概率論 二重積分的計算(二)課件

3.2二重積分的計算概率論二重積分的計算(二)二重積分的計算（一）在直角坐標(biāo)系中（累次積分）或yxdcX-型Y-型復(fù)習(xí)yxab概率論二重積分的計算(二)例

計算其中xyo因此,針對不同形狀的積分區(qū)域D以及被積函數(shù)的特點,選擇不同的坐標(biāo)系來計算二重積分是一個重要的問題.3.2二重積分的計算解概率論二重積分的計算(二)二、二重積分在極坐標(biāo)下的計算概率論二重積分的計算(二)極軸X極點Orxy

如果選取以直角坐標(biāo)系的原點O為極點，以x軸為極軸，原點Ox軸二重積分在極坐標(biāo)下的計算概率論二重積分的計算(二)用以極點O為中心的一族同心圓,1.利用極坐標(biāo)系計算二重積分

設(shè)過極點O的射線與積分區(qū)域D的邊界曲線的交點不多于兩點，把區(qū)域D分成n個小區(qū)域，在極坐標(biāo)系下，以及從極點出發(fā)的一族射線,在直角坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下極坐標(biāo)系下的面積微元概率論二重積分的計算(二)則得故面積微元為這樣二重積分在極坐標(biāo)系下的表達式為二重積分在極坐標(biāo)下的計算概率論二重積分的計算(二)

直角坐標(biāo)系下與極坐標(biāo)系下二重積分的轉(zhuǎn)換公式

如何計算極坐標(biāo)系下的二重積分？化為二次積分或累次積分來計算二重積分在極坐標(biāo)系下的表達式為二重積分在極坐標(biāo)下的計算概率論二重積分的計算(二)

在極坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分或累次積分，同樣要解決下面兩個問題：（2）確定積分的上、下限（1）選擇積分次序化為二次積分或累次積分來計算二重積分在極坐標(biāo)下的計算概率論二重積分的計算(二)

2.極坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分(1)若極點O在區(qū)域D

之外則有

(2)極點O在區(qū)域D的邊界線上則有xoxoDD（只研究先對r后對θ的積分次序）下面根據(jù)極點O與區(qū)域D的位置分三種情況討論

型區(qū)域概率論二重積分的計算(二)(3)若極點O在區(qū)域D的內(nèi)部則有xoDo特殊地DD:二重積分在極坐標(biāo)下的計算x概率論二重積分的計算(二)或被積函數(shù)為f(x2+y2)、利用極坐標(biāo)計算二重積分積分特征利用極坐標(biāo)常能簡化計算.如果積分區(qū)域D為圓、半圓、圓環(huán)、扇形域等，等形式，要點與步驟:用直角坐標(biāo)系計算繁鎖或不能計算的可以用極坐標(biāo)計算;(2)畫區(qū)域圖,列出

型區(qū)域,寫成極坐標(biāo)下的二次積分.二重積分在極坐標(biāo)下的計算概率論二重積分的計算(二)3.極坐標(biāo)下二重積分計算的基本步驟

(1)將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下的二重積分.①將

代入被積函數(shù),

②將區(qū)域D的邊界曲線換為極坐標(biāo)系下的表達式，確定相應(yīng)的積分限.

將面積元素dxdy換為

.(2)將極坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分.(3)計算二次積分.則概率論二重積分的計算(二)例1

計算其中解故

注：由于的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角坐標(biāo)計算.xyo在極坐標(biāo)系下二重積分在極坐標(biāo)下的計算概率論二重積分的計算(二)xy例2二重積分在極坐標(biāo)下的計算解概率論二重積分的計算(二)例3

計算積分積分域是圓環(huán)，xyo解D：二重積分在極坐標(biāo)下的計算(例3.14)概率論二重積分的計算(二)例4二重積分在極坐標(biāo)下的計算解概率論二重積分的計算(二)

例5

計算二重積分

其中區(qū)域D為由x=0及

x2+y2=2y圍成的第一象限內(nèi)的區(qū)域.解D的邊界曲線為x2+y2=2y，此時D可以表示為xyo其極坐標(biāo)表達式二重積分在極坐標(biāo)下的計算概率論二重積分的計算(二)解故例6二重積分在極坐標(biāo)下的計算概率論二重積分的計算(二)解因為被積函數(shù)為偶函數(shù),例7

求廣義積分所以，不能直接用一元函數(shù)的廣義積分計算。(泊松積分,例3.19）又因為被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù),二重積分在極坐標(biāo)下的計算D令利用極坐標(biāo)計算H，概率論二重積分的計算(二)令利用極坐標(biāo)計算H，所以D正態(tài)分布概率論二重積分的計算(二)

當(dāng)積分區(qū)域由直線和除圓以外的其它曲線圍成時，

一般說來，當(dāng)積分區(qū)域為圓形、扇形、環(huán)形區(qū)域，

選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系對計算二重積分的計算是至關(guān)重要的.而被積函數(shù)中含有

項時,選擇坐標(biāo)系選擇積分次序二重積分計算過程通常選擇在直角坐標(biāo)系下計算.下的計算方法往往比較簡便.二重積分計算方法總結(jié)：化為累次積分計算累次積分二重積分可在兩種坐標(biāo)系下計算.采用極坐標(biāo)系概率論二重積分的計算(二)二重積分在極坐標(biāo)下的計算概率論二重積分的計算(二)由區(qū)域的對稱性和函數(shù)的奇偶性可得oxyD二重積分在極坐標(biāo)下的計算解例7概率論二重積分的計算(二)oxy11D解二重積分在極坐標(biāo)下的計算例3.17——3.18不作要求例8概率論二重積分的計算(二)二、二重積分在極坐標(biāo)系中的計算一、二重積分在直角坐標(biāo)系中計算小結(jié)選擇積分次序選擇積分限化為累次積分概率論二重積分的計算(二)作業(yè)：P1533.212(1)(2)13(2)(3)下次課內(nèi)容3.3二重積分的應(yīng)用概率論二重積分的計算(二)二、二重積分在極坐標(biāo)系下的計算一、二重積分在直角坐標(biāo)系下的計算復(fù)習(xí)選擇積分次序選擇積分限化為累次積分二重積分的計算概率論二重積分的計算(二)（極