解讀大學(xué)數(shù)學(xué)及其數(shù)學(xué)文化

解讀大學(xué)數(shù)學(xué)及其數(shù)學(xué)文化周均（長江師范學(xué)院數(shù)學(xué)系重慶涪陵408001）一、對大學(xué)數(shù)學(xué)的認識1。從教學(xué)內(nèi)容上認識大學(xué)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)觀點認為大學(xué)數(shù)學(xué)就是高等數(shù)學(xué)，即就是（advancedmathematicsorhighermathematics）是傳統(tǒng)的理、工科高等院校開設(shè)的一門重要的基礎(chǔ)課程，現(xiàn)在已推廣到高等院校文科各專業(yè)，它是在中學(xué)初等數(shù)學(xué)（elementarymathematics）學(xué)習(xí)后，各類大學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的繼續(xù)。初等數(shù)學(xué)研究對象為常量，以靜止觀點研究問題，而高等數(shù)學(xué)是研究對象為變量，是用運動和辯證的觀點研究數(shù)學(xué)。高等數(shù)學(xué)是在17世紀（1763年）Descartes建立了解析幾何，同時把變量引入數(shù)學(xué)對數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的影響，使數(shù)學(xué)從研究常量的初等數(shù)學(xué)進一步發(fā)展到研究變量而發(fā)展來的。由于微積分是高等數(shù)學(xué)的一個核心組成部分，所以有人又簡單稱高等數(shù)學(xué)為微積分。高等數(shù)學(xué)除開研究微積分之外，根據(jù)專業(yè)需要還包括向量代數(shù)與空間解析幾何、無窮級數(shù)理論及作為一元微積分學(xué)的簡單應(yīng)用——常微分方程，甚至于還包括線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等，從這個意義上說高等數(shù)學(xué)又稱為大學(xué)數(shù)學(xué)，前面的分析說明是從公共基礎(chǔ)課程的角度認識大學(xué)數(shù)學(xué)的，事實上，還可從更廣的意義上說明大學(xué)數(shù)學(xué)，從最近我國高等教育出版社、中國教育部教學(xué)指導(dǎo)委員會及各個大學(xué)聯(lián)合舉辦的三屆《大學(xué)數(shù)學(xué)報告論壇》的角度來看，還包括大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)類課程。2。從什么是數(shù)學(xué)的角度認識什么是大學(xué)數(shù)學(xué)對什么是數(shù)學(xué)的討論是由來已久的了，從[2]列舉的各種方法可看出有許多定義，事實上筆者認為最為精辟的還是其實恩格斯關(guān)于什么是數(shù)學(xué)最為恰當(dāng)不過的了，恩格斯在《自然辯證法》和《反杜林論》中對數(shù)學(xué)產(chǎn)生的歷史、發(fā)展的動力及其應(yīng)用和作用都有精確的論述，他給數(shù)學(xué)下了一個最恰當(dāng)?shù)淖钣懈爬ㄐ缘亩x。他說：數(shù)學(xué)的研究對象是現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式。這是恩格斯對古典數(shù)學(xué)的最經(jīng)典的論述，這也是大家通過對初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對數(shù)學(xué)的簡單理解。事實上，數(shù)學(xué)發(fā)展到近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究對象已經(jīng)超越了對數(shù)量關(guān)系和空間形式的最初意義的理解，其實這里所說的現(xiàn)代數(shù)學(xué)正是我們討論的大學(xué)數(shù)學(xué)。如數(shù)量不再簡單指初等數(shù)學(xué)中的實數(shù)，而且還應(yīng)該包括向量、張量、矩陣，甚至還包括代數(shù)結(jié)構(gòu)中的元，空間也不只是三維空間，有愛因斯坦的四維空間，乃至于n維空間、無窮維空間以及具有某種結(jié)構(gòu)的抽象空間如函數(shù)空間、拓樸空間、商空間。從這個意義上說有人這樣來定義數(shù)學(xué)的：數(shù)學(xué)是研究結(jié)構(gòu)的科學(xué)，數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)。關(guān)于大學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系的說明如微積分學(xué)中的無窮小量0都賦予了特定的含義；如向量、矩陣是線性代數(shù)研究的對象（數(shù)量）；函數(shù)也賦予了特殊的含義；如高等代數(shù)的多項式理論中多項式可以將x看成是符號,也可看成是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)(初等數(shù)學(xué))中的多項式函數(shù)(即x就是自變量,是數(shù)),數(shù)量賦予了新的含義—矩陣,這時便產(chǎn)生了矩陣函數(shù)（多項式函數(shù)），在線性代數(shù)特征值理論中是有所體現(xiàn)的，如哈密爾頓-凱萊（Hamilton-Caylay）定理所闡述。設(shè)A是數(shù)域P上的一個n×n矩陣，是A的特征多項式，則，同樣是函數(shù)的概念在大學(xué)數(shù)學(xué)的《數(shù)學(xué)實驗》軟件之MATLAB、C語言程序設(shè)計中也函數(shù)的概念，這里或多或少都有函數(shù)思想的應(yīng)用。2）關(guān)于大學(xué)數(shù)學(xué)的空間的說明大家回憶一下從初中學(xué)習(xí)數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系中可以看這些實質(zhì)上是我們現(xiàn)實世界的空間描述。到大學(xué)了大家在二元微積分學(xué)中學(xué)習(xí)了三維空間也是描述現(xiàn)實世界的。但隨著科學(xué)理論的發(fā)展對數(shù)學(xué)提出了新的要求，于是在愛因斯坦提出相對論時，提出了四維空間理論，到后來又發(fā)展到線性代數(shù)的向量空間、n維線性空間理論，以致于發(fā)展到泛函分析中的無窮維空間。所有這些都是大學(xué)數(shù)學(xué)對空間詮釋。3）關(guān)于大學(xué)數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)應(yīng)用說明我想從初等數(shù)學(xué)的三角函數(shù)理論說起三角函數(shù)中有許多公式，在解決問題中通常情況有這樣幾種題型求值、化簡、證明恒等式等等。我在這里舉一個例子，來說明結(jié)構(gòu)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。事實上，在大學(xué)數(shù)學(xué)知識、解題策略中也有結(jié)構(gòu)的應(yīng)用：如極限、導(dǎo)數(shù)、積分中都有四則運算法則及復(fù)合函數(shù)的運算法則。（解釋這里的幾種微積分學(xué)運算應(yīng)用這種結(jié)構(gòu)時有不同的解釋的）。當(dāng)然，這里還有認知心理學(xué)中提倡的鑒別學(xué)習(xí)理論的應(yīng)用。關(guān)于認知心理學(xué)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，我想多談點。認知心理學(xué)通常情況包括幾個大的分支如加工過程論、認知結(jié)構(gòu)論及學(xué)生中心論。我在這里想強調(diào)我學(xué)習(xí)的一丁點《認知結(jié)構(gòu)理論》在大學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。它表現(xiàn)于大學(xué)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)運算及數(shù)學(xué)解題策略中的應(yīng)用，這里僅舉例說明它在數(shù)學(xué)運算中的應(yīng)用如兩個重要極限的運用同，，型，“三統(tǒng)一”，同理是型，也是三統(tǒng)一，這兩個重要極限在應(yīng)用時，都要套用這兩種結(jié)構(gòu)。認知結(jié)構(gòu)對怎樣掌握知識，提高解決問題的能力具有很好的指導(dǎo)作用，西南大學(xué)心理學(xué)院院長張慶林曾提出過這樣的觀點，“知識的學(xué)習(xí)或表征，只有做到條件化、結(jié)構(gòu)化、自動化和策略化，才能有效地創(chuàng)造性地解決問題”。事實上，認知結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)的結(jié)合是有理論根據(jù)，有研究表明《范疇論Category》中提出的范疇結(jié)構(gòu)與知識工程學(xué)中的知識分類、知識表達、知識系統(tǒng)和心理學(xué)中的拓樸心理學(xué)認知心理學(xué)的認知結(jié)構(gòu)有緊密關(guān)系。我們在學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)時如果能應(yīng)用好認知結(jié)構(gòu)理論，對學(xué)好數(shù)學(xué)是很有幫助的。參考文獻[1]理科非數(shù)學(xué)專業(yè)高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革課題組人才培養(yǎng)與大學(xué)數(shù)學(xué)教育改革[J]，教學(xué)與教材研究1999.2[2]大學(xué)數(shù)學(xué)課程報告論壇大學(xué)數(shù)學(xué)報告論壇2006論文集[c],北京