一類不確定非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)跟蹤控制

一類不確定非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)跟蹤控制

自適應(yīng)控制已成為現(xiàn)代自動(dòng)控制領(lǐng)域最先進(jìn)的研究領(lǐng)域之一。這項(xiàng)研究的對(duì)象是在一定程度上不確定的系統(tǒng)。在實(shí)際應(yīng)用中，非線性系統(tǒng)的精確建模非常困難，因此不確定系統(tǒng)是常見的。在處理這些系統(tǒng)的方法上，一種更成功的方法是自適應(yīng)反演設(shè)計(jì)方法，并獲得了多項(xiàng)研究成果。隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)的自適應(yīng)不確定性越來越緊密，單個(gè)未知參數(shù)擴(kuò)展到多個(gè)。隨著文獻(xiàn)研究中引入的不確定性系統(tǒng)的自適應(yīng)和分散性回歸，跟蹤誤差以指數(shù)速度收斂到零的小相鄰。為了跟蹤驗(yàn)證，使用二次非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)和靜態(tài)，在變化的情況下，跟蹤誤差的平方逐漸收斂為零。上述研究包括了具有不同控制增益的系統(tǒng)，無論是相位還是相位都是不規(guī)則的。如果參數(shù)周期的自適應(yīng)規(guī)則是相似的，則誤差平面的積分范圍在周期0的范圍內(nèi)逐漸收斂。上述研究包括高度線性系統(tǒng)的自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制，該系統(tǒng)的跟蹤誤差在誤差平方范的意義上逐漸收斂到零。在文獻(xiàn)研究中，包括未知參數(shù)的高級(jí)非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制，以便在誤差的平方范的意義上收斂到零。在變化時(shí)間的推移，由于未知函數(shù)的函數(shù)和符號(hào)的已知，誤差收集尼基是不一致的。因此，系統(tǒng)的過度填充比控制系數(shù)的校正值更好。本文研究了一類高階不確定系統(tǒng)的自適應(yīng)控制,其中控制增益是未知的,且系統(tǒng)不確定性包括時(shí)不變未知參數(shù)和時(shí)變函數(shù).當(dāng)系統(tǒng)有時(shí)變未知參數(shù)時(shí),先前的研究要釆用飽和控制才能使跟蹤誤差趨于零,而通?？刂品椒ú荒鼙ＷC跟蹤誤差趨于零.本文結(jié)合反步設(shè)計(jì)法,對(duì)含有時(shí)變未知參數(shù)的高階系統(tǒng)提出提了一種自適應(yīng)控制方法,不采用飽和控制就可保證跟蹤誤差可收斂于零.1自適應(yīng)控制目標(biāo)考慮高階不確定非線性系統(tǒng)式中x=(x1,x2…,xn)T∈Rn是系統(tǒng)可測(cè)狀態(tài),u、y∈R分別是系統(tǒng)的輸入和輸出,φi(x1,…,xi)是已知函數(shù),θ∈Rp是未知常參數(shù)向量,σ是未知常數(shù),不失一般性,設(shè)σ>0,w(t)是周期為T的連續(xù)未知函數(shù),代表系統(tǒng)的未知周期擾動(dòng).對(duì)系統(tǒng)(1)作如下假設(shè):假設(shè)1φi(x1,…,xi)已知,關(guān)于變量(x1,…,xi)的n-i階偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù).假設(shè)2擾動(dòng)增益ξ(x,t)有界.假設(shè)3期望信號(hào)yd(t)及其直至n階導(dǎo)數(shù)在上[0,+∞)連續(xù)且有界.這里,假設(shè)擾動(dòng)增益ξ(x,t)有界是為了使問題簡(jiǎn)化.當(dāng)其無界時(shí),加上一些適當(dāng)條件,仍然可以考慮.控制目標(biāo)是:給定的參考信號(hào)yd(t),設(shè)計(jì)一個(gè)自適應(yīng)控制律,使跟蹤誤差收斂于零.2為簡(jiǎn)化表迖式,記ˉxi=(x1,x2,?,xi)Τˉyd,i(t)=(yd(t),y(1)d(t),?,y(i)d(t))Τ(2)i=1,2,…,n設(shè)其中αi-1(ˉxi-1,?θ,ˉyd,i-1(t))是待定函數(shù).下面我們根據(jù)文獻(xiàn)的方法,遞推地確定αi-1(ˉxi-1,?θ,ˉyd,i-1(t)).設(shè)α1=-ce1-φΤ1(x1)?θ+y(1)d(t)τ1=0,δ1=e1φ1(x1)(4)假設(shè)τi,δi,αi,1≤i<n,已確定.則定義τi+1=τi+Δτiδi+1=δi+Δδiαi+1=Δαi+1-cei+1-(φi+1-i∑j=1?αi?xjφj)Τ?θ+i∑j=1?αi?xjxj+1+i∑j=0?αi?r(j)r(j+1)(5)其中Δτi=ei+1Γ-1?αi??θ,Δδi=ei+1(φi+1-i∑j=1?αi?xjφj)Δαi+1=(?αi??θ)ΤΓ-1δi+1+(φi+1-i∑j=1?αi?xjφj)Τ?(τi+1-ei+1Γ-1?αi??θ)(6)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)Vn-1=12n-1∑i=1e2i+12?θΤΓ-1?θ(7)其中Γ為對(duì)稱正定矩陣.根據(jù)文獻(xiàn)的結(jié)果,在式(3)、(5)、(6)的定義下,我們有˙Vn-1=-cn-1∑j=1e2j+n-1∑j=1ejej+1+(?θ+τn-1)Τ(δn-1-Γ-1˙?θ)(8)另外,直接計(jì)算可知,˙en=σu+φΤn(x)θ+ξΤ(x,t)w(t)-n-1∑j=1?αn-1?xj?(xj+1+φΤjθ)-?αn-1??θ˙?θ-n-1∑j=0?αn-1?y(j)dy(j+1)d=σu+ξΤ(x,t)w(t)+(φn-n-1∑j=1?αn-1?xjφj)Τθ-n-1∑j=1?αn-1?xjxj+1-?αn-1??θ˙?θ-n-1∑j=0?αn-1?y(j)dy(j+1)d(9)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)Vn=Vn-1+12σe2n(10)則根據(jù)式(9)和(10),我們有˙Vn=˙Vn-1+1σen˙en=-cn-1∑j=1e2j+n-1∑j=1ejej+1+(?θ+τn-1)Τ?(δn-1-Γ-1˙?θ)+1σen(ξΤ(x,t)w(t)+h(x,t)+(φn-n-1∑j=1?αn-1?xjφj)Τθ)+enu(11)且有h(x,t)=-n-1∑j=1?αn-1?xjxj+1-?αn-1??θ˙?θ-n-1∑j=0?αn-1?y(j)dy(j+1)d設(shè)其中m(x,t)=φn-n-1∑j=1?αn-1?xjφj.則d(t)是未知的且以T為周期的周期函數(shù),λ是未知常數(shù)向量,η(x,t)為已知函數(shù).根據(jù)式(12),(11)式變?yōu)楱BVn=-cn-1∑j=1e2j+n-1∑j=1ejej+1+(?θ+τn-1)Τ?(δn-1-Γ-1˙?θ)+enξΤ(x,t)d(t)+enηΤ(x,t)λ+enu(13)根據(jù)(13),我們提出如下反饋律u=-cen-ξΤ(x,t)?d(t)-ηΤ(x,t)?λ-∥ξ(x,t)∥2en(14)和自適應(yīng)律θ^˙=Γδn-1λ^˙=η(x,t)end^(t)=d^(t-Τ)+s(t)enξ(x,t),t≥0d^(t)=0,t∈[-Τ,0)(15)其中λ^是λ的估計(jì),d^(t)是d(t)的估計(jì),s(t)由下式定義:s(t)={1,t≥23Τ,3Τ(t-13Τ),13Τ<t<23Τ,0,0≤t≤13Τ.(16)這里s(t)是連續(xù)時(shí)變函數(shù),在自適應(yīng)律中引入s(t),由式(15)和(16)可知,d^(t)的連續(xù)性得到了保證.我們不加證明地指出,由(1)和(14)組成的閉環(huán)系統(tǒng)的解x(t)、θ^(t)、λ^(t)和d^(t)在[0,+∞)上存在.3定理1考慮由(1)和(14)組成的閉環(huán)系統(tǒng).設(shè)c>1,則有l(wèi)imt→+∞(y(t)-yd(t))=limt→+∞e1(t)=0.證明.構(gòu)造新的Lyapunov函數(shù),t≥0V=Vn+12∥λ?∥2+12∫t-Τtd?2(τ)dτ(17)其中Vn由式(10)定義,λ?=λ-λ^,d?(t)=d(t)-d^(t).對(duì)V求導(dǎo)得V˙=V˙n-λ?Τλ^˙+12(d?2(t)-d?2(t-Τ))=-c∑i=1nei2+∑i=1n-1eiei+1+(enη(x,t)-λ^˙)Τλ?+(θ?+τn-1)Τ(δn-1-Γ-1θ^˙)+enξΤ(x,t)d?(t)+12(d?2(t)-d?2(t-Τ))-∥ξ(x,t)∥2en2(18)根據(jù)自適應(yīng)律(15),(θ?+τn-1)Τ(δn-1-Γ-1θ^˙)=0(enη(x,t)-λ^˙)Τλ?=0enξΤ(x,t)d?(t)+12(d?2(t)-d?2(t-Τ))=enξΤ(x,t)d?(t)-12d^(t)-d^(t-Τ)2+(-d^(t)+d^(t-Τ))Τd?(t)=-12∥d^(t)-d^(t-Τ)∥2(19)由(18)和(19),對(duì)t≥T,得到V?=-c∑i=1nei2-12∥d^(t)-d^(t-Τ)∥2+∑i=1n-1eiei+1-∥ξ(x,t)∥2en2≤-(c-1)∑i=1nei2(20)由此可見,e(t)、θ?(t)、λ?(t)和∫t-Τtd?2(τ)dτ在[T,+∞)上有界,而且∫Τ+∞‖e(τ)‖2dτ<+∞,其中e=(e1,e2,…,en)T.另外,根據(jù)(9),我們還看到∫t-Τt∥e˙(τ)∥2dτ在[T,+∞)上有界.因此,e(t)在[T,+∞)上一致連續(xù).根據(jù)Barbalat引理,我們得到limt→+∞e(t)=0特別地,有l(wèi)imt→+∞(y(t)-yd(t))=limt→+∞e1(t)=0定理證畢.4未知干擾下仿真考慮如下不確定非線性系統(tǒng)x˙1=x2+θx1x˙2=σu+ξ(x,t)w(t)y=x1其中θ是未知常參數(shù),σ是符號(hào)已知的未知常數(shù),ξ(x,t)=2sin2t+cos2x2,w(t)是周期為T的未知干擾.仿真時(shí):選擇參考信號(hào)yd(t)=2sin(2t),這里系統(tǒng)的初始條件為x1(0)=0,x2(0)=0.θ=2,σ=1,w(t)=sin(πt),周期T=6s.用本文設(shè)計(jì)的控制律和自適應(yīng)律,其中c=10,Γ=1,得到仿真結(jié)果,如圖1.圖1(a)和圖1(b)分別是跟蹤誤差和控制輸入曲線,圖1(c)和圖1(d)分別是d^(t)和θ^估計(jì)變化曲線.圖1所得結(jié)果說