解析函數(shù)的概念與柯西黎曼方程

一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分1.導(dǎo)數(shù)的定義:第一頁第二頁，共41頁。在定義中應(yīng)注意:第二頁第三頁，共41頁。例1解第三頁第四頁，共41頁。3.求導(dǎo)法則:求導(dǎo)公式與法則:第四頁第五頁，共41頁。第五頁第六頁，共41頁。2.可導(dǎo)與連續(xù):函數(shù)f(z)在z0處可導(dǎo)則在z0處一定連續(xù),但函數(shù)f(z)在z0處連續(xù)不一定在z0處可導(dǎo).證第六頁第七頁，共41頁。[證畢]第七頁第八頁，共41頁。例2解第八頁第九頁，共41頁。4.微分的概念:復(fù)變函數(shù)微分的概念在形式上與一元實(shí)變函數(shù)的微分概念完全一致.定義第九頁第十頁，共41頁。特別地,第十頁第十一頁，共41頁。二、解析函數(shù)的概念1.解析函數(shù)的定義第十一頁第十二頁，共41頁。2.奇點(diǎn)的定義根據(jù)定義可知:函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價(jià)的.但是,函數(shù)在一點(diǎn)處解析與在一點(diǎn)處可導(dǎo)是不等價(jià)的概念.即函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo),不一定在該點(diǎn)處解析.函數(shù)在一點(diǎn)處解析比在該點(diǎn)處可導(dǎo)的要求要高得多.第十二頁第十三頁，共41頁。例4解第十三頁第十四頁，共41頁。第十四頁第十五頁，共41頁。第十五頁第十六頁，共41頁。例5解第十六頁第十七頁，共41頁。定理以上定理的證明,可利用求導(dǎo)法則.第十七頁第十八頁，共41頁。根據(jù)定理可知:(1)所有多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的.第十八頁第十九頁，共41頁。思考題第十九頁第二十頁，共41頁。思考題答案反之不對.放映結(jié)束，按Esc退出.第二十頁第二十一頁，共41頁。一、主要定理定理一第二十一頁第二十二頁，共41頁。例4證第二十二頁第二十三頁，共41頁。定理二第二十三頁第二十四頁，共41頁。證(1)必要性.第二十四頁第二十五頁，共41頁。第二十五頁第二十六頁，共41頁。(2)充分性.由于第二十六頁第二十七頁，共41頁。第二十七頁第二十八頁，共41頁。第二十八頁第二十九頁，共41頁。[證畢]第二十九頁第三十頁，共41頁。第三十頁第三十一頁，共41頁。解析函數(shù)的判定方法:第三十一頁第三十二頁，共41頁。二、典型例題例1判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析:解不滿足柯西－黎曼方程,第三十二頁第三十三頁，共41頁。四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)指數(shù)函數(shù)第三十三頁第三十四頁，共41頁。四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)第三十四頁第三十五頁，共41頁。例2證第三十五頁第三十六頁，共41頁。例3解第三十六頁第三十七頁，共41頁。例7證根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則,第三十七頁第三十八頁，共41頁。根