn)了對(duì)基波頻率以及整數(shù)次諧波的跟隨;文獻(xiàn)采用一個(gè)APFM與多個(gè)APM并聯(lián),文獻(xiàn)采用一個(gè)非歸一化頻率估計(jì)算法以及多個(gè)LST并聯(lián),都能估計(jì)基波頻率、基波幅值以及諧波和間諧波幅值.這些算法事實(shí)上構(gòu)成了非歸一化基波頻率估計(jì)器.針對(duì)基波、諧波與間諧波頻率都未知的多正弦成分疊加的信號(hào),文獻(xiàn)采用多個(gè)APFM分析了基波、諧波和間諧波成分,文獻(xiàn)采用多個(gè)文獻(xiàn)的頻率估計(jì)算法實(shí)現(xiàn)相同的目標(biāo).這類采用多個(gè)正弦跟蹤算法或頻率估計(jì)算法并聯(lián)構(gòu)成的系統(tǒng),其頻譜特性具有梳狀濾波器的特點(diǎn),即在多個(gè)頻率點(diǎn)出現(xiàn)幅頻特性等于“1”的具有一定寬度的“梳齒”.由多個(gè)頻率估計(jì)器并聯(lián)而形成的濾波器,能夠自適應(yīng)跟蹤基波、諧波和間諧波的頻率.然而,上述頻率自適應(yīng)梳狀濾波器都是基于非歸一化算法,其響應(yīng)速度受到基波、諧波和間諧波幅值大小的制約.另外,前述文獻(xiàn)僅分析了各自所提出的頻率自適應(yīng)梳狀濾波器的漸近穩(wěn)定性,局限在輸入正弦成分個(gè)數(shù)恰好等于系統(tǒng)所并聯(lián)的頻率估計(jì)器個(gè)數(shù)的情況,而沒(méi)有考慮小于或大于的情況.為此,本文采用多個(gè)文獻(xiàn)所提出的歸一化頻率估計(jì)算法并聯(lián)形成歸一化頻率自適應(yīng)梳狀濾波器,分析基波、諧波、間諧波的頻率都未知的平穩(wěn)概周期信號(hào).新算法較非歸一化算法具有暫態(tài)響應(yīng)速度不受正弦幅值影響的優(yōu)點(diǎn),魯棒性較好.先進(jìn)行系統(tǒng)解耦和平均化處理,以獲得估計(jì)頻率的平均方程再依據(jù)輸入正弦成分個(gè)數(shù)等于、小于和大于并聯(lián)頻率估計(jì)器個(gè)數(shù)三種情況,分別討論算法的單個(gè)孤立平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性、中心流形和周期擾動(dòng)下的穩(wěn)定性并討論幅值估計(jì)的收斂性,最后通過(guò)仿真實(shí)例驗(yàn)證算法性能.1信號(hào)時(shí)頻分析考慮由K個(gè)正弦分量組成的輸入信號(hào)其中,u=[u1u2···uK]T為輸入向量,ΓK=[11···1]T為數(shù)值都等于1的K維列向量,顯然u(t)為關(guān)于t的概周期函數(shù).各個(gè)輸入正弦分量的幅值Uk、角頻率ωk和初相角δk都是未知的恒值,但能夠確定Umin≤Uk≤Umax,ωkmin≤ωk≤ωkmax(k=1,2,···,K).假定ωk互不相同,即[ωkminωkmax]∩[ωjminωjmax]=φ對(duì)于任意k=j都成立.信號(hào)時(shí)頻分析的任務(wù)主要是獲得角頻率向量ω=[ω1ω2···ωK]T和幅值向量U=[U1U2···UK]T的精確估計(jì),以及實(shí)現(xiàn)對(duì)u(t)及其各個(gè)正弦分量uk(t)的高精度跟隨.假定狀態(tài)變量初值為設(shè)帶寬參數(shù)向量為μ=[μ1μ2···μN(yùn)]T,記ΛΛ(θ)=diag{θ1,θ2,···,θN}為對(duì)角矩陣,ΓN為數(shù)值全為1的N維列向量,0為零矩陣.有如下時(shí)頻分析算法的非線性系統(tǒng)模型.其中稱式(4)為系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)方程,稱式(5)為歸一化頻率更新法則,其表達(dá)式為考慮到在實(shí)際系統(tǒng)中都是有限帶寬的有界信號(hào),并且經(jīng)模數(shù)轉(zhuǎn)換都存在量化誤差,狀態(tài)空間可定義為估計(jì)頻率參數(shù)空間定義為首先,確定系統(tǒng)解的存在性和唯一性.定理1.對(duì)于連續(xù)可微的輸入信號(hào)u(t),在[0,+∞)×Θ×D上,在初值式(2)和(3)下,系統(tǒng)(4)和(5)存在唯一的解.證明.簡(jiǎn)單計(jì)算即可驗(yàn)證,在概周期信號(hào)輸入作用下,狀態(tài)方程中X(t,θθ,χ)關(guān)于(t,θθ,χ)連續(xù)頻率估計(jì)法則中f(t,χ)關(guān)于(t,χ)連續(xù),并且二者都有連續(xù)有界偏導(dǎo)數(shù),滿足Lipschitz條件,故根據(jù)Cauchy-Peano定理知系統(tǒng)有唯一解.2估計(jì)頻率的穩(wěn)定性本節(jié)利用文獻(xiàn)提出的積分流形實(shí)現(xiàn)狀態(tài)估計(jì)方程(4)與頻率更新法則(5)之間的解耦.當(dāng)γ=0時(shí),估計(jì)頻率θ不隨時(shí)間變化而成為固定值此時(shí)狀態(tài)方程退化為線性時(shí)不變系統(tǒng),對(duì)于式(1)的輸入信號(hào),狀態(tài)方程的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)記為而對(duì)θ的靈敏度表示為有以下結(jié)論.引理1.當(dāng)γ=0時(shí),以下結(jié)論成立:1)狀態(tài)方程的平衡點(diǎn)χ=0是指數(shù)穩(wěn)定的,存在常數(shù)α>0,L>0,對(duì)于任意t≥t0∈R,θ∈Θ有2)都是關(guān)于t和θ的連續(xù)有界函數(shù),存在正常數(shù)ρ3、ρ4、ρ5,對(duì)于任意t∈Rθ1,θ∈Θ有證明.據(jù)文獻(xiàn)的命題2知,零點(diǎn)是狀態(tài)估計(jì)方程的一致全局指數(shù)穩(wěn)定平衡狀態(tài),再由Lyapunov指數(shù)穩(wěn)定的逆定理知,矩陣的特征值都有負(fù)實(shí)部,故式(10)成立.由文獻(xiàn)的命題3知:在式(1)輸入信號(hào)下,系統(tǒng)狀態(tài)變量穩(wěn)態(tài)輸出記為記則第n個(gè)跟蹤器的狀態(tài)變量xn,對(duì)于第k輸入分量uk的相移特性為幅頻特性為令m,n=1,2,···,N,有定理2.存在γ0>0,當(dāng)γ∈[0,γ0]時(shí),有關(guān)于t的概周期函數(shù)β(t,θθ,γ),滿足β(t,θθ,0)=0,使存在關(guān)于θ和χ的積分流形,從而頻率更新法則可寫為概周期微分方程證明.綜合定理1和引理1,根據(jù)文獻(xiàn)的定理3.1直接可知存在概周期函數(shù)使得系統(tǒng)(4)和(5)具有唯一的積分流形在積分流形M上估計(jì)頻率θ滿足式(11).實(shí)現(xiàn)估計(jì)頻率與狀態(tài)變量之間解耦后,獲得關(guān)于估計(jì)頻率的概周期微分方程.此時(shí)若記則有定理2中積分流形的存在性與唯一性說(shuō)明了算法的整體穩(wěn)定性,只要估計(jì)頻率與狀態(tài)的初始值處于積分流形上,則對(duì)于任意時(shí)刻估計(jì)頻率與狀態(tài)都處于該積分流形上.而引理1說(shuō)明在該積分流形上算法的穩(wěn)定性主要決定于估計(jì)頻率θ(t)在t→+∞時(shí)的行為,故以下通過(guò)討論估計(jì)頻率的穩(wěn)定性來(lái)揭示算法的穩(wěn)定性.3局部穩(wěn)定性檢驗(yàn)對(duì)式(13)運(yùn)用平均方法,得到估計(jì)頻率θ的平均方程由于于是在式(1)的輸入下有由于所以(θ)是連續(xù)有界函數(shù),將其寫成矩陣形式由于θ1,θ2,···,θN互不相同,ω1,ω2,···,ωK互不相同,所以平均方程的平衡點(diǎn)即只有平凡解從而有為方便討論,定義中心為ω、半徑為r的球域?yàn)榉秩N情況討論頻率估計(jì)平均方程的局部穩(wěn)定性.3.1局部指數(shù)穩(wěn)定平衡若輸入正弦成分個(gè)數(shù)等于頻率估計(jì)器個(gè)數(shù),即N=K,再假設(shè)輸入信號(hào)各個(gè)頻率的范圍已知,即對(duì)于k=1,···,K都滿足條件則平均系統(tǒng)有唯一的孤立平衡點(diǎn),此時(shí)系統(tǒng)有如下特性.定理3.對(duì)孤立平衡點(diǎn)ω,存在常數(shù)r1>0與M1>0和有限的時(shí)間T>t0,使對(duì)于任意初始值θ(t0)∈Br1(θθ,ω)和任意時(shí)刻t≥T,估計(jì)頻率滿足證明.采用局部線性化方法,在鄰域?qū)M(jìn)行一階近似,平均方程可改寫為令m≠n,由式(15)得到于是有負(fù)單位矩陣故是平均方程的局部指數(shù)穩(wěn)定平衡點(diǎn),則根據(jù)Lyapunov局部指數(shù)穩(wěn)定性定理,存在球域Br1(θθ,ω)使定理成立.并且局部的頻率收斂速度不受制于輸入分量的幅值.由于連續(xù)可微,且在Θ上有界,據(jù)局部指數(shù)穩(wěn)定平衡點(diǎn)的Lyapunov逆定理,由文獻(xiàn)定理4.14直接得到以下結(jié)論.引理2.當(dāng)ω是平均系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定平衡點(diǎn)時(shí),存在函數(shù)V1(θθ,ω):Θ→R,滿足不等式其中,c1,c2,c3,c4為正常數(shù).3.2局部指數(shù)穩(wěn)定平衡若輸入正弦成分個(gè)數(shù)小于頻率估計(jì)器個(gè)數(shù),即N1=N-K>0時(shí),把估計(jì)頻率改寫為,其中若θ滿足式(17),只要θ=ω,總有,所以平均方程有平衡點(diǎn)連續(xù)體由于(0)中不對(duì)η作限制,η可為任何值,系統(tǒng)的平衡點(diǎn)不是孤立平衡點(diǎn),而是連續(xù)平衡點(diǎn)集.文獻(xiàn)指出漸近穩(wěn)定性概念不適合這類系統(tǒng),而應(yīng)該用半穩(wěn)定性來(lái)分析.半穩(wěn)定性理論在文獻(xiàn)得到較深入研究并被應(yīng)用于非連續(xù)自治系統(tǒng)和控制網(wǎng)絡(luò)一致性規(guī)約的穩(wěn)定性分析中.以下定義選自文獻(xiàn).定義1.設(shè)非線性動(dòng)力系統(tǒng)(x)平衡點(diǎn)集記為f-1(0),稱xe∈f-1(0)是半穩(wěn)定的,如果它是Lyapunov穩(wěn)定的,并且存在包含xe的開子集Q,使得起始于初值x(t0)∈Q的所有軌線都收斂即x(∞)=limt→+∞x(t)存在,且x(∞)也是Lyapunov穩(wěn)定的.如果所有的平衡點(diǎn)都是半穩(wěn)定的,則稱系統(tǒng)是半穩(wěn)定的.在上述定義中,x(∞)可能不等于xe.對(duì)于半穩(wěn)定性分析,我們不加證明地引用文獻(xiàn)的定理3.1作為如下引理.引理3.記Q是平衡點(diǎn)集f-1(0)的開鄰域,假設(shè)存在某個(gè)連續(xù)可微函數(shù)V:Q→R使得若系統(tǒng)是Lyapunov穩(wěn)定的,那么系統(tǒng)是半穩(wěn)定的.此時(shí)頻率估計(jì)穩(wěn)定性描述如下:定理4.若θ滿足式(17),存在常數(shù)r2>0與M2>0,對(duì)于任意初始值,并且存在有限的時(shí)間T>t0,使得對(duì)于任意時(shí)刻t≥T滿足證明.考慮在某個(gè)平衡點(diǎn)的鄰域,根據(jù)式(20)把平均方程的近似式(19)改為其中,是式(21)的負(fù)單位矩陣,根據(jù)中心流形定理,存在N1維中心流形由于,所以在該流形上η為常數(shù).再由文獻(xiàn)的推論8.1確定平均系統(tǒng)在處是局部Lyapunov穩(wěn)定的.由引理2選擇為L(zhǎng)yapunov函數(shù),則由引理3知平均系統(tǒng)是局部半穩(wěn)定的.根據(jù)半穩(wěn)定性的定義知式(22)和(23)成立.另外,由于對(duì)應(yīng)于ηi的幅值ai很小,使得‖fi(t,χ)‖很大,所以η的收斂速度較θ快,經(jīng)過(guò)有限時(shí)間T后,η就達(dá)到中心流形Mc或邊界點(diǎn)上,此時(shí)恒定的η使得關(guān)于的K+N1維平均方程退化為關(guān)于θ的K維自治方程,由定理3知θ按指數(shù)規(guī)律收斂到ω,所以式(24)成立.綜合定理3和定理4,經(jīng)過(guò)有限時(shí)間T后,估計(jì)頻率θ都按指數(shù)規(guī)律趨向ω,即θ=ω是平均方程的指數(shù)平衡點(diǎn).依據(jù)概周期動(dòng)力系統(tǒng)的平均定理,平均方程的指數(shù)穩(wěn)定平衡點(diǎn)也是原概周期方程的局部指數(shù)穩(wěn)定平衡點(diǎn),由于F(t,θθ,γ)一致連續(xù)可微,且在Θ上一致有界,據(jù)局部指數(shù)穩(wěn)定平衡點(diǎn)的Lyapunov逆定理,由文獻(xiàn)的定理4.14直接得到以下結(jié)果.引理4.當(dāng)ω是平均系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定平衡點(diǎn)時(shí),概周期微分方程F(t,θθ,γ)存在函數(shù)V2(t,θθ,ω):[0,+∞)×Θ→R,滿足不等式其中,c5,c6,c7,c8為正常數(shù).3.3估計(jì)頻率的三因素分析由于實(shí)際信號(hào)頻率成分復(fù)雜,難免存在未知頻率成分,考慮在式(1)的輸入信號(hào)中迭加周期擾動(dòng)信號(hào),由K1個(gè)未知頻率的正弦成分組成把輸入頻率改寫為,其中,ω=[ω1···ωK]T是K個(gè)已知范圍的頻率,ξ=[ξ1···ξK1]T是K1個(gè)未知范圍的頻率,ξ∈Ξ,Ξ∩Θ=φ.此時(shí)平均系統(tǒng)不存在精確的平衡點(diǎn).把估計(jì)頻率的概周期微分方程改寫為其中F(t,θθ,γ)由式(12)和(13)決定,而考慮ω是標(biāo)稱系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定平衡點(diǎn),把γgg(t,θθ,γ)作為標(biāo)稱系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)擾動(dòng),分析擾動(dòng)系統(tǒng)的有界性,有以下定理.當(dāng)t≥T+t0時(shí)滿足證明.由于g(t,θθ,γ)是有界域Θ上的一致連續(xù)函數(shù),且擾動(dòng)量γgg(t,θθ,γ)有如下的邊界其中當(dāng)ω是標(biāo)稱系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定平衡點(diǎn)時(shí),存在引理4所列的函數(shù)V2(t,θθ,ω)和常數(shù)c5,c6,c7,c8,令0<λ<1,取根據(jù)文獻(xiàn)的引理9.2知,令即可使得定理成立.綜上所述,估計(jì)頻率的暫態(tài)響應(yīng)速度主要取決于參數(shù)γ,γ越大收斂越快,受帶寬參數(shù)的影響相對(duì)很小.當(dāng)所有輸入成分的頻率范圍已知時(shí),頻率估計(jì)方程處于指數(shù)穩(wěn)定或半穩(wěn)定狀態(tài),估計(jì)頻率收斂到輸入信號(hào)頻率.當(dāng)輸入信號(hào)包含有未知頻率范圍的正弦成分時(shí),估計(jì)頻率θ不趨向于恒值,而在輸入頻率ω的鄰域內(nèi)振蕩,振蕩范圍決定于最終邊界,該值與算法參數(shù)乘積γμM的大小成比例.4穩(wěn)態(tài)幅值估計(jì)模型由式(4)～(8)知,估計(jì)幅值對(duì)時(shí)間t的變化率為這說(shuō)明估計(jì)幅值an的收斂速度主要決定于帶寬參數(shù)μn,受參數(shù)γ的影響相對(duì)較小.當(dāng)N=K,估計(jì)頻率具有指數(shù)穩(wěn)定的孤立平衡點(diǎn)時(shí),暫態(tài)響應(yīng)結(jié)束后,在穩(wěn)態(tài)過(guò)程中,θ(t)變化緩慢,依據(jù)慢流形思想,可將其視為常數(shù)以簡(jiǎn)化分析.以θ=ω代入H(jωω,θ)和有從而于是穩(wěn)態(tài)狀態(tài)變量成為可見x(∞)=u,此時(shí),可準(zhǔn)確跟隨輸入信號(hào)及其各個(gè)正弦成分.另外,同時(shí)能夠獲得各個(gè)正弦成分幅值的準(zhǔn)確估計(jì).對(duì)于頻率估計(jì)是半穩(wěn)定的情況,穩(wěn)態(tài)頻率為,其中為常數(shù),所以穩(wěn)態(tài)頻率特性矩陣具有以下形式于是當(dāng)1≤n≤K時(shí),而當(dāng)K<n≤N時(shí),仍獲得輸入信號(hào)的各個(gè)成分及其幅值的準(zhǔn)確估計(jì).設(shè)輸入信號(hào)由式(1)的K個(gè)已知頻率范圍的正弦成分與式(25)的K1個(gè)未知頻率范圍的正弦分量疊加,已知范圍頻率的估計(jì)值為θ=[θ1···θK]T令1≤n≤K,狀態(tài)變量為此時(shí)狀態(tài)變量x,不能趨向于穩(wěn)定的單一的正弦信號(hào),而是多個(gè)頻率正弦信號(hào)的疊加.記狀態(tài)變量的標(biāo)準(zhǔn)值為,狀態(tài)跟隨誤差為此時(shí)幅值估計(jì)an也不等于恒值,同樣疊加了多個(gè)頻率的正弦信號(hào).顯然幅值的標(biāo)準(zhǔn)值為,根據(jù)測(cè)量誤差的合成原理,幅值估計(jì)誤差可表示為上述表明,存在未知頻率的正弦成分時(shí),穩(wěn)態(tài)幅值估計(jì)與狀態(tài)跟隨誤差都隨著μn的增大而增大,受參數(shù)γ的影響較小,誤差也隨著未知正弦分量的幅值的增大而增大.5基于simulandth的積分器仿真假設(shè)輸入信號(hào)包含5個(gè)正弦成分采用5個(gè)頻率估計(jì)器并聯(lián),估計(jì)頻率θ1,θ2,θ3,θ4,θ5的單位定為Hz,對(duì)應(yīng)的的數(shù)值區(qū)間設(shè)為、、、、,帶寬參數(shù)相等都為μ,采樣頻率選為10kHz,在Simulink環(huán)境下,選擇龍格–庫(kù)塔算法進(jìn)行仿真.為防止積分器深度飽和,對(duì)狀態(tài)變量設(shè)置±1.5的限幅.5.1幅值估計(jì)算法的隨性分析選擇γ=4π,μ=20π,圖2給出各個(gè)頻率的實(shí)際值fk和估計(jì)值θk曲線,圖3是各個(gè)正弦成分幅值的實(shí)際值Uk和估計(jì)值ak曲線.經(jīng)過(guò)1.2s時(shí)間,估計(jì)頻率θ1,θ2,θ3,θ4,θ5從各自初始值50Hz,100Hz,150Hz,200Hz,250Hz準(zhǔn)確跟隨到實(shí)際頻率50Hz,100Hz,152Hz、200Hz252Hz,估計(jì)幅值a1,a2,a3,a4,a5都從同一個(gè)初始值1.0準(zhǔn)確跟隨到實(shí)際幅值1.0,0.1,0.5,0.1,0.3此時(shí)5個(gè)正弦分量的幅值都不等于0,頻率估計(jì)算法存在穩(wěn)定的孤立平衡點(diǎn),估計(jì)頻率按指數(shù)規(guī)律趨于真值.在t=2.0s時(shí)兩個(gè)正弦分量的幅值U2、U4變?yōu)?,估計(jì)頻率由指數(shù)穩(wěn)定的孤立平衡點(diǎn)轉(zhuǎn)向穩(wěn)定的中心流形,在該流形上θ2=101Hz,θ4=198.5Hz為常數(shù).U2,U4變化并沒(méi)有引起其他三個(gè)正弦分量的估計(jì)頻率或幅值曲線的較大變動(dòng),說(shuō)明狀態(tài)變量與估計(jì)頻率之間的解耦是有效的.在t=4.0s時(shí)刻,f1,f2,f3,f4,f5分別有2.0Hz,2.0Hz,-2.0Hz,2.0Hz,-2.0Hz的跳變,由于U2=U4=0,估計(jì)頻率處于半穩(wěn)定狀態(tài),θ(t)從中心流形的一個(gè)平衡點(diǎn)轉(zhuǎn)向另一個(gè)平衡點(diǎn),由于a2,a4很小,受制于邊界條件,θ2,θ4很快收斂到其最小值90Hz,190Hz,此后,其余的估計(jì)頻率再按指數(shù)規(guī)律趨向各自的平衡態(tài).到t=5.2s時(shí),暫態(tài)過(guò)程結(jié)束,頻率和幅值的估計(jì)值即準(zhǔn)確跟隨了實(shí)際值.注意到f1,f2,f4的跳變方向?yàn)檎?f3,f5的跳變?yōu)樨?fù),說(shuō)明各個(gè)估計(jì)頻率具有獨(dú)立跟隨性能.在t=8.0s時(shí)刻,f1,f3,f5分別有-4.0Hz,3.0Hz,-1.0Hz的跳變,U2,U4,U5分別有0.1,0.1,0.2的跳變,注意到此時(shí)算法又從半穩(wěn)定狀態(tài)恢復(fù)到指數(shù)穩(wěn)定狀態(tài).幅值與頻率跳變的疊加使得幅值的暫態(tài)響應(yīng)比較劇烈,暫態(tài)響應(yīng)過(guò)程稍長(zhǎng),直到t=10.0s才結(jié)束.在t=12.0s時(shí)刻,在保持頻率不變的同時(shí)使U1,U3,U5分別有-0.1,0.1,-0.1的跳變,由此引發(fā)的暫態(tài)變化主要局限在狀態(tài)變量,對(duì)估計(jì)頻率的影響很小,顯示頻率估計(jì)算法對(duì)輸入信號(hào)幅值的跳變具有較好的魯棒性,不同方向的幅值跳變展示了幅值估計(jì)算法的相對(duì)獨(dú)立的跟隨性能.圖4的跟隨誤差定義為ek=uk-xk(k=1,2,···,5),圖中顯示穩(wěn)態(tài)時(shí)狀態(tài)變量xk對(duì)輸入正弦成分uk具有良好的跟隨性能.注意到在指數(shù)穩(wěn)定狀態(tài)與半穩(wěn)定中心流形下,穩(wěn)態(tài)時(shí)都能夠?qū)崿F(xiàn)頻率、幅值與信號(hào)分量本身無(wú)差的精確跟隨.5.2參數(shù)的大小對(duì)估計(jì)頻率的影響為考察參數(shù)γ,μ對(duì)算法性能的影響,在t=12s時(shí)保持所有正弦分量的頻率不變而改變其幅值,在t=13s時(shí)保持所有正弦分量的幅值不變而改變其頻率,分別選擇不同的參數(shù)值,得到估計(jì)幅值a1曲線、估計(jì)頻率θ1曲線列在圖5和圖6中.從圖5的θ1曲線顯示,參數(shù)γ越大,估計(jì)頻率θ的動(dòng)態(tài)響應(yīng)越快,而數(shù)值小的γ使估計(jì)頻率和幅值跟隨暫態(tài)過(guò)程加長(zhǎng).在t=12s處的γ=10π與γ=2π對(duì)應(yīng)的兩條幅值a1曲線基本重合,展示參數(shù)γ的大小對(duì)單純幅值跳變引起的幅值跟隨性能影響不大.從圖6幅值a1曲線顯示,較大的μ值使幅值具有較好的快速跟隨性能,因頻率變化而導(dǎo)致的超調(diào)量也較小.在t=13s處的μ=50π與μ=10π對(duì)應(yīng)的兩條幅值θ1曲線基本重合,展示參數(shù)μ的大小對(duì)單純頻率跳變引起的頻率跟隨暫態(tài)性能影響不大.在指數(shù)穩(wěn)定平衡點(diǎn)和半穩(wěn)定的中心流形上,參數(shù)γ,μ的大小只影響暫態(tài)性能,不影響穩(wěn)態(tài)估計(jì)精確度.5.3穩(wěn)態(tài)幅值估計(jì)精度分析當(dāng)輸入信號(hào)中正弦分量的頻率不在估計(jì)頻率的設(shè)定范圍中時(shí),各個(gè)頻率與幅值的穩(wěn)態(tài)估計(jì)值除受未知成分影響外,還受到參數(shù)γ,μ數(shù)值的影響.在輸入信號(hào)中加入正弦分