小學奧數(shù)知識點梳理1-數(shù)論

PAGEPAGE4數(shù)論：1、奇偶；2、整除；3、余數(shù)；4、質(zhì)數(shù)合數(shù)‘5、約數(shù)倍數(shù)；6、平方；7、進制；8、位值。奇偶：一個整數(shù)或為奇數(shù)，或為偶數(shù)，二者必居其一。奇偶數(shù)有如下運算性質(zhì)：（1）奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)

偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)

奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)

偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)（2）奇數(shù)個奇數(shù)的和（或差）為奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)的和（或差）為偶數(shù)，任意多個偶數(shù)的和（或差）總是偶數(shù)。（3）奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)

偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)

奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)（4）若干個整數(shù)相乘，其中有一個因數(shù)是偶數(shù)，則積是偶數(shù)；如果所有的因數(shù)都是奇數(shù)，則積是奇數(shù)。（5）偶數(shù)的平方能被4整隊，奇數(shù)的平方被4除余1。上面幾條規(guī)律可以概括成一條：幾個整數(shù)相加減，運算結(jié)果的奇偶性由算式中奇數(shù)的個數(shù)所確定；如果算式中共有偶數(shù)（注意：0也是偶數(shù)）個奇數(shù)，那么結(jié)果一定是偶數(shù)；如果算式中共有奇數(shù)個奇數(shù)，那么運算結(jié)果一定是奇數(shù)。整除：掌握能被30以下質(zhì)數(shù)整除的數(shù)的特征。被2整除的數(shù)的特征為：它的個位數(shù)字之和可以被2整除.被3（9）整除的數(shù)的特征為：它的各位數(shù)字之和可以被3（9）整除。被5整除的數(shù)的特征為：它的個位數(shù)字之和可以被5整除。被11整除的數(shù)的特征是：它的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差（大減?。┠鼙?1整除。下面研究被7、11、13整除的數(shù)的特征。有一關(guān)鍵性式子：7×11×13=1001。判定某數(shù)能否被7或11或13整除，只要把這個數(shù)的末三位與前面隔開，分成兩個獨立的數(shù)，取它們的差（大減小），看它是否被7或11或13整除。此法則可以連續(xù)使用。例：N=987654321.判定N是否被11整除。因為654不能被11整除，所以N不能被11整除。例：N＝215332.判定N是否被7、11、13整除。由于117＝13×9，所以117能被13整除，但不能被7、11整除，因此N能被13整除，不能被7、11整除。此方法的優(yōu)點在于當判定一個較大的數(shù)能否被7或11或13整除時，可用減法把這個大數(shù)化為一個至多是三位的數(shù)，然后再進行判定。被17、19整除的簡易判別法.回顧對比前面，由等式1001＝7×11×13的啟發(fā)，才有簡捷的“隔位相減判整除性”的方法。對于質(zhì)數(shù)17：17×59=1003，因此，判定一個數(shù)可否被17整除，只要將其末三位與前面隔開，看末三位數(shù)與前面隔出數(shù)的3倍的差（大減?。┦欠癖?7整除。例：N=31428576，判定N能否被17整除。

而429=25×17+4，所以N不能被17整除。例：N＝2661027能否被17整除？又935=55×17。所以N可被17整除。下面來推導被19整除的簡易判別法。尋找關(guān)鍵性式子：19×53=1007.因此，判定一個數(shù)可否被19整除，只要將其末三位與前面隔開，看末三位與前面隔出數(shù)的7倍的差（大減?。┦欠癖?9整除。例：N＝123456789可否被19整除？又603＝31×19+14，所以N不能被19整除。例：N=6111426可否被19整除？余數(shù)判別法當一個數(shù)不能被另一個數(shù)整除時，雖然可以用長除法去求得余數(shù)，但當被除位數(shù)較多時，計算是很麻煩的．建立余數(shù)判別法的基本思想是：為了求出“N被m除的余數(shù)”，我們希望找到一個較簡單的數(shù)R，使得：N與R對于除數(shù)m同余．由于R是一個較簡單的數(shù)，所以可以通過計算R被m除的余數(shù)來求得N被m除的余數(shù)．整數(shù)N被2或5除的余數(shù)等于N的個位數(shù)被2或5除的余數(shù)；整數(shù)N被4或25除的余數(shù)等于N的末兩位數(shù)被4或25除的余數(shù)；整數(shù)N被8或125除的余數(shù)等于N的末三位數(shù)被8或125除的余數(shù)；整數(shù)N被3或9除的余數(shù)等于其各位數(shù)字之和被3或9除的余數(shù)；整數(shù)N被11除的余數(shù)等于N的奇數(shù)位數(shù)之和與偶數(shù)位數(shù)之和的差被11除的余數(shù)；（不夠減的話先適當 加11的倍數(shù)再減）；整數(shù)N被7，11或13除的余數(shù)等于先將整數(shù)N從個位起從右往左每三位分一節(jié)，奇數(shù)節(jié)的數(shù)之和與偶數(shù)節(jié)的數(shù)之和的差被7，11或13除的余數(shù)就是原數(shù)被7，11或13除的余數(shù)．四、質(zhì)數(shù)與合數(shù)（1）質(zhì)數(shù)與合數(shù)定義一個數(shù)除了1和它本身，不再有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也叫做素數(shù)）。一個數(shù)除了1和它本身，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。要特別記?。?不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。常用的100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共計25個。（2）質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)如果一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么就說這個質(zhì)數(shù)是這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。例：把30分解質(zhì)因數(shù)。解：30＝2×3×5。其中2、3、5叫做30的質(zhì)因數(shù)。又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的質(zhì)因數(shù)。（3）部分特殊數(shù)的分解；；；；；；；；.（4）判斷一個數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的方法根據(jù)定義如果能夠找到一個小于p的質(zhì)數(shù)q(均為整數(shù))，使得q能夠整除p，那么p就不是質(zhì)數(shù)，所以我們只要拿所有小于p的質(zhì)數(shù)去除p就可以了；但是這樣的計算量很大，對于不太大的p，我們可以先找一個大于且接近p的平方數(shù)，再列出所有不大于K的質(zhì)數(shù)，用這些質(zhì)數(shù)去除p，如沒有能夠除盡的那么p就為質(zhì)數(shù).例如：149很接近，根據(jù)整除的性質(zhì)149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是質(zhì)數(shù)。五、約數(shù)和倍數(shù)（1）求最大公約數(shù)的方法①分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來．例如：，，所以；②短除法：先找出所有共有的約數(shù)，然后相乘．例如：，所以；③輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)．用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個數(shù)除大的一個數(shù)，得第一個余數(shù)；再用第一個余數(shù)除小的一個數(shù)，得第二個余數(shù)；又用第二個余數(shù)除第一個余數(shù)，得第三個余數(shù)；這樣逐次用后一個余數(shù)去除前一個余數(shù)，直到余數(shù)是0為止．那么，最后一個除數(shù)就是所求的最大公約數(shù)．(如果最后的除數(shù)是1，那么原來的兩個數(shù)是互質(zhì)的)．例如，求600和1515的最大公約數(shù)：；；；；；所以1515和600的最大公約數(shù)是15．（2）最大公約數(shù)的性質(zhì)①幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)；②幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)；③幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以．（3）求一組分數(shù)的最大公約數(shù)先把帶分數(shù)化成假分數(shù)，其他分數(shù)不變；求出各個分數(shù)的分母的最小公倍數(shù)a；求出各個分數(shù)的分子的最大公約數(shù)b；即為所求．（4）求一個數(shù)約數(shù)的個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，之后將不同質(zhì)因數(shù)的次數(shù)均加1，之后相乘。所得結(jié)果就是這個數(shù)不同約數(shù)的個數(shù)。如：，則的不同約數(shù)的個數(shù)為（5）求最小公倍數(shù)的方法①分解質(zhì)因數(shù)的方法；例如：，，所以；②短除法求最小公倍數(shù)；例如：，所以；③．（6）最小公倍數(shù)的性質(zhì)①兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)．②兩個互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積．③兩個數(shù)具有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公約數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)．六、平方1、完全平方數(shù)特征（1）完全平方數(shù)的尾數(shù)只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。（2）在兩個連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)之間不存在完全平方數(shù)。（3）完全平方數(shù)的約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)，約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)是完全平方數(shù)。（4）若質(zhì)數(shù)p整除完全平方數(shù)，則p能被整除。2、性質(zhì)性質(zhì)1：完全平方數(shù)的末位數(shù)字只可能是0，1，4，5，6，9．性質(zhì)2：完全平方數(shù)被3，4，5，8，16除的余數(shù)一定是完全平方數(shù)．性質(zhì)3：自然數(shù)N為完全平方數(shù)自然數(shù)N約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)．因為完全平方數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解中每個質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都是偶數(shù)次，所以，如果p是質(zhì)數(shù)，n是自然數(shù)，N是完全平方數(shù)，且，則．性質(zhì)4：完全平方數(shù)的個位是6它的十位是奇數(shù)．性質(zhì)5：如果一個完全平方數(shù)的個位是0，則它后面連續(xù)的0的個數(shù)一定是偶數(shù)．如果一個完全平方數(shù)的個位是5，則其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一個．性質(zhì)6：如果一個自然數(shù)介于兩個連續(xù)的完全平方數(shù)之間，則它不是完全平方數(shù)．一些重要的推論（1）任何偶數(shù)的平方一定能被4整除；任何奇數(shù)的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。（2）一個完全平方數(shù)被3除的余數(shù)是0或1.即被3除余2的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。（3）自然數(shù)的平方末兩位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。（4）完全平方數(shù)個位數(shù)字是奇數(shù)（1，5，9）時，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。（5）完全平方數(shù)個位數(shù)字是偶數(shù)（0，4）時，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。（6）完全平方數(shù)的個位數(shù)字為6時，其十位數(shù)字必為奇數(shù)。（7）凡個位數(shù)字是5但末兩位數(shù)字不是25的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；末尾只有奇數(shù)個“0”的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；個位數(shù)字為1，4，9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完全平方數(shù)。重點公式回顧：平方差公式：七、進制1、（1）十進制：我們常用的進制為十進制，特點是“逢十進一”。在實際生活中，除了十進制計數(shù)法外，還有其他的大于1的自然數(shù)進位制。比如二進制，八進制，十六進制等。（2）二進制：在計算機中，所采用的計數(shù)法是二進制，即“逢二進一”。因此，二進制中只用兩個數(shù)字0和1。二進制的計數(shù)單位分別是1、21、22、23、……，二進制數(shù)也可以寫做展開式的形式，例如100110在二進制中表示為：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。二進制的運算法則：“滿二進一”、“借一當二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。注意：對于任意自然數(shù)n,我們有n0=1。（3）進制：一般地，對于k進位制，每個數(shù)是由0，1，2，，共k個數(shù)碼組成，且“逢k進一”．進位制計數(shù)單位是，，，．如二進位制的計數(shù)單位是，，，，八進位制的計數(shù)單位是，，，．（4）進位制數(shù)可以寫成不同計數(shù)單位的數(shù)之和的形式十進制表示形式：；二進制表示形式：；為了區(qū)別各進位制中的數(shù)，在給出數(shù)的右下方寫上，表示是進位制的數(shù)如：，，,分別表示八進位制，二進位制，十二進位制中的數(shù)．（5）進制的四則混合運算和十進制一樣先乘除，后加減；同級運算，先左后右；有括號時先計算括號內(nèi)的。進制間的轉(zhuǎn)換：一般地，十進制整數(shù)化為進制數(shù)的方法是：除以取余數(shù)，一直除到被除數(shù)小于為止，余數(shù)由下到上按從左到右順序排列即為進制數(shù)．反過來，進制數(shù)化為十進制數(shù)的一般方法是：首先將進制數(shù)按的次冪形式展開，然后按十進制數(shù)相加即可得結(jié)果．如右圖所示:十進制十進制二進制十六進制八進制八、位值1、位值原理的定義：同一個數(shù)字，由于它在所寫的