含鐵磁遲滯特性的不確定非線性系統(tǒng)的跟蹤控制

含鐵磁遲滯特性的不確定非線性系統(tǒng)的跟蹤控制

對(duì)環(huán)境系統(tǒng)的優(yōu)化對(duì)于一般的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)中存在非線性鏈接時(shí)，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)通常被視為非線性控制系統(tǒng)。遲滯特性是一種典型的非線性特性。遲滯現(xiàn)象廣泛存在于磁性材料、磁致伸縮、壓電陶瓷、形狀記憶合金等智能材料中,是一種特殊的強(qiáng)非線性現(xiàn)象。通常情況下,它的存在會(huì)使控制系統(tǒng)的輸出與輸入呈現(xiàn)遲滯特性,使得整個(gè)控制系統(tǒng)性能變差,降低系統(tǒng)的控制精度,甚至導(dǎo)致控制系統(tǒng)不穩(wěn)定[6,7,8,9,10,11,12,13]。因此如何減少甚至消除遲滯對(duì)系統(tǒng)的影響是一個(gè)公認(rèn)難題。學(xué)者們對(duì)于遲滯特性的數(shù)學(xué)建模的研究由來已久,提出了多種遲滯模型,如Preisach模型、Prandtl模型(PI模型)、Duhem模型以及Bouc-Wen模型等等。文獻(xiàn)研究了存在于磁性材料中的遲滯特性,給出了鐵磁遲滯模型的微分方程表達(dá)式。鐵磁遲滯模型是一類比率獨(dú)立的Duhem模型。近年來一些學(xué)者針對(duì)帶有遲滯特性環(huán)節(jié)的非線性系統(tǒng)采用各種控制策略,試圖解決傳統(tǒng)控制策略處理此類問題時(shí)的不足。文獻(xiàn)采用的是自適應(yīng)反步控制方法對(duì)具有反斜線型遲滯模型的系統(tǒng)進(jìn)行控制,得到全局穩(wěn)定的結(jié)果,跟蹤誤差滿足精度要求。然而反斜線型遲滯模型僅是鐵磁遲滯模型的一個(gè)特例,文獻(xiàn)中并沒有針對(duì)含有鐵磁遲滯模型的非線性系統(tǒng)的結(jié)論,本文對(duì)此問題進(jìn)行了深入研究得到了滿意的成果。本文研究了一類具有鐵磁遲滯環(huán)節(jié)的不確定非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)跟蹤控制問題。由于鐵磁遲滯模型微分方程表達(dá)式中的項(xiàng)是一般函數(shù)式,相比較反斜線模型更具有廣泛性。鐵磁遲滯模型微分方程的解包含兩項(xiàng),一項(xiàng)是關(guān)于輸入的一般非線性函數(shù),另一項(xiàng)是非線性擾動(dòng),該擾動(dòng)的界限未知。然而正是因?yàn)樵撃Ｐ偷谋磉_(dá)形式具有一般性,其中關(guān)于輸入的非線性函數(shù)項(xiàng)增大了控制器的設(shè)計(jì)難度,所以需要對(duì)該項(xiàng)進(jìn)行線性化近似處理,得到關(guān)于輸入的近似線性關(guān)系以方便控制器設(shè)計(jì)。非線性擾動(dòng)項(xiàng)的界被證明是有限的,在控制器的設(shè)計(jì)過程中只需考慮該擾動(dòng)的界,這個(gè)界不需要人為給出,而是可以通過自適應(yīng)率被估計(jì)出來的。本文采用自適應(yīng)反步控制方法,將遲滯特性融入控制器的設(shè)計(jì)過程中并有效地消除了遲滯作用對(duì)系統(tǒng)的影響,避免了構(gòu)造復(fù)雜遲滯逆模型需要精確的遲滯模型表達(dá)式的限制,所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制器能夠保證系統(tǒng)的輸出快速跟蹤上給定信號(hào),跟蹤誤差在一個(gè)很小的范圍內(nèi)波動(dòng),保證閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)有界,理想地達(dá)到了預(yù)期控制目標(biāo),運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該設(shè)計(jì)方法的有效性。1我國遲滯回環(huán)曲線的建立考慮一類鐵磁遲滯非線性環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型:其中,B為磁通,H為磁場(chǎng)強(qiáng)度,B和H均為時(shí)間t的實(shí)值函數(shù),且分別具有分段連續(xù)導(dǎo)數(shù)B和H,α為正常數(shù),|H|表示H的絕對(duì)值,f(?)和g(?)分別是(-∞,+∞)上的實(shí)值函數(shù),滿足以下三條假設(shè):假設(shè)1:f(?)必須是分段光滑,單調(diào)增加的奇函數(shù),f(?)可導(dǎo),其一階導(dǎo)數(shù)f′(?)滿足當(dāng)H→∞時(shí),f′(H)具有有限的極限。假設(shè)2:g(?)必須是分段連續(xù)的偶函數(shù),g(H)有界且滿足:假設(shè)3:對(duì)于所有有限的H,函數(shù)f(?)和g(?)滿足下述不等式關(guān)系:根據(jù)上述模型及其假設(shè)條件,可以得到一組關(guān)于B和H的函數(shù)關(guān)系B(H),即為遲滯回環(huán)曲線。選取如下函數(shù)為例,f(H)=Atanh(H),g(H)=f′(H)(1-λe-ρ|H|),H=lsin(kt)其中,A,λ,ρ,α,l,k均為任選常數(shù),選取A=1,λ=0.85,ρ=0.1,α=5,l=2,k=0.5π,時(shí)間t=10s,初始點(diǎn)選為原點(diǎn),做出遲滯回線,曲線沿逆時(shí)針方向,最終逼近一個(gè)回環(huán),如圖1所示。下面討論該遲滯模型微分方程的解。改寫(1)式如下:當(dāng)H=0時(shí),B=0,B保持原值不變。當(dāng)H>0時(shí),sgn(H)=1,(4)式可化為:當(dāng)H<0時(shí),sgn(H)=-1,(4)式可化為:考慮初值點(diǎn)(H0,B0),分別求解微分方程(5)和(6),得到的解為:將(7)式與(8)式合并,得:若初值點(diǎn)為(0,0),即H0=0,0B=0時(shí),由f(H)的性質(zhì)可知f(H0)=0,則在初始條件下,(9)式可化為:2擾動(dòng)項(xiàng)的檢驗(yàn)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖2。在控制系統(tǒng)中,遲滯特性通常用如下算子形式給出:其中,v(t)是遲滯環(huán)節(jié)的輸入,u(t)是遲滯環(huán)節(jié)的輸出,P[v](t)表示遲滯算子。為了將前面敘述的鐵磁遲滯模型的表述形式與控制器設(shè)計(jì)中的表述形式統(tǒng)一,令B(t)=u(t),H(t)=v(t),則微分方程(1)式轉(zhuǎn)化為:若t=0時(shí),v(0)=v0,u(0)=u0,則初值點(diǎn)為(v0,u0),微分方程(12)的解可表示為:當(dāng)0v=0,0u=0時(shí),解的形式變?yōu)?考慮如下的一類非線性控制系統(tǒng):其中,iY是已知的連續(xù)函數(shù),參數(shù)ia及b均為未知常數(shù)。通常情況b滿足下述假設(shè)條件:假設(shè)4:b的符號(hào)已知,不妨設(shè)為正,滿足0<bmin≤b≤bmax<+∞,bmin和bmax分別是b可能取到的最小值和最大值。將(14)式代入控制系統(tǒng)(15)式中,得:將(16)式展開得:其中,注釋1:由于關(guān)于輸入的非線性函數(shù)項(xiàng)在控制器設(shè)計(jì)中會(huì)帶來不便,為了簡化控制器的設(shè)計(jì),這里對(duì)(17)式中的f(v(t))項(xiàng)進(jìn)行近似處理。由假設(shè)1知道f單調(diào)增0,因此?f(v)?v>0,由中值定理可以得到:引理1:定義bd[v](t)的邊界為dB,對(duì)于任意的輸入v(t),擾動(dòng)項(xiàng)bd[v](t)的邊界dB是有限的。證明:首先研究d[v](t)的有界性。當(dāng)v>0且v→+∞時(shí)當(dāng)v<0且v→-∞時(shí)由假設(shè)1、假設(shè)2和假設(shè)3可知,f′(∞)-g(∞)一定有限,limv→∞(f′(v)-g(v))α≤ε,ε>0,ε∈。又顯然當(dāng)初始值v=0時(shí),d[v](t)=0,所以對(duì)于任意的v(t),d[v](t)一定有界。又由假設(shè)4知,b滿足0<bmin≤b≤bmax<+∞,因此bd[v](t)也一定有界,bd[v](t)的邊界dB是有限的,即0d<B<+∞。注釋2:這里要說明的是(17)式中bd[v](t)項(xiàng)可以證明是有界的,但這個(gè)界可以是未知的,該未知界限在自適應(yīng)反步控制的過程中可以被估計(jì)出來,在控制器的設(shè)計(jì)中僅需考慮擾動(dòng)項(xiàng)的界,很大程度上方便了設(shè)計(jì)過程,減少了運(yùn)算量,提高了響應(yīng)速率。假設(shè)5:給定軌跡xd(t)=[xd,xd,,xd(n-1)]T連續(xù)有界,且[xdT(t),xd(n)]T∈Ωd?n+1,其中Ωd是n+1上的一個(gè)緊集。對(duì)于含有鐵磁遲滯特性的非線性系統(tǒng),控制目標(biāo)是為輸入v(t)設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制率,使得系統(tǒng)狀態(tài)x(t)可以跟蹤一個(gè)滿足假設(shè)5的給定軌跡xd(t),當(dāng)t→∞時(shí),x(t)→xd(t),即limt→∞|x(t)-xd(t)|=0或者對(duì)于任意給定界限σ>0,有l(wèi)im|()()|tdttσ→∞x-x≤。3系統(tǒng)遲滯特性采用反步設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器:首先進(jìn)行如下坐標(biāo)變換:其中,αi-1表示第i步設(shè)計(jì)中的虛擬控制率。第1步:由(17)(19)(20)式可得:設(shè)計(jì)虛擬控制率如下:其中,1c為設(shè)計(jì)參數(shù),且1c>0。由(21)(22)得:選取Lyapunov函數(shù)V1=z122。第i步(i=2,3,,n-1):設(shè)計(jì)虛擬控制率如下:其中,ic為設(shè)計(jì)參數(shù),且ic>0。由(20)(24)式得:選取Lyapunov函數(shù)Vi=zi22。第n步:由(17)(18)(20)式得:設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制率如下:其中,參數(shù)nc,γ,η,δ均為正常數(shù)。注意到:將(32)代入(26)式中得:選取Lyapunov函數(shù):引理2:LaSalle-Yoshizawa定理其中W是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。那么,x=f(x,t)所有的解都是全局一致有界的,且滿足limt→∞W(x(t))=0,如果W(x)正定,那么平衡點(diǎn)x=0是全局一致漸進(jìn)穩(wěn)定的。定理1:考慮一類含有遲滯特性的非線性系統(tǒng)如(15)式所述,其遲滯特性如(1)式形式描述,并且滿足假設(shè)1～5中的條件。該系統(tǒng)在(27)～(31)式給出的自適應(yīng)控制率的作用下可以實(shí)現(xiàn)全局穩(wěn)定,且系統(tǒng)輸出跟蹤給定信號(hào),即:x(t)→xd(t),t→∞。證明:根據(jù)反步設(shè)計(jì)法,選擇Lyapunov函數(shù)如下:4跟蹤控制方程考慮滿足(15)式的非線性系統(tǒng)如下:初值x(0),h可以是線性函數(shù)也可以是非線性函數(shù),a和b為系統(tǒng)參數(shù),考慮a和b為未知參數(shù),它們的取值不需要預(yù)先給出,而是可以通過自適應(yīng)控制估計(jì)出來。u(t)是系統(tǒng)輸入,由滿足(12)式的形式確定:其中其中,A,λ,ρ,α均為任選常數(shù),選擇A=1,λ=0.85,ρ=0.1,α=5。將代入系統(tǒng)方程(40)進(jìn)行仿真。例:考慮滿足假設(shè)5的給定軌跡dx=sin(0.5πt),初值取x(0)=,h(x1)=(1-exp(-x1))(1+exp(-x1))。設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制參數(shù)為1c=0.2,2c=10,1v=0.3,δ=0.001,γ=6.5,η=0.16,則得到跟蹤曲線圖3,誤差曲線圖4以及加入控制后的遲滯曲線u(v)圖5?？梢钥吹竭t滯曲線在設(shè)計(jì)的控制率的作用下收斂,遲滯作用在很大程度上消除了