函數(shù)單調(diào)性奇偶性經(jīng)典例題答案

...wd......wd......wd...函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用1．假設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，則以下坐標(biāo)表示的點(diǎn)一定在函數(shù)圖象上的是〔〕A.B.C.D.2.函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為〔〕A．B．C．D．3．f〔x〕是偶函數(shù)，g〔x〕是奇函數(shù)，假設(shè)，則f〔x〕的解析式為_(kāi)______．4．函數(shù)f〔x〕為偶函數(shù)，且其圖象與x軸有四個(gè)交點(diǎn)，則方程f〔x〕＝0的所有實(shí)根之和為_(kāi)_______．5.定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log3且對(duì)任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求證f(x)為奇函數(shù)；(2)假設(shè)f(k·3)+f(3-9-2)＜0對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．6.定義在區(qū)間〔0，+∞〕上的函數(shù)f(x)滿足f(=f(x1)-f(x2)，且當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＜0.〔1〕求f(1)的值；〔2〕判斷f(x〕的單調(diào)性；〔3〕假設(shè)f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.7.函數(shù)f(x)對(duì)任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞1.〔1〕求證：f(x)是R上的增函數(shù)；〔2〕假設(shè)f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.8.設(shè)f〔x〕的定義域?yàn)椤?，+∞〕，且在〔0，+∞〕是遞增的，〔1〕求證：f〔1〕=0，f〔xy〕=f〔x〕+f〔y〕；〔2〕設(shè)f〔2〕=1，解不等式。9.設(shè)函數(shù)對(duì)都滿足,且方程恰有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則這6個(gè)實(shí)根的和為〔〕0B．9C．12D．1810.關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根、滿足，則實(shí)數(shù)m的取值范圍11.函數(shù)滿足，且∈[－1,1]時(shí)，，則與的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A．3B．4C．5 D．6 12.函數(shù)滿足：，則＝；當(dāng)時(shí)＝，則＝13.函數(shù)f(x)在(－1，1)上有定義，f()=－1,當(dāng)且僅當(dāng)0<x<1時(shí)f(x)<0,且對(duì)任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明：(1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減.14.函數(shù)f(x)=的圖象()A.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) B.關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D.關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)15.函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則y=f(|x+1|)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是_________.16.假設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d滿足f(0)=f(x1)=f(x2)=0(0<x1<x2),且在［x2,+∞上單調(diào)遞增，則b的取值范圍是_________.17.函數(shù)f(x)=ax+(a>1).(1)證明：函數(shù)f(x)在(－1，+∞)上為增函數(shù).(2)用反證法證明方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根.18.求證函數(shù)f(x)=在區(qū)間(1，+∞)上是減函數(shù).19設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)且滿足：(i)f(x1－x2)=；(ii)存在正常數(shù)a使f(a)=1.求證：(1)f(x)是奇函數(shù).(2)f(x)是周期函數(shù)，且有一個(gè)周期是4a20.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且對(duì)m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,當(dāng)x>－時(shí)，f(x)>0.(1)求證：f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)試舉出具有這種性質(zhì)的一個(gè)函數(shù)，并加以驗(yàn)證.21.奇函數(shù)f(x)是定義在(－3，3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,設(shè)不等式解集為A，B=A∪{x|1≤x≤},求函數(shù)g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.22.設(shè)f(x)是(－∞,+∞)上的奇函數(shù)，f(x+2)=－f(x),當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=x,則f(7.5)等于()A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.523.定義域?yàn)?－1，1)的奇函數(shù)y=f(x)又是減函數(shù)，且f(a－3)+f(9－a2)<0,則a的取值范圍是()A.(2，3) B.(3，)C.(2，4) D.(－2，3)24.假設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且在(0，+∞)內(nèi)是增函數(shù)，又f(－3)=0,則xf(x)<0的解集為_(kāi)________.25.如果函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，在(－1，0)上是增函數(shù)，且f(x+2)=－f(x),試比擬f(),f(),f(1)的大小關(guān)系_________.參考答案6.〔1〕f(1)=f(1/1)=f(1)-f(1)=0。〔2〕當(dāng)0<x<y時(shí)，y/x>1，所以f(y)-f(x)=f(y/x)<0。故f單調(diào)減?！?〕f(3)=-1，f(3)=f(9/3)=f(9)-f(3)，f(9)=-2而f〔｜x｜)＜-2=f(9)，且f單調(diào)減，所以|x|>9x＞9或x＜-97.〔1〕設(shè)x1,x2∈R，且x1＜x2,則x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1.f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0.∴f〔x2〕＞f(x1).即f(x)是R上的增函數(shù).〔2〕∵f〔4〕=f〔2+2〕=f〔2〕+f〔2〕-1=5，∴f〔2〕=3，∴原不等式可化為f(3m2-m-2)＜f(2),∵f(x)是R上的增函數(shù)，∴3m2-m-2＜2,解得-1＜m＜,故解集為.13.證明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0∴f(x)=－f(－x).∴f(x)為奇函數(shù).(2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減.令0<x1<x2<1,則f(x2)－f(x1)=f(x2)－f(－x1)=f()∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,由題意知f()<0，即f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0.∴f(x)在(－1，1)上為減函數(shù).14.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).答案：C15.解析：令t=|x+1|,則t在(－∞,－1上遞減，又y=f(x)在R上單調(diào)遞增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1上遞減.答案：(－∞,－116.解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞單調(diào)遞增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0,∴b=－a(x1+x2)＜0.答案：(－∞,0〕17.證明：(1〕設(shè)－1＜x1＜x2＜+∞,則x2－x1>0,>1且>0,∴>0,又x1+1>0,x2+1>0∴>0,于是f(x2)－f(x1)=+>0∴f(x)在(－1，+∞〕上為遞增函數(shù).(2〕證法一：設(shè)存在x0＜0(x0≠－1)滿足f(x0)=0,則且由0＜＜1得0＜－＜1,即＜x0＜2與x0＜0矛盾，故f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根.證法二：設(shè)存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,假設(shè)－1＜x0＜0,則＜－2,＜1,∴f(x0)＜－1與f(x0)=0矛盾，假設(shè)x0＜－1,則>0,>0，∴f(x0)>0與f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根.18.證明：∵x≠0,∴f(x)=,設(shè)1＜x1＜x2＜+∞,則.∴f(x1)>f(x2),故函數(shù)f(x)在(1，+∞〕上是減函數(shù).19.證明：(1〕不妨令x=x1－x2,則f(－x)=f(x2－x1)==－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函數(shù).(2〕要證f(x+4a)=f(x),可先計(jì)算f(x+a),f(x+2∵f(x+a)=f［x－(－a)］=.∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］==f(x),故f(x)是以20.證明：設(shè)x1＜x2,則x2－x1－>－,由題意f(x2－x1－)>0,∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－)－1=f［(x2－x1)－］>0,∴f(x)是單調(diào)遞增函數(shù).(2)解：f(x)=2x+1.驗(yàn)證過(guò)程略.21.解：由且x≠0,故0<x<,又∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是減函數(shù)，∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,綜上得2<x<,即A={x|2<x<},∴B=A∪{x|1≤x≤}={x|1≤x<},又g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－)2－知：g(x)在B上為減函數(shù)，∴g(x)max=g(1)=－4.22.解析：f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B23.解析：∵f(x)是定義在(－1，1〕上的奇函數(shù)又是減函數(shù)，且f(a－