冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊 （矩形）課件教學(xué)(第2課時(shí))

第二十二章四邊形22.4矩形第2課時(shí)

1課堂講解由直角的個(gè)數(shù)判定矩形由對角線的關(guān)系判定矩形2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升知識(shí)回顧四邊形平行四邊形兩組對邊平行一個(gè)角是直角∟矩形平行四邊形□矩形四邊形木工朋友在制作窗框后，需要檢測所制作的窗框是否是矩形，那么他需要測量哪些數(shù)據(jù)，其根據(jù)又是什么呢？你現(xiàn)在有方法幫他嗎？探究新知測量…？1知識(shí)點(diǎn)由直角的個(gè)數(shù)判定矩形分析矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。由定義識(shí)別：∵□ABCD，∠A=90°.∴□ABCD是矩形.知1－導(dǎo)①②ABCD根據(jù)矩形的定義，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．如果不通過平行四邊形，能根據(jù)四邊形中直角的個(gè)數(shù)，直接由四邊形來判定它是矩形嗎?有幾個(gè)角是直角的四邊形是矩形呢?性質(zhì)：矩形的四個(gè)角都是直角四個(gè)角是直角的四邊形是矩形知1－導(dǎo)條件結(jié)論條件結(jié)論李芳同學(xué)用“邊——直角、邊——直角、邊——直角、邊”這樣四步，畫出了一個(gè)四邊形，她說這就是一個(gè)矩形。猜想她判斷的依據(jù)？猜想：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形你能證明上述結(jié)論嗎？已知：如圖所示，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.

求證：四邊形ABCD是矩形．知1－導(dǎo)BCAD知1－導(dǎo)證明：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°.

∴AD∥BC，AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形.

∵∠A=90°，∴□ABCD是矩形.比較上面兩種說法，你認(rèn)為選擇哪種說法作為矩形的判定定理更為簡潔?于是，便得到：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.歸納知1－導(dǎo)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.符號(hào)表達(dá)式：∵∠A=∠B=∠C=90°，

∴四邊形ABCD是矩形.（來自教材）ABCD知1－講（來自《點(diǎn)撥》）例1如圖，?ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于

點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H.求證：四邊形EFGH是矩形.要證明四邊形EFGH是矩形，由于已知ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，因此可選用“有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”來證明．導(dǎo)引：知1－講（來自《點(diǎn)撥》）∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD，∴∠GBC＋∠GCB＝∠ABC＋∠BCD

＝×180°＝90°，∴∠BGC＝90°.同理可得∠AFB＝∠AED＝90°.∴∠GFE＝∠FEH＝∠FGH＝90°.∴四邊形EFGH是矩形．證明：總

結(jié)知1－講（來自《點(diǎn)撥》）

本題目中的圖形是建立在四邊形基礎(chǔ)上，而條件中又涉及角的關(guān)系，一般采用“角的方法”來判定矩形．知1－練已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，四邊形AEDB為平行四邊形.求證：四邊形AECD是矩形.1（來自《教材》）在?AEDB中，AE＝BD，AE∥BD，AB＝DE，∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝DC，∴AE＝CD，又∵AE∥CD，∴四邊形AECD是平行四邊形．在△ABC中，AB＝AC，∴AC＝DE，∴四邊形AECD是矩形．解：知1－練已知矩形的對角線長為10cm，求順次連接矩形四邊中點(diǎn)所得的四邊形的周長.2（來自《教材》）如圖所示．在矩形ABCD中，AC，BD的長都為10cm.點(diǎn)E，H分別是AD，CD的中點(diǎn)，則EH＝AC＝5cm.同理：FE，F(xiàn)G，GH的長均為5cm.所以所得到的四邊形的周長為5＋5＋5＋5＝20(cm)．解：知1－練（來自《典中點(diǎn)》）下列命題中，假命題是(

)A．有一組對角是直角且一組對邊平行的四邊形

是矩形B．有一組對角是直角且一組對邊相等的四邊形

是矩形C．有兩個(gè)內(nèi)角是直角且一組對邊平行的四邊形

是矩形D．有兩個(gè)內(nèi)角是直角且一組對邊相等的四邊形

是矩形3C知1－練（來自《典中點(diǎn)》）下列說法：①三角形的三條高一定都在三角形內(nèi)；②有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形；③兩邊及一角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；④一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形．其中正確的有(

)A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)4A知1－練（來自《典中點(diǎn)》）如圖，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)得四邊形EFGH，要使四邊形EFGH為矩形，應(yīng)添加的條件是(

)A．AB∥DC

B．AC＝BD

C．AC⊥BD

D．AB＝DC5C知1－練（來自《典中點(diǎn)》）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則EF的最小值為(

)A．2B．2.2C．2.4D．2.56C2知識(shí)點(diǎn)由對角線的關(guān)系判定矩形知2－導(dǎo)

我們知道，矩形的對角線相等.反過來，對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？

工人師傅在做門窗或矩形零件時(shí)，不僅要測量兩組對邊的長度是否分別相等，常常還要測量它們的兩條對角線是否相等，以確保圖形是矩形.你知道其中的道理嗎？思考知2－導(dǎo)已知：在?ABCD，AC=BD.求證：?ABCD是矩形.證明：∵在?ABCD中，AB=DC，BC=CB，且AC=DB.∴△ABC≌△DCB（SSS）.∴∠ABC=∠DCB.∵AB//CD，∴∠ABC+∠DCB=180°.∴∠ABC=∠DCB=90°.又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴?ABCD是矩形.ABCD歸納知2－導(dǎo)

可以發(fā)現(xiàn)并證明矩形的一個(gè)判定定理：

對角線相等的平行四邊形是矩形.警示：兩條對角線相等的四邊形不一定是矩形，這個(gè)

四邊形必須是平行四邊形才可以.知2－講例2已知：如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H

分別

為OA，OB，OC，OD的中點(diǎn).

求證：四邊形EFGH是矩形.（來自《點(diǎn)撥》）知2－講∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD.且OA=OC，OB=OD.∴OA=OC=OB=OD.又∵E，F(xiàn)，G，H

分別為OA，OB，OC，OD

的中點(diǎn)，∴OE=OG=OF=OH.∴四邊形EFGH是平行四邊形.又∵EG=OE+OG=OF+OH=HF，∴四邊形EFGH是矩形.（來自《點(diǎn)撥》）證明：總

結(jié)知2－講

證明一個(gè)平行四邊形為矩形的兩種方法：一是證明有一個(gè)角是直角，另一個(gè)是證明兩條對角線相等．（來自《點(diǎn)撥》）知2－練（來自教材）解：

(1)(2)(3)錯(cuò)誤，(4)正確．指出下列說法是否正確.(1)有一個(gè)角為直角的四邊形是矩形.(2)兩條對角線相等的四邊形是矩形.(3)兩條對角線互相垂直的四邊形是矩形.(4)四個(gè)角皆為直角的四邊形是矩形.1知2－練（來自教材）如圖，矩形ABCD的兩條對角線AC，BD的夾角為60°，AC+AB=12.求AC和AB的長.2因?yàn)閮蓷l對角線AC，BD的夾角為60°，AO＝BO，所以∠OAB＝∠OBA＝∠AOB＝60°，所以△AOB為等邊三角形，AC＝2AB.所以AC＋AB＝2AB＋AB＝3AB＝12.所以AB＝4，所以AC＝8.解：知2－練（來自教材）小亮想檢驗(yàn)一塊木板是不是矩形.現(xiàn)僅有一根足夠長的細(xì)繩，你能想辦法幫他進(jìn)行檢驗(yàn)嗎？請說明理由.3解：略.知2－練（來自教材）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E.求證：四邊形ADCE是矩形.4知2－練由題意易知∠MAC＝∠B＋∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠MAC＝2∠B，∵AN是∠MAC的平分線，∴∠MAC＝2∠MAE，∴∠MAE＝∠B，∴AE∥BC，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC＝90°，∵AE∥BC，∴∠DAE＝∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠DAE＝∠AEC＝90°，∴四邊形ADCE是矩形．（來自教材）證明：知2－練（來自教材）如圖，在矩形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD，交

BC于點(diǎn)E，∠CAE=15°.求∠BOE的度數(shù).5知2－練在矩形ABCD中，OA＝OB＝OD＝OC，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠BAD＝45°，又∵∠ABE＝90°，∴∠AEB＝45°.∴AB＝BE.∵∠CAE＝15°，∴∠BAO＝60°，∴△AOB是等邊三角形．∴OA＝OB＝AB，∠ABO＝60°，∴BO＝BE，∠OBE＝30°，∴∠BOE＝×(180°－30°)＝75°.（來自教材）解：知2－練【中考·崇左】如圖，在矩形ABCD中，AB＞BC，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊DA、AB、BC、CD的中點(diǎn)，連接EG、FH，則圖中矩形的個(gè)數(shù)共有(

)A．5個(gè)B．8個(gè)C．9個(gè)D．11個(gè)（來自《典中點(diǎn)》）6C知2－練如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它變?yōu)榫匦?，需要添加的條件是(

)A．AB＝CD

B．AD＝BCC．AB＝BC

D．AC＝BD（來自《典中點(diǎn)》）7D知2－練【中考·攀枝花】下列關(guān)于矩形的說法中正確的是(

)

A．對角線相等的四邊形是矩形B．矩形的對角線相等且互相平分C．對角線互相平分的四邊形是矩形D．矩形的對角線互相垂直且平分（來自《典中點(diǎn)》）8B知2－練如圖，要使?ABCD成為矩形，需添加的條件是(

)A．AB＝BC

B．AO＝BOC．∠1＝∠2D．AC⊥BD（來自《典中點(diǎn)》）9B知2－練【中考·黑龍江】如圖，在?ABCD中，延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接EB，EC，DB，請你添加一個(gè)條件_____________________，使四邊形DBCE是矩形．（來自《典中點(diǎn)》）10EB＝DC(答案不唯一)1知識(shí)小結(jié)矩形的判定方法：方法1：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.方法2：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.方法3：對角線相等的平行四邊形是矩形.

(對角線互相平分且相等的四邊形是矩形.)在一組對邊平行的四邊形中，添加下列條件中的哪一個(gè)，可判定這個(gè)四邊形是矩形(

)A．另一組對邊相等，對角線相等B．另一組對邊相等，對角線互相垂直C．另一組對邊平行，對角線相等D．另一組對邊平行，對角線互相垂直2易錯(cuò)小結(jié)C易錯(cuò)點(diǎn)：對矩形的判定方法理解錯(cuò)誤導(dǎo)致出錯(cuò)

請完成《典中點(diǎn)》Ⅱ、Ⅲ板塊對應(yīng)習(xí)題！第二十二章四邊形22.5菱形第1課時(shí)

1課堂講解菱形及其對稱性菱形邊的性質(zhì)菱形對角線的性質(zhì)2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升我們已經(jīng)知道平行四邊形是特殊的四邊形，因此平行四邊形除具有四邊形的性質(zhì)外，還有它的特殊性質(zhì)，同樣對于平行四邊形來說有特殊情況即特殊的平行四邊形，我們已經(jīng)研究了一種特殊的平行四邊形——矩形；這堂課還要研究另一種特殊的平行四邊形——菱形.兩組對邊分別平行平行四邊形矩形菱形有一個(gè)角是直角有一組鄰邊相等1知識(shí)點(diǎn)菱形及其對稱性1.在平行四邊形中，如果內(nèi)角大小保持不變，僅改變邊的長度，請仔細(xì)觀察和思考，在這變化過程中，

哪些關(guān)系沒變？哪些關(guān)系變了？知1－講

平行四邊形鄰邊相等菱形如果改變了邊的長度，使兩鄰邊相等，那么這個(gè)平行四邊形成為怎樣的四邊形？歸納知1－講定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.AB=BC平行四邊形ABCD四邊形ABCD是菱形知1－講1.如圖，將一個(gè)菱形紙片ABCD按圖示方法折疊后，再展開：(1)說明兩條折痕的交點(diǎn)O恰為菱形的中心.(2)菱形ABCD是軸對稱圖形嗎？如果它是軸對稱圖形，

那么它有幾條對稱軸，都是那些直線？歸納知1－講菱形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.（來自教材）知1－講例1

已知：如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，DE∥AC交BC于點(diǎn)E，DF∥BC交AC于點(diǎn)F.四邊形DECF是菱形嗎？為什么？（來自《點(diǎn)撥》）因?yàn)镈E∥FC，DF∥EC，所以四邊形DECF為平行四邊形，再根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形求證即可．導(dǎo)引：知1－講（來自《點(diǎn)撥》）四邊形DECF是菱形．理由如下：∵DE∥FC，DF∥EC，∴四邊形DECF為平行四邊形．

由AC∥DE，知∠2＝∠3.∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，∴平行四邊形DECF為菱形(有一組鄰邊相等的平

行四邊形是菱形)．解：總

結(jié)知1－講（來自《點(diǎn)撥》）

本題考查了菱形的定義，菱形的定義也可以作為菱形的判定方法．知1－練（來自《典中點(diǎn)》）如圖，若要使?ABCD成為菱形，則需要添加的條件是(

)A．AB＝CD

B．AD＝AC

C．AB＝BC

D．AC＝BD1C知1－練（來自《典中點(diǎn)》）2如圖，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一點(diǎn)，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)F，要使四邊形AEDF是菱形，只需添加的條件是(

)A．AD⊥BC

B．∠BAD＝∠CADC．BD＝DC

D．AD＝BDB知1－練（來自《典中點(diǎn)》）3菱形是軸對稱圖形，其對稱軸的條數(shù)為(

)A．2條B．4條C．6條D．8條A知1－練（來自《典中點(diǎn)》）4如圖，O是菱形ABCD的對角線AC，BD的交點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①S△ADE＝S△EOD；②四邊形BFDE是軸對稱圖形；③△DEF是軸對稱圖形；④∠ADE＝∠EDO.其中正確的有(

)A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)C2知識(shí)點(diǎn)菱形邊的性質(zhì)知2－導(dǎo)菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)．此外，菱形還具有哪些特殊性質(zhì)呢?觀察圖所示，根據(jù)菱形的軸對稱性，你發(fā)現(xiàn)菱形的四條邊具有什么大小關(guān)系?歸納知2－導(dǎo)菱形的四條邊都相等.知2－講例2如圖所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、EF、AF，則△AEF的周長為()

A．B．C．D．3

在菱形ABCD中，因?yàn)椤螧＝60°，連接AC，則△ABC是等邊三角形，又因?yàn)镋分別是BC的中點(diǎn)，所以AE垂直于BC，因此AE＝，所以△AEF的周長為，故選B.分析：B總

結(jié)知2－講

在菱形中作輔助線經(jīng)常連接對角線，構(gòu)造三角形來做題，能夠迎刃而解.1菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，∠AOC=45°，OC=求點(diǎn)B的坐標(biāo).知2－練（來自教材）過點(diǎn)B作BD⊥OA，垂足為D.由題意可知∠BAD＝∠AOC＝45°，AB＝OA＝OC＝，所以AD＝BD＝1.所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為(＋1，1)．解：知2－練如圖，菱形ABCD的邊長為2cm，E為AB的中點(diǎn)，且DE⊥AB.求菱形ABCD的面積.2連接BD，∵AB＝2cm，E為AB的中點(diǎn)，∴AE＝

AB＝1cm.在Rt△AED中，DE＝(cm)．∴S菱形ABCD＝2S△ABD＝2××2×

＝2(cm2)．解：知2－練邊長為3cm的菱形的周長是(

)A．6cmB．9cmC．12cmD．15cm（來自《典中點(diǎn)》）3C知2－練（來自《典中點(diǎn)》）4【中考·蘭州】如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，則△AEF的面積是(

)A．4B．3C．2D.B知2－練（來自《典中點(diǎn)》）5【中考·重慶】如圖，在邊長為6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以點(diǎn)D為圓心，菱形的高DF為半徑畫弧，交AD于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)G，則圖中陰影部分的面積是(

)A．18－9πB．18－3πC．9－D．18－3πA知2－練（來自《典中點(diǎn)》）6【中考·鄂州】如圖，菱形ABCD的邊AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一點(diǎn)，BP＝3，Q是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，將梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對應(yīng)點(diǎn)為A′.當(dāng)CA′的長度最小時(shí)，CQ的長為(

)A．5B．7C．8D.B3知識(shí)點(diǎn)菱形對角線的性質(zhì)知3－導(dǎo)

因?yàn)榱庑问瞧叫兴倪呅?，所以它具有平行四邊形的所有性質(zhì).由于它的一組鄰邊相等，它是否具有一般平行四邊形不具有的一些特殊性質(zhì)呢？思考菱形的兩條對角線AC與BD之間具有什么位置關(guān)系?歸納知3－導(dǎo)

對于菱形，我們?nèi)匀粡乃膶蔷€等方面進(jìn)行研究.可以發(fā)現(xiàn)并證明(請你自己完成證明)，菱形還有以下性質(zhì)：

菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.知3－導(dǎo)問題菱形的面積如何計(jì)算呢？菱形的面積有兩種計(jì)算方法：一種是底乘以高的積；另一種是對角線乘積的一半.所以在求菱形的面積時(shí)，要靈活運(yùn)用使計(jì)算簡單.知3－講例3如圖，菱形ABCD的周長為16cm，∠ABC=120°.求對角線BD和AC的長.（來自教材）∵AB+BC+CD+AD=16cm，∴AB=BC=CD=AD==4(cm).∵BD平分∠ABC，∠ABC=120°，∴∠ABD=60°.∴△ABD是等邊三角形.∴BD=AB=4cm.在Rt△AOB中，OB=2cm，解：總

結(jié)知3－講（來自《點(diǎn)撥》）

菱形的對角線將菱形分成四個(gè)全等的直角三角形，我們通常將菱形問題中求相關(guān)線段的長轉(zhuǎn)化為求直角三角形中相關(guān)線段的長，再利用勾股定理來計(jì)算．如圖，在菱形ABCD中，AC，BD為對角線，∠BAC=50°.求菱形ABCD各內(nèi)角的度數(shù).知3－練1（來自教材）在菱形ABCD中，∵∠BAC＝50°，∴∠BAD＝2∠BAC＝100°.∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∴∠ABC＝80°.∴∠ADC＝80°，∠BCD＝100°.解：在菱形ABCD中，對角線AC=8，BD=6.求菱形的周長.知3－練2（來自教材）解：由題意易知菱形的邊長為＝5，所以周長為4×5＝20.如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC=6cm，BD=8cm，AE⊥BC，垂足為E.求AE的長.知3－練3（來自教材）知3－練（來自教材）在菱形ABCD中，∵AC＝6cm，BD＝8cm，∴OA＝

AC＝3cm，OB＝

BD＝4cm.∴在Rt△AOB中，AB＝

＝5cm.∴BC＝5cm.∵S△ABC＝

AC·OB＝

BC·AE，∴AE＝(cm)．解：知3－講如圖，菱形花壇ABCD的邊長為20m，∠ABC=60°，沿著菱形的對角線修建了兩條小路AC和BD.求兩條小路的長(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)和花壇的面積(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).例4∵花壇ABCD的形狀是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30°.在Rt△OAB中，AO=AB=×20=10，∴花壇的兩條小路長AC=2AO=20(m)，BD=2BO=20≈34.64(m).

花壇的面積S四邊形ABCD=4×S△OAB

=AC·BD=200≈346.4(m2).知3－講解：總

結(jié)知3－講菱形的面積有三種計(jì)算方法：(1)將其看成平行四邊形，用底與高的積來求；(2)對角線分得的四個(gè)全等直角三角形面積之和；(3)兩條對角線乘積的一半．說明：讀者可利用(1)(2)兩種方法試一試；注意應(yīng)

用(3)這種方法時(shí)不要忽視“一半”．（來自《點(diǎn)撥》